精品解析：黑龙江省绥化市哈尔滨师范大学青冈实验中学2025-2026学年高二英才班上学期期中考试数学试题

哈师大青冈实验中学校2025-2026学年度高二上学期英才班期中考试 数学试题(A) 满分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可求其焦点坐标. 【详解】由可得， 所以抛物线开口向上且， 所以，所以焦点坐标为. 故选：C. 2. 已知点在圆外，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程表示圆及点在圆外列出不等式求解即可. 【详解】表示圆，故， 即，解得或. 因为点在圆外， 故，解得， 故实数的取值范围为或. 故选：D 3. 在斜四棱柱中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量数量积可求. 【详解】， 则 ． 故选：A. 4. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解点线距即可. 【详解】建立如图空间直角坐标系， 则， ，. 故点到直线的距离. 故选：B 5. 已知双曲线的右焦点为为的左支上一点，为线段的中点，为坐标原点，若，则（ ） A. 10 B. 9 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线的定义及中位线的性质求解即可. 【详解】设左焦点为，连接，因为为的中点， 为坐标原点，所以， 由双曲线的定义可知，， 所以. 故选：A. 6. 已知为数列的前n项和，，是公差为1的等差数列，则下列选项中不正确的是（  ） A. B. 当且仅当时，取得最小值 C. D. 数列中第5项的值最大 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式、与的关系，结合二次函数的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为是公差为1的等差数列， 所以， 因此，所以A正确； B：由上可知：， 因为，所以当或6时，取得最小值，因此B不正确； C：由上可知：， 于是当时，， 显然，符合，所以C正确； D：由上可知：， 令， 显然当时，因为， 所以，而， 显然数列中第5项的值最大，故D正确， 故选：B 7. 若直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】易得直线为过点的动直线，曲线为以为圆心，1为半径的半圆，进而结合图象求解即可. 【详解】直线为过点的动直线， 曲线，即为半圆， 圆心为，半径为1，设半圆最下方的点为，如图， 当直线与半圆相切时，有，解得； 当直线过点时，有，即； 因为直线与半圆有两个不同的交点，所以， 则的取值范围是. 故选：B 8. 已知分别是椭圆的左､右焦点，是上一点，若，且，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆定义可得，由余弦定理可得，即可联立求解，利用对勾函数的性质即可求解. 【详解】设，，由椭圆的定义可得，， 可设，可得，即有，即， 由，结合余弦定理可得 ，即可， 故， 可得， 由，可得,进而，则，解得. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，，则 B. 直线l的方向向量，平面的法向是，则 C. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D. 直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面所成角的大小为 【答案】AC 【解析】 【分析】由可判断A；由可判断B；由可判断C；根据线面角的向量公式直接计算可判断D. 【详解】A选项：因为，且不重合，所以，A正确； B选项：因为，所以 所以或，B错误； C选项：因为，所以，C正确； D选项：记直线l与平面所成角为，则， 因，所以，D错误. 故选：AC 10. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则（ ） A. 直线过定点 B. 动点的轨迹方程为 C. 动点到直线的距离的最大值为 D. 若点的坐标为，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：利用直线过定点求解即可，选项B：设动点，然后根据条件列出，然后整理得到阿氏圆的方程， 选项C:易知最大值为.选项D：分析可知当且仅当为线段与圆的交点时取最小值. 【详解】对A,直线，，所以直线过定点，A正确； 对B，设，因为动点满足 ，所以 ， 整理可得， 即，所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 动点的轨迹方程为圆，B正确； 对于 C，当直线与垂直时, 动点到直线的距离最大， 且最大值为，C错误； 对于D，由，得，所以， 又因为点在圆内，点在圆外， 所以， 当且仅当为线段与圆的交点时取等号. 故选：ABD 11. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率，过点的直线l与C交于A，B两点，且的周长为8，则下列说法正确的是（ ） A. C的方程为 B. 若，则是直角三角形 C. 使得为直角三角形的l共有4条 D. 若，则l的斜率为 【答案】BD 【解析】 【分析】由焦点三角形的周长及椭圆的定义求得，由离心率及椭圆参数关系得，即可得方程判断A；根据已知及椭圆的定义得，结合，应用勾股逆定理判断B；根据B分析及椭圆对称性，结合与上下顶点重合的情况即可判断C；令且，，联立椭圆并应用韦达定理和已知条件列方程求参数，即可判断D. 【详解】由题设，，即， 由，可得，故，则，A错； 由且，可得，又， 显然，即是直角三角形，B对； 由B的结论，结合椭圆的对称性知类似结论的直角有4个，对应的直线有3条， 又与上下顶点重合时，为等边三角形，则， 所以的最大值为，故不可能是以为直角顶点的直角三角形， 综上，使得为直角三角形的l共有3条，C错； 令且，由，即， 由上，可设，代入，整理得， 所以，，即，， 所以，可得，则， 所以直线l的斜率为，D对. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在数列中，，，则该数列的通项公式为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用累加法及等差数列的求和公式求解即可. 【详解】由题意得， 当时，， 将这个式子累加，得， 所以，而满足上式， 所以. 故答案为：. 13. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，，则异面直线AC与PB所成的角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法求解. 【详解】以A为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 因此， 所以异面直线AC与PB所成角的余弦值为. 故答案为： 14. P是抛物线上任意一点，点是x轴上的定点，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】设点P坐标，利用两点距离公式结合二次函数的性质计算即可. 【详解】设，则，易知 ， 当且仅当时取得最小值. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 已知圆M过点 （1）求圆M的方程； （2）过点的直线与圆M相交于D､E两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求圆的方程； （2）由已知求出圆心到直线的距离，分斜率存在和不存在讨论，再利用点到直线的距离公式，即可求出直线的斜率，进而得到直线的方程. 【小问1详解】 设圆， 则，解得，满足， 所以圆的方程为，即. 【小问2详解】 由（1）知，，半径， 设圆心到直线的距离为，则，即，解得， 当直线的斜率不存在时，为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设，故，解得， 此时直线的方程为， 综上，直线的方程为或. 16. 已知数列的前n项和为，若． （1）求证：数列是等差数列； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)利用与之间的关系，可求出的通项公式，在利用等差数列的定义证明即可. (2)先通过通项公式判断前5项小于0，第6项以后都是大于0，可以分， 和，两部分进行求和，即可得出答案. 【小问1详解】 因为， 所以时，， 由①②相减可得，，， 当时，也满足题意， 故的通项公式为：． 所以时，， 所以时，总成立， 所以数列是等差数列． 【小问2详解】 因为， 所以， 当时，；当时，， 由(1)中结论可知，当时，； 当时，， 从而． 17. 已知椭圆的上、下焦点分别为.点是椭圆上一点，且 （1）求的面积； （2）若直线与交于两点，且弦的中点为，求的一般式方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆焦点三角形面积公式求解即可；也可以利用余弦定理和椭圆定义来推导该面积公式，然后再求解； （2）设，利用点差法求解即可. 【小问1详解】 方法1： 方法2： 根据椭圆可知：， 【小问2详解】 设，代入椭圆方程得：， 两式相减得：， 又根据题意知：，代入可得：， 所以的斜率， 故的方程为，即. 18. 在四棱锥中，底面为正方形，是中点，平面，平面平面． （1）求证：； （2）如图，且，求点到平面的距离； （3）设四棱锥的外接球球心为，点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）由线面平行的性质即可求证， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据点到平面的距离的向量法公式求解， （3）根据几何体的结构特征可求得球心的坐标，然后求解平面法向量，即可利用向量的夹角求解. 【小问1详解】 ∵四边形为正方形，∴， 又平面，平面，∴平面 又平面，平面平面， ∴ 【小问2详解】 如图所示，取中点，连接，则， ∵平面，平面，平面， ∴，， ∴以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 于是，，， 设平面的法向量为， 则，得，取 ∴点M到平面PBC的距离为 【小问3详解】 ∵，且平面为正方形， ∴点在平面上的射影是的中心，可设，且， ∴，解得，即 设，则 又，设平面的法向量为 则，，取 设直线与平面所成角为，则 ， 所以当时，直线与平面所成角的正弦值取最大值，最大值为． 19. 