17.2 用公式法分解因式（第1课时）课件2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“用平方差公式分解因式”，通过正方形剪拼的几何情境导入，关联整式乘法平方差公式的逆用，搭建从运算到分解的学习支架，帮助学生理解公式来源与应用前提。 其亮点在于以几何直观（数学眼光）激发兴趣，通过合作探究抽象概括公式特征（数学思维），例题涵盖整体思想、多次分解及简便运算、证明等应用（数学语言）。小结“一提二套三查”步骤清晰，助力学生形成结构化知识，提升分解能力与应用意识，教师可直接用于高效教学。

人教版(2024) 八年级上册 17.2 用公式法分解因式 (第1课时) 第十七章 因式分解 a米 b米 b米 a米 (a–b) 如图,在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形,将剩余部分拼成一个长方形,根据此图形变换,你能得到什么公式? a2-b2=(a+b)(a-b) 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 1. 探索并运用平方差公式进行因式分解,体会转化思想. 2. 能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解. 用公式法分解因式 情景导入 1 合作探究 2 抽象概括 3 示范讲解 4 课堂练习 5 课堂小结 6 想一想 用平方差公式进行因式分解 多项式a2–b2有什么特点?你能将它分解因式吗? 是a,b两数的平方差的形式 ) )( ( b a b a – + = 2 2 b a – ) )( ( 2 2 b a b a b a – + = – 整式乘法 因式分解 两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积. 平方差公式: 分析问题,寻找对应 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 √ √ 辨一辨:下列多项式能否用平方差公式来分解因式,为什么? √ √ 符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解,即能写成: ( )2–( )2的形式. 两数是平方, 减号在中央. (1)x2+y2 (2)x2–y2 (3)–x2–y2 –(x2+y2) y2–x2 (4)–x2+y2 (5)x2–25y2 (x+5y)(x–5y) (6)m2–1 (m+1)(m–1) 分析问题,寻找对应 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 七彩城就梦想 例1 分解因式: a a b b ( + ) ( – ) a2 – b2 = 解:(1)原式= 2x 3 2x 2x 3 3 (2)原式 整体思想 a b 利用平方差公式分解因式的应用 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 方法小结 公式中的a,b无论表示数、单项式、还是多项式,只要被分解的多项式能转化成平方差的形式,就能用平方差公式因式分解. 平方差公式 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 分解因式: (1)(a+b)2–4a2; (2)9(m+n)2–(m–n)2. =(2m+4n)(4m+2n) 解:(1)原式=(a+b–2a)(a+b+2a) =(b–a)(3a+b); (2)原式=(3m+3n–m+n)(3m+3n+m–n) =4(m+2n)(2m+n). 若用平方差公式分解后的结果中有公因式,一定要再用提公因式法继续分解. 针对练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 例2 分解因式: 解:(1)原式=(x2)2–(y2)2 =(x2+y2)(x2–y2) 分解因式后,一定要检查是否还有能继续分解的因式,若有,则需继续分解,直到不能分解为止. =(x2+y2)(x+y)(x–y); (2)原式=ab(a2–1) 分解因式时,一般先用提公因式法进行分解,然后再用公式法.最后进行检查. =ab(a+1)(a–1). 多次因式分解 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 方法点拨 分解因式前应先分析多项式的特点,一般先提公因式,再套用公式.必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止. 分解因式 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 分解因式: (1)5m2a4–5m2b4; (2)a2–4b2–a–2b. =(a+2b)(a–2b–1). =5m2(a2+b2)(a+b)(a–b); 解:(1)原式=5m2(a4–b4) =5m2(a2+b2)(a2–b2) (2)原式=(a2–4b2)–(a+2b) =(a+2b)(a–2b)–(a+2b) 针对练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 例3 已知x2–y2=–2,x+y=1,求x–y,x,y的值. ∴x–y=–2②. 解:∵x2–y2=(x+y)(x–y)=–2, x+y=1①, 联立①②组成二元一次方程组, 解得: 利用因式分解求整式的值 方法总结:在与x2–y2,x y有关的求代数式或未知数的值的问题中,通常需先因式分解,然后整体代入或联立方程组求值. 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 已知x–y=2,x2–y2=8,求x+y的值. 解:由题意得: (x+y)(x–y)=8, x–y=2, 2(x+y)=8. x+y=4. 