河南省平顶山市鲁山县第二初级中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

鲁山县二中2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1．下列命题中错误的是（　　） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．正方形对角线相等 C．对角线相等的四边形是矩形 D．菱形的对角线互相垂直 2．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+x+3＝0 C．（x+1）2＝2 D．2x3+x2+2＝0 3．下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 4．从一定的高度任意抛掷一枚质地均匀的硬币，当次数很大时，落下后正面朝上的频率最有可能接近的数值为（　　） A．0.83 B．0.52 C．0.15 D．1 5．已知（a≠0，b≠0），下列等式中变形不正确的是（　　） A．5a＝2b B． C．2a＝5b D． 6．已知关于x的方程（k﹣2）x|k|+x﹣4＝0是一元二次方程，则k的值为（　　） A．±2 B．﹣2 C．2 D．不能确定 7．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝1.2，则EF的长为（　　） A．2.4 B．3 C．3.6 D．4.8 8．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝10，BC＝8，则FC′的长为（　　） A． B．4.2 C．4.5 D．5.8 9．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则四边形EFGH的周长与四边形ABCD的周长之比是（　　） A． B． C． D． 10．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与△ABC相似，所有符合条件的三角形的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11．计算：＝　 　 ． 12．如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，若∠B＝50°，∠C＝80°，∠A'＝100°，则∠D'＝ 　 　 ． 13．x＝1是关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（2a+1）x+4＝0的一个根，则a＝ 　 　 ． 14．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F．若OA＝6，OD＝2，则△AOE与△DOF的面积之和为　 　 ． 15．已知关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0，现从﹣2，1，2三个数中任取一个数作为方程中a的值，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中b的值，则取得的a，b的值能使该一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是　 　 ． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）用适当的方法解下列一元二次方程： （1）（x+2）2＝9； （2）x2+x＝0； （3）x2﹣6x+1＝0； （4）2x2+1＝3x． 17．（8分）若且a+b+c＝36，求k的值． 18．（8分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且∠AEB＝∠AFD．求证：AE＝AF． 19．（8分）已知关于x的方程2x2+2kx+k﹣1＝0． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）若 x＝﹣1 是该方程的一个根，求k的值． 20．（9分）2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． （1）小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是 　 　 ． （2）为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 21．（10分）如图，已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，点A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′． （1）∠B＝　 　 ； （2）求边x，y的长度． 22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）． （1）在第三象限中画出△A1B1C1，使得以点O为位似中心，△ABC与△A1B1C1位似比为1：2； （2）在（1）条件下，若P（a，b）为△ABC内部的任意一点，则变换后点P的对应点P'的坐标为（　 　 ，　 　 ）； （3）在第二象限中画△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC且面积是△ABC的2倍． 23．（12分）黄金分割在我们的数学学习中处处可见，比如我们把有一个内角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”． （1）①若C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC与AB的比值是 　 　 ； ②如图①，学校元旦晚会的舞台AB长为20m，主持人小明学习了相关的数学知识后，认为站在点C处更自然得体（已知C是线段AB上靠近点B的黄金分割点），则此时小明与点A的距离为 　 　 m． （2）如图②，请将内角分别为36°、36°、108°的等腰三角形分割成三个“黄金三角形”，并标出每个“黄金三角形”内角的度数． （3）如图③，已知等腰三角形ABC为“黄金三角形”，AB＝AC，∠A＝36°，BD为∠ABC的平分线．求证：D是AC的黄金分割点． 九年级期中数学参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C B C B C D C B 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1．