第17章 因式分解八大常考题型汇总专项训练 2026-2027学年人教版数学八年级上册

2026—2027 学年人教版数学八年级上册 第 17 章　因式分解　全章八大常考题型汇总 期末复习专项训练（教师版·含答案与解析） 姓名：____________　　班级：____________　　得分：____________ 说明：本训练围绕第 17 章“因式分解”归纳八大常考题型，选题均不超出人教版八年级上册课标要求；式子中的乘号用“·”表示，字母的乘方用上标（如 x²、x³）表示，凡出现分数一律用完整分式（如 ½、¼）书写。 题型一　因式分解的概念与辨析 【方法点拨】因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，与整式乘法是互逆运算。判断一个变形是否为因式分解，关键看右边是否为“整式乘积”的形式；分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止。 【典例精析】 例　下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．(x＋1)(x－1)＝x²－1 B．x²－x＋1＝x(x－1)＋1 C．x²－4＝(x＋2)(x－2) D．x²＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 　　解析：选 C。A、D 右边不是“积”的形式（D 仍是和），B 右边含“＋1”不是乘积；只有 C 把多项式化成两个整式的积，属于因式分解。 【针对训练】 1．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．a(a－b)＝a²－ab B．x²－9＝(x＋3)(x－3) C．x²＋2x＋3＝(x＋1)²＋2 D．(a＋b)(a－b)＝a²－b² 答案：B。右边必须是几个整式的积，只有 B 符合。 2．把 a²－a 分解因式，结果正确的是（　　） A．a(a－1) B．a(a＋1) C．(a－1)² D．a(1－a) 答案：A。提公因式 a，得 a(a－1)。 3．若多项式 x²－3x 分解因式的结果为 x(x－3)，则当 x＝5 时，原多项式的值为________。 答案：10。原式＝5×(5－3)＝5×2＝10。 4．把 −ab＋a² 分解因式，某同学写成 a(a－b)，该结果________（填“正确”或“不正确”）。 答案：正确。a²－ab＝a(a－b)。 题型二　提公因式法 【方法点拨】公因式的确定：系数取各项系数的最大公约数，字母（或含字母的式子）取相同因式的最低次幂；公因式既可以是单项式，也可以是像 (x－3) 这样的多项式。提公因式后注意括号内不要漏项，首项为负时通常先提出“－”。 【典例精析】 例　把 6a³b－9a²b² 分解因式。 　　解析：系数的最大公约数是 3，相同字母取 a²、b，公因式为 3a²b。6a³b－9a²b²＝3a²b(2a－3b)。 【针对训练】 1．把 8a³b²＋12ab³c 分解因式。 答案：4ab²(2a²＋3bc)。公因式 4ab²。 2．把 −2m²n＋6mn² 分解因式。 答案：−2mn(m－3n)。首项为负，先提“－”。 3．把 a(x－3)＋2b(x－3) 分解因式。 答案：(x－3)(a＋2b)。公因式为多项式 (x－3)。 4．把 x(a－b)－y(b－a) 分解因式。 答案：(a－b)(x＋y)。把 (b－a) 变号为 −(a－b)。 5．把 6(a－b)²＋3(a－b) 分解因式。 答案：3(a－b)(2a－2b＋1)。公因式 3(a－b)，注意最后一项提出后补 1。 6．把 4x³y－12x²y²＋2xy 分解因式。 答案：2xy(2x²－6xy＋1)。 题型三　运用平方差公式 【方法点拨】平方差公式：a²－b²＝(a＋b)(a－b)。凡是“两项、符号相反、每项都能写成平方”的多项式都可使用；a、b 可以是数、单项式或多项式，结果要分解到不能再用公式为止。 【典例精析】 例　把 4x²－9 分解因式。 　　解析：4x²－9＝(2x)²－3²＝(2x＋3)(2x－3)。 【针对训练】 1．把 x²－25 分解因式。 答案：(x＋5)(x－5)。 2．把 9m²－4n² 分解因式。 答案：(3m＋2n)(3m－2n)。 3．把 16－x² 分解因式。 答案：(4＋x)(4－x)。 4．把 a⁴－b⁴ 分解因式。 答案：(a²＋b²)(a＋b)(a－b)。要用两次平方差，a²＋b² 不能再分。 5．把 (a＋b)²－(a－b)² 分解因式。 答案：4ab。[(a＋b)＋(a－b)][(a＋b)－(a－b)]＝(2a)(2b)＝4ab。 6．把 (m＋n)²－4 分解因式。 答案：(m＋n＋2)(m＋n－2)。把 (m＋n) 整体当作 a。 题型四　运用完全平方公式 【方法点拨】完全平方公式：a²＋2ab＋b²＝(a＋b)²，a²－2ab＋b²＝(a－b)²。判断“三项式”能否用公式：首、尾两项能写成平方且符号相同，中间项等于这两项底数乘积的 2 倍（符号与公式一致）。 【典例精析】 例　把 x²＋6x＋9 分解因式。 　　解析：x²＋6x＋9＝x²＋2·x·3＋3²＝(x＋3)²。 【针对训练】 1．把 4x²－4x＋1 分解因式。 答案：(2x－1)²。 2．把 −x²＋4xy－4y² 分解因式。 答案：−(x－2y)²。先提“－”得 −(x²－4xy＋4y²)。 3．把 9a²＋6ab＋b² 分解因式。 答案：(3a＋b)²。 4．把 16m²＋24mn＋9n² 分解因式。 答案：(4m＋3n)²。 5．把 (a－b)²＋2(a－b)＋1 分解因式。 答案：(a－b＋1)²。把 (a－b) 整体当作 a。 6．把 4(a＋b)²－12(a＋b)＋9 分解因式。 答案：(2a＋2b－3)²。[2(a＋b)－3]²。 题型五　提公因式法与公式法的综合运用 【方法点拨】一般步骤：有公因式的先提公因式，再考虑用公式；用公式后要检查每个因式是否还能继续分解，直到每个因式都不能再分解为止，结果中避免出现还能继续分解的括号。 【典例精析】 例　把 2x³－8x 分解因式。 　　解析：先提公因式 2x：2x³－8x＝2x(x²－4)，再对 x²－4 用平方差＝2x(x＋2)(x－2)。 【针对训练】 1．把 3a³－6a²b＋3ab² 分解因式。 答案：3a(a－b)²。先提 3a 得 3a(a²－2ab＋b²)。 2．把 a³－a 分解因式。 答案：a(a＋1)(a－1)。先提 a，再用平方差。 3．把 2a²b－8ab＋8b 分解因式。 答案：2b(a－2)²。先提 2b 得 2b(a²－4a＋4)。 4．把 x⁴－16y⁴ 分解因式。 答案：(x²＋4y²)(x＋2y)(x－2y)。连续两次平方差。 5．把 m³－2m²n＋mn² 分解因式。 答案：m(m－n)²。先提 m 得 m(m²－2mn＋n²)。 6．把 5x²y－20xy²＋20y³ 分解因式。 答案：5y(x－2y)²。先提 5y 得 5y(x²－4xy＋4y²)。 题型六　适当变形（分组、整体）后再分解 【方法点拨】当项数较多或不能直接套用公式时，可通过合理分组、添（拆）项或把某一部分看作整体，先凑出完全平方或平方差，再用提公因式或公式法继续分解。本类变形始终在“提公因式＋公式法”范围内，不超纲。 【典例精析】 例　把 x²－y²＋x＋y 分解因式。 　　解析：前两项用平方差，后两项提 1：(x＋y)(x－y)＋(x＋y)，再提公因式 (x＋y)＝(x＋y)(x－y＋1)。 【针对训练】 1．把 x²－y²＋x－y 分解因式。 答案：(x－y)(x＋y＋1)。=（x＋y）（x－y）＋（x－y）。 2．把 a²－b²＋2a＋2b 分解因式。 答案：(a＋b)(a－b＋2)。=（a＋b）（a－b）＋2（a＋b）。 3．把 x²＋2xy＋y²－1 分解因式。 答案：(x＋y＋1)(x＋y－1)。前三项凑 (x＋y)²，再用平方差。 4．把 4x²－4x－y²＋1 分解因式。 答案：(2x－1＋y)(2x－1－y)。把 4x²－4x＋1 凑 (2x－1)² 再减 y²。 5．把 a²＋2a＋1－b² 分解因式。 答案：(a＋1＋b)(a＋1－b)。前三项凑 (a＋1)²。 6．把 x²＋2x＋1－9y² 分解因式。 答案：(x＋1＋3y)(x＋1－3y)。前三项凑 (x＋1)²，9y²＝(3y)²。 题型七　因式分解的简便运算 【方法点拨】逆用提公因式或乘法公式可以简化数字运算：如 a²－b²＝(a＋b)(a－b) 用于“两个接近的平方相减”，a²±2ab＋b²＝(a±b)² 用于凑整，公因式用于把小数、π 等提出后再计算。 【典例精析】 例　用简便方法计算：99²＋99。 　　解析：99²＋99＝99×(99＋1)＝99×100＝9900。（逆用提公因式） 【针对训练】 1．用简便方法计算：2025²－2024²。 答案：4049。(2025＋2024)(2025－2024)＝4049×1＝4049。 2．用简便方法计算：101²－2×101＋1。 答案：10000。＝(101－1)²＝100²＝10000。 3．用简便方法计算：998²。 答案：996004。＝(1000－2)²＝1000000－4000＋4。 4．用简便方法计算：8.7²＋2×8.7×1.3＋1.3²。 答案：100。＝(8.7＋1.3)²＝10²＝100。 5．用简便方法计算：3.14×25.6＋3.14×43.4＋3.14×31。 答案：314。＝3.14×(25.6＋43.4＋31)＝3.14×100＝314。 6．用因式分解的方法计算：当 x＝12，y＝3 时，求 x²－y² 的值。 答案：135。(x＋y)(x－y)＝15×9＝135。 题型八　因式分解与整体代入求值 【方法点拨】求代数式的值时，先对所求式子进行因式分解，把已知的 a＋b、ab、a－b 等作为一个整体代入，可避免先解出 a、b。这是本章高频的“先化简（分解）、再求值”型问题。 【典例精析】 例　已知 a＋b＝4，ab＝3，求 a²b＋ab² 的值。 　　解析：a²b＋ab²＝ab(a＋b)，把 ab＝3、a＋b＝4 整体代入＝3×4＝12。 【针对训练】 1．已知 x＋y＝6，xy＝4，求 x²y＋xy² 的值。 答案：24。xy(x＋y)＝4×6＝24。 2．已知 a－b＝3，ab＝2，求 a³b－2a²b²＋ab³ 的值。 答案：18。＝ab(a²－2ab＋b²)＝ab(a－b)²＝2×3²＝18。 3．已知 m＋n＝2，mn＝−3，求 m²n＋mn² 的值。 答案：−6。mn(m＋n)＝(−3)×2＝−6。 4．先分解因式，再求值：x(x－y)＋y(y－x)，其中 x＝5，y＝2。 答案：9。＝x(x－y)－y(x－y)＝(x－y)²＝(5－2)²＝9。 5．先分解因式，再求值：x³－x，其中 x＝2。 答案：6。＝x(x＋1)(x－1)＝2×3×1＝6。 6．已知 a－b＝½，ab＝8，求 a³b－2a²b²＋ab³ 的值。 答案：2。＝ab(a－b)²＝8×(½)²＝8×¼＝2。 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版数学八年级上册 第 17 章　因式分解　全章八大常考题型汇总 期末复习专项训练（学生版） 姓名：____________　　班级：____________　　得分：____________ 说明：本训练围绕第 17 章“因式分解”归纳八大常考题型，选题均不超出人教版八年级上册课标要求；式子中的乘号用“·”表示，字母的乘方用上标（如 x²、x³）表示，凡出现分数一律用完整分式（如 ½、¼）书写。 题型一　因式分解的概念与辨析 【方法点拨】因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，与整式乘法是互逆运算。判断一个变形是否为因式分解，关键看右边是否为“整式乘积”的形式；分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止。 【典例精析】 例　下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．(x＋1)(x－1)＝x²－1 B．x²－x＋1＝x(x－1)＋1 C．x²－4＝(x＋2)(x－2) D．x²＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 【针对训练】 1．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．a(a－b)＝a²－ab B．x²－9＝(x＋3)(x－3) C．x²＋2x＋3＝(x＋1)²＋2 D．(a＋b)(a－b)＝a²－b² 2．把 a²－a 分解因式，结果正确的是（　　） A．a(a－1) B．a(a＋1) C．(a－1)² D．a(1－a) 3．若多项式 x²－3x 分解因式的结果为 x(x－3)，则当 x＝5 时，原多项式的值为________。 4．把 −ab＋a² 分解因式，某同学写成 a(a－b)，该结果________（填“正确”或“不正确”）。 题型二　提公因式法 【方法点拨】公因式的确定：系数取各项系数的最大公约数，字母（或含字母的式子）取相同因式的最低次幂；公因式既可以是单项式，也可以是像 (x－3) 这样的多项式。提公因式后注意括号内不要漏项，首项为负时通常先提出“－”。 【典例精析】 例　把 6a³b－9a²b² 分解因式。 【针对训练】 1．把 8a³b²＋12ab³c 分解因式。 2．把 −2m²n＋6mn² 分解因式。 3．把 a(x－3)＋2b(x－3) 分解因式。 4．把 x(a－b)－y(b－a) 分解因式。 5．把 6(a－b)²＋3(a－b) 分解因式。 6．把 4x³y－12x²y²＋2xy 分解因式。 题型三　运用平方差公式 【方法点拨】平方差公式：a²－b²＝(a＋b)(a－b)。凡是“两项、符号相反、每项都能写成平方”的多项式都可使用；a、b 可以是数、单项式或多项式，结果要分解到不能再用公式为止。 【典例精析】 例　把 4x²－9 分解因式。 【针对训练】 1．把 x²－25 分解因式。 2．把 9m²－4n² 分解因式。 3．把 16－x² 分解因式。 4．把 a⁴－b⁴ 分解因式。 5．把 (a＋b)²－(a－b)² 分解因式。 6．把 (m＋n)²－4 分解因式。 题型四　运用完全平方公式 【方法点拨】完全平方公式：a²＋2ab＋b²＝(a＋b)²，a²－2ab＋b²＝(a－b)²。判断“三项式”能否用公式：首、尾两项能写成平方且符号相同，中间项等于这两项底数乘积的 2 倍（符号与公式一致）。 【典例精析】 例　把 x²＋6x＋9 分解因式。 【针对训练】 1．把 4x²－4x＋1 分解因式。 2．把 −x²＋4xy－4y² 分解因式。 3．把 9a²＋6ab＋b² 分解因式。 4．把 16m²＋24mn＋9n² 分解因式。 5．把 (a－b)²＋2(a－b)＋1 分解因式。 6．把 4(a＋b)²－12(a＋b)＋9 分解因式。 题型五　提公因式法与公式法的综合运用 【方法点拨】一般步骤：有公因式的先提公因式，再考虑用公式；用公式后要检查每个因式是否还能继续分解，直到每个因式都不能再分解为止，结果中避免出现还能继续分解的括号。 【典例精析】 例　把 2x³－8x 分解因式。 【针对训练】 1．把 3a³－6a²b＋3ab² 分解因式。 2．把 a³－a 分解因式。 3．把 2a²b－8ab＋8b 分解因式。 4．把 x⁴－16y⁴ 分解因式。 5．把 m³－2m²n＋mn² 分解因式。 6．把 5x²y－20xy²＋20y³ 分解因式。 题型六　适当变形（分组、整体）后再分解 【方法点拨】当项数较多或不能直接套用公式时，可通过合理分组、添（拆）项或把某一部分看作整体，先凑出完全平方或平方差，再用提公因式或公式法继续分解。本类变形始终在“提公因式＋公式法”范围内，不超纲。 【典例精析】 例　把 x²－y²＋x＋y 分解因式。 【针对训练】 1．把 x²－y²＋x－y 分解因式。 2．把 a²－b²＋2a＋2b 分解因式。 3．把 x²＋2xy＋y²－1 分解因式。 4．把 4x²－4x－y²＋1 分解因式。 5．把 a²＋2a＋1－b² 分解因式。 6．把 x²＋2x＋1－9y² 分解因式。 题型七　因式分解的简便运算 【方法点拨】逆用提公因式或乘法公式可以简化数字运算：如 a²－b²＝(a＋b)(a－b) 用于“两个接近的平方相减”，a²±2ab＋b²＝(a±b)² 用于凑整，公因式用于把小数、π 等提出后再计算。 【典例精析】 例　用简便方法计算：99²＋99。 【针对训练】 1．用简便方法计算：2025²－2024²。 2．用简便方法计算：101²－2×101＋1。 3．用简便方法计算：998²。 4．用简便方法计算：8.7²＋2×8.7×1.3＋1.3²。 5．用简便方法计算：3.14×25.6＋3.14×43.4＋3.14×31。 6．用因式分解的方法计算：当 x＝12，y＝3 时，求 x²－y² 的值。 题型八　因式分解与整体代入求值 【方法点拨】求代数式的值时，先对所求式子进行因式分解，把已知的 a＋b、ab、a－b 等作为一个整体代入，可避免先解出 a、b。这是本章高频的“先化简（分解）、再求值”型问题。 【典例精析】 例　已知 a＋b＝4，ab＝3，求 a²b＋ab² 的值。 【针对训练】 1．已知 x＋y＝6，xy＝4，求 x²y＋xy² 的值。 2．已知 a－b＝3，ab＝2，求 a³b－2a²b²＋ab³ 的值。 3．已知 m＋n＝2，mn＝−3，求 m²n＋mn² 的值。 4．先分解因式，再求值：x(x－y)＋y(y－x)，其中 x＝5，y＝2。 5．先分解因式，再求值：x³－x，其中 x＝2。 6．已知 a－b＝½，ab＝8，求 a³b－2a²b²＋ab³ 的值。 2 学科网（北京）股份有限公司 $