针对练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 例4 计算下列各题: (1)1012–992; (2)53.52 4–46.52 4. 解:(1)原式=(101+99) (101–99)=400; (2)原式=4 (53.52–46.52) = 4 (53.5+46.5) (53.5–46.5) =4 100 7=2800. 方法总结:较为复杂的有理数运算,可以运用因式分解对其进行变形,使运算得以简化. 利用因式分解进行简便运算 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 用平方差公式进行简便计算: (1)38 –37 (2)213 –87 (3)229 –171 (4)91 89 解:(1) 38 –37 =(38+37) (38–37) =75 1=75 (2) 213 –87 =(213+87) (213–87) =300 126=37800 (3) 229 –171 =(229+171) (229–171) =400 58=23200 (4) 91 89 =(90+1) (90–1) =90 –1=8100–1=8099 针对练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 例5 求证:当n为整数时,多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除. 即多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除. 证明:原式=(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1)=4n 2=8n, ∵n为整数, ∴8n被8整除, 方法总结:解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式,然后分析能被哪些数或式子整除. 利用因式分解进行证明 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 若a,b,c是三角形的三边,且满足关系式 a2–2bc=c2–2ab,试判断这个三角形的形状. 解:∵a2–2bc=c2–2ab, ∴(a2–c2)+ 2ab–2bc=0,(a+c)(a–c)+ 2b(a-c)=0. ∴(a–c)(a+c+2b)=0. ∵a+c+2b≠0,∴a–c=0,即a=c, ∴这个三角形是等腰三角形. 分析:已知等式变形后,利用提公因式法和平方差公式分解,得到a=c,即可确定出三角形形状. 针对练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( ) A.a2+(–b)2 B.5m2–20mn C.–x2–y2 D.–x2+9 D 2. 将多项式x–x3因式分解正确的是( ) A.x(x2–1) B.x(1–x2) C.x(x+1)(x–1) D.x(1+x)(1–x) D 3.若a+b=3,a–b=7,则b2–a2的值为( ) A.–21 B.21 C.–10 D.10 A 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 4.把下列各式分解因式: (1)16a2–9b2=_; (2)(a+b)2–(a–b)2=_; (3) 因式分解:2x2–8=_; (4) –a4+16=_. (4a+3b)(4a–3b) 4ab (4+a2)(2+a)(2–a) 5.若将(2x)n–81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x–3),则n的值是_. 4 2(x+2)(x–2) 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 1. 已知4m+n=40,2m–3n=5.求(m+2n)2–(3m–n)2的值. 原式= – 40 5= –200. 解:原式=(m+2n+3m – n)(m+2n – 3m+n) =(4m+n)(3n – 2m) = –(4m+n)(2m – 3n), 当4m+n=40,2m–3n=5时, 能力提升 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 2.如图,在边长为6.8 cm正方形钢板上,挖去4个边长为1.6 cm的小正方形,求剩余部分的面积. 解:根据题意,得 6.82–4 1.62 =6.82– (2 1.6)2 =6.82–3.22 =(6.8+3.2) (6.8 – 3.2) =10 3.6 =36 (cm2) 答:剩余部分的面积为36 cm2. 能力提升 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 22 七彩城就梦想 (1)992–1能否被100整除吗? 解:(1)因为 992–1=(99+1) (99–1)=100 98, 所以,(2n+1)2–25能被4整除. (2)n为整数,(2n+1)2–25能否被4整除? 所以992–1能被100整除. (2)原式=(2n+1+5)(2n+1–5) =(2n+6)(2n–4) =2(n+3) 2(n–2)=4(n+3)(n–2). 能力提升 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 平方差公式分解因式 公式 a2–b2=(a+b)(a–b) 步骤 一提:公因式; 二套:公式; 三查:多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. 课堂小结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 $