下列命题中错误的是（　　） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．正方形对角线相等 C．对角线相等的四边形是矩形 D．菱形的对角线互相垂直 【分析】利用平行四边形的判定、正方形的性质、矩形的判定及菱形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确； B、正方形的对角线相等，正确； C、对角线相等的四边形是矩形，错误； D、菱形的对角线互相垂直，正确． 故选：C． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的判定、正方形的性质、矩形的判定及菱形的性质，属于基础题，比较简单． 2．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+x+3＝0 C．（x+1）2＝2 D．2x3+x2+2＝0 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：A、不是整式方程，故此选项不符合题意； B、当a＝0时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，故此选项符合题意； D、未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0），特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 3．下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据位似图形的定义对各选项进行判断． 【解答】解：下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是． 故选：C． 【点评】本题考查了位似变换：位似的两图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线． 4．从一定的高度任意抛掷一枚质地均匀的硬币，当次数很大时，落下后正面朝上的频率最有可能接近的数值为（　　） A．0.83 B．0.52 C．0.15 D．1 【分析】根据频率估计概率的知识，质地均匀的硬币抛大量次时，正面朝上频率接近概率，而硬币正面朝上概率为0.5，据此分析选项即可． 【解答】解：因为抛掷质地均匀的硬币，正面朝上的概率． 当试验次数很大时，频率趋近于概率． 各选项中只有0.52最接近0.5． 故选：B． 【点评】本题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握频率在大量重复试验下趋近于概率是解题的关键． 5．已知（a≠0，b≠0），下列等式中变形不正确的是（　　） A．5a＝2b B． C．2a＝5b D． 【分析】根据比例的性质逐项分析即可得解． 【解答】解：∵， ∴5a＝2b，，， 故ABD正确，不符合题意；C不正确，符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 6．已知关于x的方程（k﹣2）x|k|+x﹣4＝0是一元二次方程，则k的值为（　　） A．±2 B．﹣2 C．2 D．不能确定 【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0，由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【解答】解：根据题意得|k|＝2且k﹣2≠0， 解得k＝﹣2， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0），特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 7．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝1.2，则EF的长为（　　） A．2.4 B．3 C．3.6 D．4.8 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【解答】解：∵AD∥BE∥CF， ∴＝，即＝， ∴EF＝3.6， 故选：C． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝10，BC＝8，则FC′的长为（　　） A． B．4.2 C．4.5 D．5.8 【分析】根据折叠的性质可得FC＝FC′，再由C′为AD边的中点，可得C′D＝4，设FC′＝x，则FC＝x，DF＝10﹣x，在Rt△C′DF中，由勾股定理，即可求解． 【解答】解：∵矩形纸片ABCD中，AB＝10，BC＝8， ∴AB＝CD＝10，BC＝AD＝8， 将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处， ∴FC＝FC′， ∵C′为AD边的中点， ∴C′D＝4， 设FC′＝x，则FC＝x，DF＝10﹣x， 在Rt△C′DF中，由勾股定理得：C′D2+DF2＝FC′2， ∴42+（10﹣x）2＝x2， 解得：x＝5.8， ∴FC′＝5.8． 故选：D． 【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 9．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则四边形EFGH的周长与四边形ABCD的周长之比是（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据题意求出两个相似多边形的相似比，再根据相似多边形的性质求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点O，， ∴，即四边形ABCD与四边形EFGH位似比为， ∴． 故选：C． 【点评】本题主要考查了位似的概念、位似多边形的性质等知识点，掌握位似多边形的周长的比等于相似比是解题的关键． 10．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与△ABC相似，所有符合条件的三角形的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】设网格的边长为1，两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似，我们把D点和另外两点连接，三边和△ABC对应成比例的三角形即为所求的三角形． 【解答】解：设网格的边长为1． 则AC＝，AB＝，BC＝． 连接P2P5， DP5＝，DP2＝，P2P5＝． ∵， ∴△ACB∽△DP5P2． 同理可找到△DP2P4，△DP4P5和△ACB相似． 故选：B． 【点评】本题是在网格型图形中找相似三角三角形，关键是知道相似三角形的判定定理，三边对应成比例，是相似三角形． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11．计算：＝　4　 ． 【分析】直接利用合并同类二次根式法则求出即可． 【解答】解：＝4． 故答案为：4． 【点评】此题主要考查了二次根式加减运算，正确掌握运算法则是解题关键． 12．如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，若∠B＝50°，∠C＝80°，∠A'＝100°，则∠D'＝ 　130°　 ． 【分析】根据相似多边形的对应角相等，以及四边形内角和为360度求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'， ∴∠A＝∠A'＝100°， 又∵∠B＝50°，∠C＝80°， ∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣100°﹣50°﹣80°＝130°， 故答案为：130°． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应角相等是解题的关键． 13．x＝1是关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（2a+1）x+4＝0的一个根，则a＝ 　1　 ． 【分析】将x＝1代入方程，结合一元二次方程的定义求解即可． 【解答】解：由条件可知a﹣2﹣（2a+1）+4＝0， 解得a＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，熟练掌握以上知识点是关键． 14．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F．若OA＝6，OD＝2，则△AOE与△DOF的面积之和为　6　 ． 【分析】证明△BOE≌△DOF，可得S△BOE＝S△DOF，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，OD＝OB＝2，AC⊥BD， ∴∠OBE＝∠ODF，∠DFO＝∠BEO， 在△BOE与△DOF中， ， ∴△BOE≌△DOF（AAS）， ∴S△BOE＝S△DOF， ∴△AOE与△DOF的面积之和＝． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是根据AAS证明△BOE≌△DOF解答． 15．已知关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0，现从﹣2，1，2三个数中任取一个数作为方程中a的值，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中b的值，则取得的a，b的值能使该一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是　　 ． 【分析】用画树状图依次确定满足方程有两个不相等的实数根的情况数和总的情况数，再利用概率公式求解即可． 【解答】解：根据题意画树状图如下： 共有6种等可能的情况， ∵Δ＝a2﹣4b， ∴a2﹣4b＞0时方程x2+ax+b＝0有两个不相等的实数根， 当a＝1，b＝﹣2和a＝2，b＝﹣2时，这两种情况均有Δ＞0，即方程x2+ax+b＝0有两个不相等的实数根， ∴概率是， 故答案为：． 【点评】本题考查了概率的应用，涉及到了一元二次方程的根的判别式，解题关键是牢记概率公式和一元二次方程根的判别式． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）用适当的方法解下列一元二次方程： （1）（x+2）2＝9； （2）x2+x＝0； （3）x2﹣6x+1＝0； （4）2x2+1＝3x． 【分析】（1）利用直接开平方法求解； （2）利用因式分解法求解； （3）利用公式法求解； （4）利用因式分解法求解． 【解答】解：（1）利用直接开平方可得： （x+2）2＝9， x+2＝3或x+2＝﹣3， ∴x1＝1或x2＝﹣5； （2）∵x2+x＝0， ∴x（x+1）＝0， 则x＝0或x+1＝0， ∴x1＝0，x2＝﹣1． （3）x2﹣6x+1＝0， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×1＝32＞0， 则 ∴，； （4）2x2+1＝3x 2x2﹣3x+1＝0， （x﹣1）（2x﹣1）＝0， ∴x﹣1＝0或2x﹣1＝0， ∴x1＝1，x2＝0.5． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 17．（8分）若且a+b+c＝36，求k的值． 【分析】根据比例的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：∵， ∴a＝3k，b＝4k，c＝5k， ∵a+b+c＝36， ∴3k+4k+5k＝36， 12k＝36， 解得：k＝3， 即k的值为3． 【点评】本题考查了比例的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 18．（8分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且∠AEB＝∠AFD．求证：AE＝AF． 【分析】由菱形的性质推出AB＝AD，∠B＝∠D，判定△ABE≌△ADF（AAS），推出AE＝AF． 【解答】证明∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D， 在△ABE 和△ADF 中， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴AE＝AF． 【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是判定△ABE≌△ADF（AAS）． 19．（8分）已知关于x的方程2x2+2kx+k﹣1＝0． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）若 x＝﹣1 是该方程的一个根，求k的值． 【分析】（1）求出判别式的符号，进行判断即可； （2）把x＝﹣1代入方程进行求解即可． 