已知双曲线：（，）的实轴长为2，点为圆：与双曲线在第一象限内的交点，，分别为曲线的左、右焦点，且，过点直线与在第一象限交于，两点，且点在点上方. （1）求双曲线标准方程； （2）若点为线段的中点，直线交直线于点. （ⅰ）求证：直线平行于轴； （ⅱ）若，求直线的方程. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）设，根据求出，得到，求出双曲线方程； （2）（ⅰ）联立双曲线和圆的方程，求出，，表达出直线的方程，求出点的纵坐标，设直线方程，，，联立方程与双曲线方程，得到两根之和，两根之积，计算出，故，所以直线平行于轴； （ⅱ）法一：由得，故，并得到，将两根之和，两根之积代入，解得，又，解得，求出直线的方程； 法二：由得，由（1）知，则有，作出辅助线，得到，其中，故，求出，，得到直线的斜率，求出直线的方程. 【小问1详解】 设，，， 则有，， ， 又在圆：上，， 所以， 则，由题知，则， 椭圆的标准方程为 【小问2详解】 由（ⅰ）知，，， 得，即， 由于，故，所以轴， 当直线的斜率不存在时，也双曲线无交点，故直线的斜率存在， 设直线所在方程为（）， ，，， 点为线段的中点，故， 则直线：， 当时，，其中 故点的纵坐标， 联立方程，消去得， 则有，，得，解得， 韦达定理得：，， ， 故，所以直线平行于轴， （ⅱ）法一：由得：， 因为，，则，故， 又， 故，即， 将，代入上式得， ，解得， 又，解得，满足， 直线的方程为： 法二：由得：， 因为，，则， 由（1）知，则有，过点做轴的垂线，垂足为， 中，，有， 其中，故，故，， 则，中令得，解得，故， 则直线的斜率为， 直线的方程为：. 【点睛】方法点睛：定值问题常见方法： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈师大青冈实验中学校2025-2026学年度高二上学期英才班期中考试 数学试题(A) 满分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知点在圆外，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在斜四棱柱中，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 已知双曲线的右焦点为为的左支上一点，为线段的中点，为坐标原点，若，则（ ） A. 10 B. 9 C. 7 D. 6 6. 已知为数列的前n项和，，是公差为1的等差数列，则下列选项中不正确的是（  ） A. B. 当且仅当时，取得最小值 C. D. 数列中第5项的值最大 7. 若直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C D. 8. 已知分别是椭圆的左､右焦点，是上一点，若，且，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，，则 B. 直线l方向向量，平面的法向是，则 C. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D. 直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面所成角的大小为 10. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则（ ） A. 直线过定点 B. 动点的轨迹方程为 C. 动点到直线的距离的最大值为 D. 若点的坐标为，则的最小值为 11. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率，过点的直线l与C交于A，B两点，且的周长为8，则下列说法正确的是（ ） A. C的方程为 B. 若，则是直角三角形 C. 使得为直角三角形的l共有4条 D. 若，则l的斜率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在数列中，，，则该数列的通项公式为_____. 13. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，，则异面直线AC与PB所成的角的余弦值为______. 14. P是抛物线上任意一点，点是x轴上的定点，则的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆M过点 （1）求圆M的方程； （2）过点的直线与圆M相交于D､E两点，且，求直线的方程. 16. 已知数列的前n项和为，若． （1）求证：数列是等差数列； （2）若，求数列的前n项和． 17. 已知椭圆的上、下焦点分别为.点是椭圆上一点，且 （1）求面积； （2）若直线与交于两点，且弦的中点为，求的一般式方程. 18. 在四棱锥中，底面为正方形，是中点，平面，平面平面． （1）求证：； （2）如图，且，求点到平面距离； （3）设四棱锥外接球球心为，点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 19. 已知双曲线：（，）的实轴长为2，点为圆：与双曲线在第一象限内的交点，，分别为曲线的左、右焦点，且，过点直线与在第一象限交于，两点，且点在点上方. （1）求双曲线的标准方程； （2）若点为线段的中点，直线交直线于点. （ⅰ）求证：直线平行于轴； （ⅱ）若，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $