精品解析：湖北省武汉市硚口区2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

2025～2026学年度第一学期期中质量检测 九年级数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数为2，则一次项系数，常数项分别是（ ） A. 4， B. ，2 C. 2，1 D. ，1 3. 关于二次函数与，下列说法错误是（ ） A. 开口方向相同 B. 对称轴相同 C. 顶点坐标相同 D. 两函数图象关于x轴对称 4. 已知点与点关于原点对称，则a的值是（ ） A. B. C. 4 D. 5 5. 已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的其中一个解的范围是（ ） A. B. C D. 6. 把图中的图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ ） A. B. C. D. 7. 已知m，n是方程的两个实数根，若，则c的值是（ ） A. 2 B. C. D. 3 8. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将绕顶点A顺时针旋转得到对应．若点D恰好落在边上，且，则的大小是（ ） A. B. C. D. 10. 如图（），在中，，是边上的定点，点从点出发，以每秒个单位长度依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的时间为秒，以为边的正方形面积为，关于的函数图象如图（）所示，点是其中一段曲线的最低点，图（）中的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如果2是方程的一个根，那么常数的值为 ________． 12. 关于x的方程有两个不相等的实数根，写出一个正整数p的值是______． 13. 把点绕原点O逆时针旋转，则点P的对应点的坐标是______． 14. 某宾馆有个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出元的各种费用．设每个房间增加元，宾馆的利润为元，则与之间的函数关系式是______． 15. 抛物线经过，两点，其中．下列五个结论： ①； ②； ③若，则抛物线的最低点的纵坐标为； ④若m，n是关于x的方程的两个实数根，则； ⑤若点，在抛物线上，且，则． 其中正确的是______（填写序号）． 16. 如图，在锐角等腰中，，，分别是边，上的动点，连接．若，，，则的最小值是______． 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 解方程：x2﹣4x﹣7=0． 18. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？ 19. 如图，在等边和等边中，点B，C，D在一条直线上，连接，． （1）求证：； （2）可以看作是经过______变换得到的（填“平移”、“轴对称”或“旋转”），并用数学语言写出具体的变换过程． 20. 某班数学小组对函数的图象和性质进行了探究． 探究过程 （1）根据自变量x的取值范围是全体实数，列表写出了x与y的部分对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 0 0 0 5 … （2）根据上表数据，在平面直角坐标系中描点、连线，画函数图象． 探究应用根据探究过程，解决下列问题． （1）请在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； （2）直接写出a，b的值； （3）该函数对称轴是______；当时，y随x的增大而______（填“增大”或“减小”）； （4）关于x的方程有四个实数根，直接写出m的取值范围． 21. 如图是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶点叫作格点，的顶点都在格点． （1）在图（1）中，点D在边上，先画的中线，再连接，并画线段绕点E旋转的对应线段； （2）在图（2）中，先画的高，再画线段绕点A逆时针旋转的对应线段． 22. 某校组织跳长绳体育锻炼．某科技小组开展了以“摇绳中的数学”为主题的综合实践活动． 研究背景 甲，乙摇绳机的手柄高度相同，绳子摇到最高处的形状近似看作抛物线的一部分． 建立方法 以甲，乙摇绳机所在地面直线为x轴，甲摇绳机手柄A处作垂直于地面的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 收集信息 摇绳时，甲，乙摇绳机手柄A，B之间的水平距离是，手柄A，B离地面的高度，都是．当绳子上D点与原点O的水平距离是时，其离地面的高度是．学生跳绳时，为了安全，学生正上方的绳子距其头顶至少高． 建立模型 求该抛物线解析式． 应用模型 （1）小明跳绳时，其头顶离地面的高度为，能否让他参加跳绳活动？请说明理由； （2）某跳绳小组成员站成一排同时跳绳，他们跳绳时头顶离地面的高度都是，要求小组相邻成员之间的水平距离不低于，不超过，直接写出同时跳绳人数t的取值范围． 23. 如图（1），点O在正方形内，连接，，，，． （1）求证：； （2）若，探究与的数量关系，并给出证明； （3）如图（2），若，求的大小． 24. 如图（1），抛物线C的顶点坐标为，与x轴交于原点O和点A． （1）直接写出抛物线C的解析式以及点A的坐标； （2）点B在抛物线C上，设点B的横坐标为m，，连接，，若中有一个角为，求m的值； （3）将抛物线C向下平移2个单位长度得到抛物线，如图（2），直线交抛物线于点F，H（F在H左边），过点H的直线l交抛物线于另一点Q，直线与直线交于点K．设原点O到直线l的距离为h，若，求h的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期期中质量检测 九年级数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键． 根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出． 【详解】解：A、是中心对称图形，符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数为2，则一次项系数，常数项分别是（ ） A. 4， B. ，2 C. 2，1 D. ，1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式为，其中a、b、c分别为二次项系数、一次项系数和常数项；将方程化为一般形式后，根据二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解. 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得一般形式：， ∴二次项系数为2，一次项系数为，常数项为1. 故选：D 3. 关于二次函数与，下列说法错误的是（ ） A. 开口方向相同 B. 对称轴相同 C. 顶点坐标相同 D. 两函数图象关于x轴对称 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．通过比较二次函数和的开口方向、对称轴、顶点坐标和对称性，判断各选项正误，即可作答． 【详解】解：∵， ∴开口方向向上，对称轴为直线， 当时，则，即顶点坐标为， ∵， ∴开口方向向下，对称轴为直线， 当时，则，即顶点坐标为， ∴二次函数与的开口方向不相同，故A选项符合题意； ∴二次函数与的对称轴相同，顶点坐标相同，两函数图象关于x轴对称，故B、C、D选项不符合题意； 故选：A 4. 已知点与点关于原点对称，则a的值是（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点的坐标；两点关于原点对称时，横坐标和纵坐标均互为相反数. 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，. 故选：A. 5. 已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的其中一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，先估计出对称轴右侧图象与x轴交点的横坐标，再利用对称轴，可以估算出左侧交点横坐标． 【详解】解：依题意得二次函数的抛物线开口向下，图象的对称轴为， 而对称轴右侧图象与x轴交点在0与1之间，即 又∵对称轴为， 则抛物线与轴的另一个交点在与之间，即一元二次方程的其中一个解的范围是， 故选：B． 6. 把图中的图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形旋转对称性，用除以计算即可得解． 【详解】解：， 旋转的角度是的整数倍， 旋转的角度至少是． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是的整数倍是解题的关键． 7. 已知m，n是方程的两个实数根，若，则c的值是（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系；利用一元二次方程根与系数的关系，求出和，代入已知等式求解． 【详解】解：∵m，n是方程的实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 8. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设竹子折断处离地面的高度尺．根据图形并结合勾股定理即可得解，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：设竹子折断处离地面的高度尺． 由题意可得：， 故选：C． 9. 如图，将绕顶点A顺时针旋转得到对应．若点D恰好落在边上，且，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质；由旋转性质可得，，得到，再根据平行线的性质可得，最后根据即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 故选：C． 10. 如图（），在中，，是边上的定点，点从点出发，以每秒个单位长度依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的时间为秒，以为边的正方形面积为，关于的函数图象如图（）所示，点是其中一段曲线的最低点，图（）中的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，由函数图象可知，当点和点重合时，以为边的正方形面积为，此时；当点和点重合时，以为边的正方形面积为，此时， 进而得到，即得到点从点到点运动的时间为秒，得到点从点到点运动的时间为秒，即得，利用勾股定理求出再得到即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知，当点和点重合时，以为边的正方形面积为，此时； 当点和点重合时，以为边的正方形面积为，此时； ∵， ∴， ∵点的速度为每秒个单位长度， ∴点从点到点运动的时间为秒， ∴点从点到点运动的时间为秒， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如果2是方程的一个根，那么常数的值为 ________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．把代入方程，即可求解． 【详解】解：∵2是方程的一个根， ∴， 解得：． 故答案为：4． 12. 关于x的方程有两个不相等的实数根，写出一个正整数p的值是______． 【答案】1（答案不唯一，1，2，3都可） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式；根据根的判别式的性质，方程有两个不相等的实数根时判别式大于零，由此列出不等式求解． 【详解】解： ∵，，， ∴， ∴， 又∵是正整数， ∴可以取1、2或3， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 把点绕原点O逆时针旋转，则点P的对应点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的变化——旋转，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键，作出图形更形象直观；作出图形，过点P作轴于点A，作轴于点B，过点作轴于点，作轴于点，根据点A的坐标求出、的长度，根据旋转变换只改把图形的位置，不改变图形的形状与大小求出、的长度，即可得解. 【详解】解：过点P作轴于点A，作轴于点B，过点作轴于点，作轴于点，如图所示： ∵点， ∴，， ∵点绕原点O逆时针旋转得到点， ∴，， ∴点的坐标是. 故答案为：. 14. 某宾馆有个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出元的各种费用．设每个房间增加元，宾馆的利润为元，则与之间的函数关系式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用． 根据题意，每个房间增加元，每个房间每天的定价为元，空闲房间数为，入住房间数为，每个房间利润为元，即可得与之间的函数关系式． 【详解】解：设每个房间增加元，则房间定价元， 根据题意可得，入住房间数为个，每个房间利润为元， ∴宾馆利润， ∴与之间的函数关系式是． 故答案为：． 15. 抛物线经过，两点，其中．下列五个结论： ①； ②； ③若，则抛物线的最低点的纵坐标为； ④若m，n是关于x的方程的两个实数根，则； ⑤若点，抛物线上，且，则． 其中正确的是______（填写序号）． 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】根据点A和B的纵坐标均为1，可得m和n是方程的两根，利用根与系数的关系得到，，结合，可判断①和②；由，结合根与系数的关系推导出顶点纵坐标为，可判断③；若m和n是方程的根，利用根与系数的关系得到，可判断④；根据得到，结合可得，可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线经过和，且， ∴m和n是方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①②正确； ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点纵坐标为， 由，得， 代入得 ，故③正确． ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 将代入， 得， ∴， ∵， ∴，但题目为，矛盾，故④错误； ∵点和在抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，故⑤正确． 综上所述，正确的结论是①②③⑤． 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题考查二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系以及二次函数与一元二次方程之间的联系，掌握二次函数的图像与性质和各项系数之间的关系是解题关键． 16. 如图，在锐角等腰中，，，分别是边，上的动点，连接．若，，，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】通过构造平行四边形将转化为，利用等腰三角形三线合一、平行线判定，结合面积公式求高，再根据垂线段最短确定的最小值（即的最小值）． 【详解】解：过点作于，过点作，过点作交于，作射线，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为垂直于的定直线，直线，间的距离为， ∴的最小值为， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理及垂线段最短的性质，熟练掌握“通过构造平行四边形转化线段长度，利用等腰三角形三线合一和平行线性质确定最小值”是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 解方程：x2﹣4x﹣7=0． 【答案】x1=2+，x2=2﹣． 【解析】 【分析】移项后配方得出x2-4x+4=7+4，推出（x-2）2=11，开方后得出方程x-2=±，求出方程的解即可． 【详解】解：移项得：x2﹣4x=7 配方得：x2﹣4x+4=7+4 即（x﹣2）2=11 开方得：x﹣2=± ∴原方程的解是：x1=2+，x2=2﹣． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和用配方法解一元二次方程的应用，关键是配方后得出（x-2）2=11，题目比较典型，难度适中． 18. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？ 【答案】9． 【解析】 【分析】设每个支干分出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x个，小分支的数量为x•x=x2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91列出方程，解方程即可． 【详解】解：设每个支干长出x小分支，根据题意可得：1+x+x2=91， 解得：x1=9，x2=﹣10（不合题意舍去）， 答：每个支干长出9小分支． 19. 如图，在等边和等边中，点B，C，D在一条直线上，连接，． （1）求证：； （2）可以看作是经过______变换得到的（填“平移”、“轴对称”或“旋转”），并用数学语言写出具体的变换过程． 【答案】（1）见解析 （2）旋转，绕C点顺时针旋转60°得 【解析】 【分析】此题考查了图形的旋转，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质． （1）利用“”证明，可得到； （2）可绕点逆时针旋转得到． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：以点为旋转中心将逆时针旋转就得到， 故答案为：旋转，以点为旋转中心将逆时针旋转得到． 20. 某班数学小组对函数的图象和性质进行了探究． 探究过程 （1）根据自变量x的取值范围是全体实数，列表写出了x与y的部分对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 0 0 0 5 … （2）根据上表数据，在平面直角坐标系中描点、连线，画函数图象． 探究应用根据探究过程，解决下列问题． （1）请在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； （2）直接写出a，b的值； （3）该函数的对称轴是______；当时，y随x的增大而______（填“增大”或“减小”）； （4）关于x的方程有四个实数根，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）见详解 （2）， （3）直线，减小 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标、分段函数的图象，准确画出函数的图象并灵活运用函数图象得到函数的性质成为解答本题的关键． （1）根据表格已有数据、描点、连线即可得到函数图象； （2）根据待定系数法求解即可． （3）根据函数图象即可解答； （4）根据函数图像得到函数的性质，再运用性质解答即可． 【小问1详解】 解：函数图象如图： 【小问2详解】 解：将分别代入， 得， 解得：，； 【小问3详解】 解：根据（1）中图象可得，该函数的对称轴是直线；当时，y随x的增大而减小； 【小问4详解】 解：∵关于x方程有四个实数根， ∴函数与函数的函数图象有四个不同的交点， ∴． 21. 如图是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶点叫作格点，的顶点都在格点． （1）在图（1）中，点D在边上，先画的中线，再连接，并画线段绕点E旋转的对应线段； （2）在图（2）中，先画的高，再画线段绕点A逆时针旋转的对应线段． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】本题考查利用网格作图，平行线分线段成比例定理，旋转的性质； （1）连接，与从上往下第5条网格横线的交点即为中点E，连接即为所求；连接并延长与点B所在的网格横线相交于F，连接即为所求； （2）利用网格结合三角形的高的定义作出，取点B绕点A逆时针旋转得到点，取点C绕点A逆时针旋转得到点，连接，过点A作的垂线，交于点M，则即为所求. 【小问1详解】 解：如图所示：与从上往下第5条网格横线的交点即为中点E，连接即为所求， 连接，连接并延长与点B所在的网格横线相交于F，连接即为所求， 由平行线分线段成比例定理可得为、中点 ∴四边形为平行四边形， ∴、即为所求. 【小问2详解】 解：如图所示：连接与交于H，则为的高， 取点B绕点A逆时针旋转得到点，取点C绕点A逆时针旋转得到点，连接，过点A作的垂线，交于点M，则即为所求， 由网格可知， ∵，， ∴，， ∴，， 即，， 同理可得， ∴在与中 ∴， ∴， 综上：、即为所求. 22. 某校组织跳长绳体育锻炼．某科技小组开展了以“摇绳中的数学”为主题的综合实践活动． 研究背景 甲，乙摇绳机的手柄高度相同，绳子摇到最高处的形状近似看作抛物线的一部分． 建立方法 以甲，乙摇绳机所在地面直线为x轴，甲摇绳机手柄A处作垂直于地面的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 收集信息 摇绳时，甲，乙摇绳机手柄A，B之间的水平距离是，手柄A，B离地面的高度，都是．当绳子上D点与原点O的水平距离是时，其离地面的高度是．学生跳绳时，为了安全，学生正上方的绳子距其头顶至少高． 建立模型 求该抛物线的解析式． 应用模型 （1）小明跳绳时，其头顶离地面的高度为，能否让他参加跳绳活动？请说明理由； （2）某跳绳小组成员站成一排同时跳绳，他们跳绳时头顶离地面的高度都是，要求小组相邻成员之间的水平距离不低于，不超过，直接写出同时跳绳人数t的取值范围． 【答案】建立模型：；应用模型：（1）不能邀请小明参加跳绳活动，理由见解析；（2）（t为整数） 【解析】 【分析】本题考查待定系数求二次函数解析式，二次函数解决实际问题； 建立模型：设抛物线解析式为，依据题意得，甲摇绳机A坐标，乙摇绳机B坐标，D点坐标，代入点的坐标即可求出解析式； 应用模型：（1）依据题意得，绳子高度>小明头顶高度+，可得，又顶点，最高高度为，故，从而绳子最高处仍低于安全要求高度，进而可以判断得解；（2）依据题意得，绳子高度>，可令，从而求出，，进而有效跳绳水平范围为，总长度为，结合间隔数为，需满足且，最后可以判断得解. 【详解】建立模型 解：设抛物线解析式为，将，，代入得， 解得 ∴y与x的函数解析式是． 应用模型 解：（1）∵， ∴当时，y有最大值2.25． ∵， ∴不能邀请小明参加跳绳活动． （2）令，即 解得，， ∴小组成员两端之间的水平距离为 ∴ ∴（t为整数）． 23. 如图（1），点O在正方形内，连接，，，，． （1）求证：； （2）若，探究与的数量关系，并给出证明； （3）如图（2），若，求的大小． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据为正方形，得出，，根据，得出，则，证明，即可证． （2）过点A作交的延长线于N，连接．根据，得出，，则，证明，得出，，则，设，则．勾股定理求出，即可得． （3）以为边在的下方作等边，连接．根据，，得出，结合，得出，证明，得出，结合，得出，证明，得出，证出为等边三角形，则． 【小问1详解】 证明：∵为正方形， ∴，， 又， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：过点A作交的延长线于N，连接． ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设， 则． ∴， ∴． 【小问3详解】 解：以为边在的下方作等边，连接． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 【点睛】该题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，正方形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 24. 如图（1），抛物线C的顶点坐标为，与x轴交于原点O和点A． （1）直接写出抛物线C的解析式以及点A的坐标； （2）点B在抛物线C上，设点B的横坐标为m，，连接，，若中有一个角为，求m的值； （3）将抛物线C向下平移2个单位长度得到抛物线，如图（2），直线交抛物线于点F，H（F在H左边），过点H的直线l交抛物线于另一点Q，直线与直线交于点K．设原点O到直线l的距离为h，若，求h的最大值． 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，全等三角形的判定与性质，抛物线与直线交点问题； （1）设抛物线解析式为，再将原点坐标代入求出a即可，最后令，即可求出A点坐标； （2）分类讨论：当时，则直线的解析式为，利用直线与抛物线求交点坐标即可；当时，先求出直线的解析式为，过点O作交的延长线于点D，分别过B，D作轴于点M，轴于点N，证明，得到代入直线的解析式即可求出； （3）设，，利用直线交抛物线于点F，H，可求出，由可得K为的中点，求出Q点和H点坐标，进而求出直线l的解析式，可得直线l过定点，可得出，即可求出h的最大值. 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， ∵抛物线经过原点 ∴将代入得： 解得： ∴ 令 解得：，， ∴点坐标为. 【小问2详解】 解：①当时， ∵， ∴点B在x轴的下方， ∴直线的解析式为，如图所示， 由得，解得：或， ∵， ∴， ②当时， ∵， ∴点B在x轴的下方， 设点， 设直线的解析式为 解得： ∴直线的解析式为， 过点O作交BA的延长线于点D，分别过B，D作轴于点M，轴于点N， ∵，， ∴， ∵，， ∴ 在与中 ∴， ∴，， ∴， 代入，得， 解得：或 ∵， ∴， 综上所述：或. 【小问3详解】 解：由题意得：抛物线为， ∵直线交抛物线于点F，H， 设，， ∵， ∴， ，， ∴． ∵， ∴K为的中点， ∵直线与直线交于点K， ∴， ∴， ∴，又， 设直线l解析式为， 解得：， ∴直线l：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当，即时，， ∴直线l过定点， ∴点O到直线l的距离为， 又∵， ∴h的最大值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $