第17章 第49课时 用完全平方公式分解因式-【宝典训练】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂（人教版2024）

数学·八年级·上册(R) 第49课时 用完全平方公式分解因式 新课学 知识点利用完全平方公式分解因式的概念 把整式乘法的完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b和(a-b)2=a2-2ab十b的等号两边互换，就得 到a2+2ab+b2=(a十b)2和a2-2ab+b2=(a-b)2.我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b这样的式 子叫作完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式.即两个数的平方 和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方： 1.【2023·湛江·期末】下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是 A.a2+4 B.a2+ab+62 C.a2+4ab+b2 D.x2+2x+1 点拨：此题考查利用完全平方公式分解因式，正确掌握完全平方式的特点是解题的关键， 2.【人教版八上P130例3改编】填空： (1)x2-6.x+ =(x一 )2； (2)4x2+12xy+( )2=( 点拨：本题聚焦于对完全平方公式的考查，精准把握各项特征是解题关键， 精饼精 练 例1【2024·甘肃张掖·期中】若关于x的二次三项式x2+2(一3)x+ &易错警示 9是完全平方式，则m= (1)忽略首项系数为负的情况 先提取公因式或负号，确保首项系 点拔：本题考查完全平方公式分解因式，解题的关键是熟练运用完全 数为正，再应用完全平方公式， 平方公式. (2)误判完全平方式的结构 例2已知x2十x+36可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为 完全平方式需满足a2士2ab十b,中 ( 间项系数必须为两数积的2倍 (3)未彻底分解因式 A.±6 B.±12 C.6 D.12 分解到每个因式均为最简形式， 点拨：此题考查了因式分解：运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解 (4)符号错误 本题的关键， 注意中间项的符号与公式中“差平 方”或“和平方”的一致性。 例3【人教版八上P131例6改编】将下列各式因式分解： (1)a2-8ab+16b2;(2)4x2+12xy+9y2;(3)-x2+6xy-9y2. 点拨：先提公因式，再用完全平方公式分解因式 ●>1120 第十七章因式分解 过关训练 退基础训练 1.下列各式：①a2+2a十4；②a2+2a-1;③a2+2.将下列各式因式分解： 2a+1;④-a2+2a+1;⑤-a2-2a-1;⑥a2 (1)x2+4x+4= 2a一1.其中能用完全平方公式进行因式分解 (2)4x2-6x+9= 的有 ( A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 点拔：完全平方式的形式为两数的平方和加上 (或减去)这两数乘积的2倍，逐项判断即可. 点拔：熟练掌握完全平方公式的各项属性特征. 能力训练 圆拓展训练 3.【2024·山东济南·期中把下列各式分解因式： 4.【2024·四川成都·月考】综合与实践 (1)(a-3)2-6(a-3)+9; 下面是某同学对多项式(x2一4x)(x2一4x+8)+ (2)(x2+y2)2-4x2y2; 16进行因式分解的过程： (3)a4-2a2+1. 解：设x2-4x=y, 原式=y(y十8)十16（第一步） =y2十8y十16（第二步） =(y十4)2（第三步） =(x2一4x十4)2（第四步）. 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了； A.提公因式法 B.平方差公式 C.两数差的完全平方公式 D.两数和的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？ (填“彻底”或“不彻底”)，若不彻底，则该因 式分解的最终结果为 (3)请你模仿上述方法，对多项式(x2一2x 1)·(x2-2x十3)+4进行因式分解. 点拨：此题考查了因式分解，正确掌握因式分解 的方法：提公因式法和公式法（完全平方公式和 点拨：本题考查的是因式分解，在解答此类题目 平方差公式)是解题的关键。 时要注意完全平方公式的应用. ●>113《0参考答案 3.解：(1)4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3); 【变1】解：原式=3ab2(a2-46)=3ab(a十2b)(a-2b). (2)1-a2=(1+a)(1-a). 【例2】解：(1)a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y); 4.解：(1)原式=x(x2-1)=x(x+1)(x-1): (2)(x3-2x2)+(-x+2)=x2(x-2)-(x-2)=(x (2)原式=xy(y-x2)=x2y(y-x)(y+x). -2)(x2-1)=(x-2)(x+1)(x-1). 5.解：(1)原式=(1000+999)×(1000-999)=1999×1=1999； 【变2】解：原式=(a+2)2-b=(a+2+b)(a+2-b). (2)原式=(99号+100号）×(9号-10号)=200× 过关训练】 (-1)=-200. 1.D2.C3.A4.D5.D 6.解：原式=(1002-992)+(982一972)+…+(4-32)+ 6.(1)(m+2n)(2m+n) (22-1)=(100+99)×(100-99)+(98+97)× 解：(2)因为每块小长方形的面积为12cm2,所以mn= (9897)+…+(4+3)×(4-3)+(2+1)× 12,因为四个正方形的面积和为50cm2,所以2m2+2n2= 50,即m2+=25,(m+n)2=m2+t+2mn=25+24= (2-1)=100+99+98+·+3+2+1=5050. 49,因为m>n>0,所以m十n=7,所有裁剪线（虚线部分） 第49课时用完全平方公式分解因式 的长度之和是：(2m+n)×2+(m+2n)×2=4m+2n+2m+ 4n=6m+6n=6(m十n)=6X7=42(cm). 〔新课学习】 1.D2.(1)93(2)3y3y 第53课时《因式分解》章末复习 〔精讲精练 【知识梳理】 【例1】6或0【例2】B 1.D 【例3】解：(1)(a-4b)2;(2)(2x+3y)2;(3)-(x-3y)2. 2.解：(1)3.xy(2x-3y);(2)5(m-m(m-2n. 〔过关训练了 3.解：(1)(a+2b)(a-2b);(2)(x+3)2. 1.A 4.解：原式=(a十1十b)(a十1-b) 2.(1)x2+2·x·2+22(x+2)2 5.解：原式=(2x-3)(x十4). (2)(2x)2-2·2x·3+32(2x-3)2 6.解：(1)原式=(x2+4)(x+2)(x一2)； (2)原式=(x+3)(x十2)(x-2). 3.解：(1)(a-6)2(2)(x十y)2(x-y)2(3)(a+1)2(a-1)2 7.解：(1)(x+4)(x-2)； 4.(1)D(2)不彻底(x-2)(3)解：(3)(x一1).（过程略） (2)正方形和长方形组成的公园面积可以看作是长(x十4)米 第50课时综合运用提公因式法、公式法分解因式 和宽(x一2)米的长方形区域的面积 8.解：存在，k=士7，士8，士13. 【新课学习】 9.解：(x十a)(x十b) 1.B2.A =2+ax+bx+ab 【精讲精练 =x2十(a十b)x十ab,等式成立， 【例1】解：(1)x4-y=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x十 因式分解得x2-5.x十6=(x-2)·(x-3). 10.解：由于4a2-12ab+96=(2a-36)2,所以(2a-b)2=(2a y)(x-y): (2)a3b-ab=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1) 3b)2,所以k=2. 【例2】解：(1)3a.t+6axy十3ay=3a(2+2xy十y)=3a(x+y)2; 第54课时《因式分解》中考热点 (2)-a.d+2dx-a=-a(x2-2a.x十a)=-a(x-a)2. 【过关训练 【新课学习】 1.C2.A 1.解：(1)x2+2xy+y=(x+y)2 (2)x3+3x2y+3xy2+y 3.解：原式=2ab(a2-4ab+4b)=2ab(a-2b)2. (3)因为x十y=10,xy=20,所以x2十y=(x十y)2-2xy= 4.解：(1)原式=2a2(x2+2xy+y2)=2a2(x+y)2; 102-2×20=60, (2)原式=-b(1-2b+6)=-b(b-1)2. 所以(x-y)2=x2-2xy十y2=60-2X20=20,所以x- 5.A6.C y=士/20，因为x>y,所以x-y=/20, 第51课时用十字相乘法分解因式 所以x2-y=(x-y)(y+xy+x2)=/20X(60+20)= 【新课学习】 80/20, 1.D 由(2)得：x3+y3=(x+y)3-(3x2y+3xy2)=(x+y)3 3xy(x十y)=103-3×20×10=400, 〔精讲精练】 400 5 【例1】D 所以号 80/20-720 【变1】解：(1)原式=(x-3)(x十1)；(2)原式=(m一4)(m-3). 【变2】6【例3】(x-3)·(2x+1) 2.解：(1)(x+4(x-4)>0,原不等式可转化为+40：① 1x-4>0 过关训练 1.A2.C3.D4.解：x2+11x-26=(x+13)(x-2). 成8@ 5.(x-3)(2x十1)6.(2)①m=9或m=-8②x=5或x=8 解不等式组①得，x>4,解不等式组②得，x<一4， ③x=7或x=-4 即一元二次不等式x2一16>0的解集为x>4或x<-4. 第52课时因式分解习题课 ②原不等式可转化为任一0①成任0@ 1x-3<0 解不等式组①得，1<x<3,解不等式组②得其无解； 【精讲精练 【例1】解：(1)6ab(2a2-3b);(2)5(y-z)(x-2y). 即分式不等式<0的解集为1<<3. 19