【解答】（1）证明：Δ＝（2k）2﹣4×2（k﹣1）＝4k2﹣8k+8＝4（k﹣1）2+4＞0， ∴无论 k 为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）把x＝﹣1代入2x2+2kx+k﹣1＝0，得2×（﹣1）2+2k×（﹣1）+k﹣1＝0， 解得k＝1． 【点评】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键． 20．（9分）2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． （1）小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是 　　 ． （2）为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 【分析】（1）直接利用概率公式计算； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的结果数，然后根据概率公式计算． 【解答】解：（1）小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是； 故答案为：； （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的结果数为2， 所以两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率＝＝． 【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中找出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A．也考查了概率公式． 21．（10分）如图，已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，点A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′． （1）∠B＝　69°　 ； （2）求边x，y的长度． 【分析】（1）相似多边形的对应角相等，可得∠C＝∠C′＝135°，再由四边形内角和为360°，可求得∠B； （2）相似多边形的对应边成比例，可求得边x，y的长度． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似， ∴∠C＝∠C′＝135°， ∵四边形内角和为360°，∠A＝60°，∠D＝96°， ∴∠B＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠C＝360°﹣60°﹣96°﹣135°＝69°， 故答案为：69°． （2）∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似， ∴， ∵AD＝12，A'D'＝8，AB＝y，A′B′＝12，BC＝6，B′C′＝x， ∴＝，＝， 解得x＝4，y＝18． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，四边形的内角和，熟练掌握相关知识是解题的关键． 22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）． （1）在第三象限中画出△A1B1C1，使得以点O为位似中心，△ABC与△A1B1C1位似比为1：2； （2）在（1）条件下，若P（a，b）为△ABC内部的任意一点，则变换后点P的对应点P'的坐标为（　﹣2a ，　﹣2b ）； （3）在第二象限中画△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC且面积是△ABC的2倍． 【分析】（1）根据位似图形的性质画图即可； （2）根据位似图形的坐标变换规律即可求解； （3）根据相似三角形的性质画图即可． 【解答】解：（1）与△ABC的位似比为1：2的△A1B1C1，如图1即为所求； （2）在（1）条件下，若P（a，b）为△ABC内部的任意一点，则变换后点P的对应点P′的坐标为（﹣2a，﹣2b）， 故答案为：﹣2a，﹣2b； （3）使△A2B2C2∽△ABC且面积是△ABC的2倍的△A2B2C2，如图2即为所求． 【点评】本题考查了作图﹣位似变换，掌握位似图形的性质是解题的关键． 23．（12分）黄金分割在我们的数学学习中处处可见，比如我们把有一个内角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”． （1）①若C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC与AB的比值是 　　 ； ②如图①，学校元旦晚会的舞台AB长为20m，主持人小明学习了相关的数学知识后，认为站在点C处更自然得体（已知C是线段AB上靠近点B的黄金分割点），则此时小明与点A的距离为 　（10﹣10）　 m． （2）如图②，请将内角分别为36°、36°、108°的等腰三角形分割成三个“黄金三角形”，并标出每个“黄金三角形”内角的度数． （3）如图③，已知等腰三角形ABC为“黄金三角形”，AB＝AC，∠A＝36°，BD为∠ABC的平分线．求证：D是AC的黄金分割点． 【分析】（1）①根据黄金分割的定义求解； ②把AB＝20m代入计算即可； （2）根据黄金三角形的定义画出图形即可； （3）证明△CBD∽△CAB，推出，推出，推出D是AC 的黄金分割点． 【解答】（1）解：①∵C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）， ∴， 故答案为：； ②∵AB长为20m，C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）， ∴； 解得． 故答案为：； （2）解：图形如图所示： （3）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°， 又∵BD为∠ABC 的平分线， ∴， ∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝72°， ∴AD＝BD，BC＝BD即 AD＝BC＝BD， 又∵∠C＝∠C，∠CBD＝∠A， ∴△CBD∽△CAB， ∴， ∴， ∴D是AC的黄金分割点． 【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，黄金分割，黄金三角形的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $