上海市虹口区2025-2026学年高三一模数学试卷

虹口区2025学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试 高三数学 试卷 2025.12 考生注意： 1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 2. 本考试分设试卷和答题纸，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的相应位置，在试卷上作答一律不得分. 一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第题每题4分，第题每题5分) 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1、已知集合，，则 2. 函数的定义域为 3. 的二项展开式中的系数是 4. 已知，，，若幂函数为偶函数，则实数____ 5. 若事件、互斥，且，，则 6. 已知复数是实系数一元二次方程的一个虚数根，则 ． 7. 已知某圆锥的底面半径为2，侧面积为，则该圆锥的体积为 （结果保留） 8. 若甲、乙、丙3人要站在一个有7级台阶的楼梯上拍照，每级台阶至多站2人，同一级楼梯上的人不区分站的位置，则不同的站法有 种. （结果用数值表示） 9. 已知双曲线的焦点分别为和，若点为上的点，且满足，，则点到的一条渐近线的距离为 ____ ． 10. 小虹同学要在边长为10的正方形纸片上剪出一个等腰梯形的图案，如图所示，腰、与正方形内的抛物线分别相切于、两点，其中的顶点为的中点. 若当点到的距离为4.5时，，则当等腰梯形的面积取到最小值时，____. （结果保留2位小数） 11. 若，则实数的取值范围是： 12. 已知空间中四个单位向量，，，满足，则在方向上的数量投影的最大值为___ 二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第题每题4分，第题每题5分) 每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13. 已知、为实数，则“”是“”的（     ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非充分又非必要 14. 已知， 若，则实数的取值可以是（ A B. C. D. 15. 如图，已知点、、、在表面积为的球的球面上，且，平面，点为中点，当二面角的大小为时，则有（ A. 异面直线和所成角的大小为 B. 直线与平面所成角的大小为 C. D. 的面积为 16. 若每一项均为正数的数列的前项和为，若对于任意的正整数，均存在正整数使得，则称具有“性质”．对于以下两个命题，说法正确的是 ① 存在等比数列，使得具有“性质”； ② 若具有“性质”，记且为等差数列，则． A. ①和②都为真命题 B. ①和②都为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 一、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步骤. 17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，点为中点. （1）若点是线段上的动点，求证：直线与直线不相交； （2）若平面，，，求点到平面的距离. 18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知，，设. （1）当，时，试判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）当且函数的最小正周期为时，若在中，，求的取值范围. 19.（本题满分14分，第1小题2分，第2小题6分，第3小题6分） 班主任小明为了解本班每位学生每周平均手机使用时长(单位：小时)，在某一学期每周对全班45名学生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，绘制了相应的统计图表，全班用时最长的为25.6小时.其中，男生每周平均手机使用时长的茎叶图如图所示，女生每周平均手机使用时长的频率分布直方图如图所示. （1）求该班男生每周平均手机使用时长的第25百分位数； （2）小明老师想从本班每周平均手机使用时长小于12小时的学生中任选2人在班会课 上做经验分享．设事件表示 “2人中至多1名男生”，事件表示 “2人中恰有1名学生的每周平均手机使用时长位于区间”．试判断事件和事件是否独立，并说明理由； （3）小明老师发现本班有位学生的每周平均手机使用时长超过20小时，这位学生的数据平均数为23小时．当去掉这位学生中用时最长和用时最短的数据后，平均数变为22.7小时，且这位学生中女生的数据从小到大依次排序成等差数列．那么这位学生每周平均手机使用时长的方差是否超过3？请说明理由． 20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知椭圆的左、右焦点分别为和，点是的长轴上的动点，点为上的动点，且异于点． （1）当点位于椭圆的左焦点，且、、能构成三角形时，求的周长； （2）当点位于椭圆的左顶点时，直线与轴交于点，，求实数的值； （3）当点与椭圆的左、右顶点均不重合时，记直线与椭圆的另一个交点为，过点作直线与椭圆交于、两点，设和分别为弦和弦的中点，若、、、为四个相异的点，，且直线恒过定点，求点的坐标． 21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知函数的定义域为（），记，其中，且． （1）当，，，求函数的零点； （2）当，，若恒有，求实数的取值范围； （3）当，求证：“对于任意的正有理数，函数在上均是严格增函数”的充要条件是“任取中两个不相同的元素和，均有”． 学科网（北京）股份有限公司 $