专题6 相似三角形的常见模型【八大模型+八种题型】 讲义2025-2026学年苏科版 数学九年级下册

该初中数学讲义以“八大模型”为核心系统构建相似三角形知识体系，通过图形示例与条件结论对照表梳理A字型、“8”字形等模型的基础形态及拓展变形，清晰呈现模型间内在联系，突出几何直观与空间观念培养。 讲义亮点在于“模型-题型”精准对应设计，每种模型匹配中考真题及变式练习，如“一线三角型”通过证明相似与计算线段长，培养推理意识与模型观念。基础题夯实模型应用，拓展题提升综合能力，助力分层教学，为教师精准复习提供系统支持。

专题6相似三角形的常见模型【八大模型+8种题型】 一、模型梳理 【模型1A字型】 ①如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC,则△ADE∽△ABC, AD AE DE AB AC BC ②模型拓展1：斜交A字型条件：∠C=∠ADE,图2结论：△ADE~△ACB; 反A字型（不平行） ③枚型拓展2：如图，∠ACD=∠B△MDC△4CBe4D=4C=CD AC AB BC D B 【模型2“8”字形】 AB OA OB ①如图1，AB∥CDe△4OB∽△COD台 CD OC OD AB OA OB ②如图2，∠A=∠D~△AOB∽△DOC~ CD OD OC y 图1 图2 ③模型拓展：如图，∠A=∠C△AJB∽△CJDe AB JA JB CD A 反8字型（不平行） 【模型3AX字型】 A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化. 【模型4子母型】 如图为斜“A”字型基本图形.当∠AED=∠B时，△ABC∽△AED,则有 AE AD DE AB AC BC AE·AC=AD·AB. B 如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型. 当LACD=LB时，△ABC∽△ACD,则有AC=D=CD AB AC BC 2 B 【模型5三角形内接矩形模型】 由之前的基本模型(A型或AX型)推导出来的。 G G E M E 结论：AH⊥GF,△AGF∽△ABC, GF AH BC AM 【模型6双垂直型】 ①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△4CD∽△ABC∽△CBD.常 见的结论有：CA2=ADAB,BC2=BDBA,CD2=DADB. B ②拓展： (1)正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在Rt△ABE和Rt△BCF内均有射影定理模型. E (2)如图，在圆中也会出现射影定理模型. 【模型7手拉手型】 ①如图，若△ABC∽△ADE,则△ABD∽△ACE. B E ②如图所示，△BDE和△ABC都是等腰直角三角形，CE的延长线与AD相交于点P,则 △ABD∽△CBE,且相似比为1：√2，AD与CE的夹角为45°. D 总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点 及其旋转后的对应点组成的三角形相似. ③如图所示，RtAAOB∽RIACOD,则△AOCP△BOD,AC⊥BD,且AD2+BC2=CD2+AB2. 【模型8一线三角型】 (1)“三垂直”模型：如图1，∠B=∠D=∠ACE=90°，则△ABC∽△CDE. (2)一线三等角”模型：如图2，∠B=∠ACE=∠D,则△4BC∽△CDE. 特别地，连接AE,若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. A C D C 图1 图2 补充：其他常见的一线三等角图形 C F 60 O B D E BB 二、典型例题 【题型1A字型】 【例1】（江苏无锡模拟预测）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点G在CA的延长线上.GB=GE, 若BE+CG=20,B形=2，则AF的长为() G A.4 B.18 D.2 5 【变式1】（江苏·常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）如图，△ABD中，∠A=90°，AB=6cm,AD =12cm.某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D 出发沿DA方向以2cms的速度向点A匀速运动，运动的时间为s. (1)求t为何值时，△4N的面积是△ABD面积的)： (2)当以点A,M,N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值. B 【变式2】（九年级江苏阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=6, AD平分LBAC,交边BC于点D,过点D作CA的平行线，交边AB于点E. (1)求线段DE的长； (2)取线段AD的中点M,联结BM,交线段DE于点F,延长线段BM交边4C于点G,求E 的值. E B B 山E D M 【题型2“8”字形】 【例2】（铁西威阳夜拟预》如图：在矩形A8CD中，A8=，D=5,若凭子则线段E的长为 () A.2√2 B.3 C.10 D.4 【变式1】（吉林·长春市赫行实验学校二模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,点 D为AC上一点，连接BD,E为AB上一点，CE⊥BD于点F,当AD=CD时，求CE的长， 【变式2】（甘肃临夏中考真题）如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点重合的一动点，点F 是对角线BD上一点，连接BE,AF交于点O,且∠ABE=∠DAF. 【模型建立】(1)求证：AF⊥BE; 【模型应用】(2)若AB=2,AD=3,DF=BF,求DE的长： 2 迁移】(3)如图2，若矩形ABCD是正方形，DF=BP,求 > E D o B 图1 图2 8 【题型3AX字型】 【例3】（八年级下·上海普陀期末）己知：如图，EF∥AB∥CD,AC与BD交于点E,AB=9,CD=6, 那么EF= E B F 【变式1】（河南鹤壁市淇滨中学九年级期中）己知，平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，在直线 AD上截取AF=2FD,连接EF,EF交AC于G,则4G AC 【变式2】（湖北模拟预测）(1)【问题背景】如图1，AB∥EF∥CD,AD与BC相交于点E,点F在 D上.求证：+=1 AB CD EF 小雅同学的想法是将结论转化为F+乐-1来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程 AB CD (2)【类比探究】如图2，AE⊥AB,BD⊥AB,GH⊥AB,DE与BC相交于点G,点H在AB上， 112 AE=AC.求证：GH AC-BD (3)【拓展运用】如图3，在四边形ABCD中，AB∥CD,连接AC,BD交于点M,过点M作EF∥AB, 交AD于点E,交BC于点F,连接EC,FD交于点N,过点N作GH∥AB,交AD于点G,交BC于点H, 若AB=3,CD=5,直接写出GH的长. A G B 图1 图2 图3 【题型4子母型】 【例4】（广西百色中考真题）如图，△ABC中，AB=AC,∠B=72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D, 则点D是线段AB的黄金分割点.若AC=2,则BD=一· D 【变式1】（辽宁鞍山·二模）在△ABC中，∠ABC=2∠ACB,BD平分∠ABC交AC于点D. D B E 图(1) 图(2) (1)如图(1)，若AB=3,AC=5,求AD的长； (2)如图(2)，过点A分别作AC,BD的垂线，分别交BC,BD于点E,F. ①求证：∠ABC=∠EAF; ②米 的值. 10专题6相似三角形的常见模型【八大模型+8种题型】 一、模型梳理 【模型1A字型】 ①如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC,则△ADE∽△ABC, AD AE DE AB AC BC ②模型拓展1：斜交A字型条件：∠C=∠ADE,图2结论：△ADE~△ACB; 反A字型（不平行） ③枚型拓展2：如图，∠ACD=∠B△MDC△4CBe4D=4C=CD AC AB BC D B 【模型2“8”字形】 AB OA OB ①如图1，AB∥CDe△4OB∽△COD台 CD OC OD AB OA OB ②如图2，∠A=∠D~△AOB∽△DOC~ CD OD OC y 图1 图2 ③模型拓展：如图，∠A=∠C△AJB∽△CJDe AB JA JB CD A 反8字型（不平行） 【模型3AX字型】 A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化. 【模型4子母型】 如图为斜“A”字型基本图形.当∠AED=∠B时，△ABC∽△AED,则有 AE AD DE AB AC BC AE·AC=AD·AB. B 如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型. 当LACD=LB时，△ABC∽△ACD,则有AC=D=CD AB AC BC 2 B 【模型5三角形内接矩形模型】 由之前的基本模型(A型或AX型)推导出来的。 G G E M E 结论：AH⊥GF,△AGF∽△ABC, GF AH BC AM 【模型6双垂直型】 ①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△4CD∽△ABC∽△CBD.常 见的结论有：CA2=ADAB,BC2=BDBA,CD2=DADB. B ②拓展： (1)正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在Rt△ABE和Rt△BCF内均有射影定理模型. E (2)如图，在圆中也会出现射影定理模型. 【模型7手拉手型】 ①如图，若△ABC∽△ADE,则△ABD∽△ACE. B E ②如图所示，△BDE和△ABC都是等腰直角三角形，CE的延长线与AD相交于点P,则 △ABD∽△CBE,且相似比为1：√2，AD与CE的夹角为45°. D 总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点 及其旋转后的对应点组成的三角形相似. ③如图所示，RtAAOB∽RIACOD,则△AOC∽△BOD,AC⊥BD,且AD2+BC2=CD2+AB2. 【模型8一线三角型】 (1)“三垂直”模型：如图1，∠B=∠D=∠ACE=90°，则△ABC∽△CDE. (2)一线三等角”模型：如图2，∠B=∠ACE=∠D,则△4BC∽△CDE. 特别地，连接AE,若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. A C D C D 图1 图2 补充：其他常见的一线三等角图形 C F 50 O B D E E BB 二、典型例题 【题型1A字型】 【例1】（江苏无锡模拟预测）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点G在CA的延长线上.GB=GE, 皆BE+cG20，G=,则F的长为( G E 18 A.4 B. c.8 D.2 5 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30°的直角三角形的性质.过点G作 GH上BE,垂足为点H,设BE=2,时而可表示出相关线段长，再根据CH=CG列出方程求得×=2，最 后根据△GAF~△GDE可得答案 【详解】解：过点G作GH⊥BE,垂足为点H, G 4 D BHE 设BE=2x,:BE+CG=20, AG 3 BE 2 CG=20-2x,AG=3x, AC=CG-AG=20-5x,:△ABC和aCDE都是等边三角形， :BC=AC=20-5x,CD=DE=CE=BC-BE=20-7x,∠ABC=∠DEC=LC=60°， GB=GE,GHL BE,BH HE =x,:CH=CE+HE=20-6x, ®46HCa90，∠060P,ZHGC=30°CH=3CG,820-6r号20-2,2 AG=3x=6,CG=20-2x=16,CD=DE=20-7x=6,∴.GD=CG-CD=10, 610’AF=18 4BcDC,AB/DE,△GA-AGDE,6C,即4F-6 故选：B. 【变式1】（江苏·常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）如图，△ABD中，∠A=90°，AB=6cm,AD =I2cm.某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D 出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts. (I)求1为何值时，△N的面积是△ABD面积的号， (2)当以点A,M,N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值. B D 【答案】(1D4=4,5=2:(2)=3或24 【详解】解：(1)由题意得DN=2t(cm),AN=(12-2t)cm,AM=tcm, 6 △4MN的面积=14A4M=】x(12-2D×=6t-2, 2 2 ,∠A=90°，AB=6cm,AD=12cm .A4BD的面积为，4B4D=。×6x1236 2 :△4MN的面积是△ABD面积的，： ÷6t-r=2×36, 9 .2-6t+8=0, 解得t=4,t2=2, 答：经过4秒或2秒，△4N的面积是△4BD面积的弓： (2)由题意得DN=2t(cm),AN=(12-2t)cm,AM=cm, 若△AMN∽△ABD, 则脂侣公后2解得= 若△AMN∽△ADB, DB,即5=12-2 则有M-AN 412=6, 解得仁24 答：当=3或24时，以A、M、N为顶点的三角形与△4BD相似. 5 【变式2】（九年级·江苏阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=6, AD平分LBAC,交边BC于点D,过点D作CA的平行线，交边AB于点E. (1)求线段DE的长： (2)取线段AD的中点M,联结BM,交线段DE于点F,延长线段BM交边AC于点G,求 EF 的值. DE B D G 【答案】(1)4：(2) 3 【解析】解：(1)：AD平分∠BAC,∠BAC=60°，∴.∠DAC=30°， 在Rt△ACD中，∠ACD=90°，∠DAC=30°，AC=6,∴.CD=2V5. 在RIAACB中，∠ACB=90°，LBAC=60°，AC=6,∴.BC=63..BD=BC-CD=4V3. :DE/CA,BDEn6BC4:DE-8D-名.÷DE=4. 'CABC-3 (2),点M是线段AD的中点，.DM=AM· :DE/CA,△DFM∽△AGM:DF-DM “AGAM··DF=AG. :DEIlCA,△BEF∽△BAG:EF-BE_BD_2.EF2 AG BA BC 3 DF3 【题型2“8”字形】 【例】（碳陆线阳楼拟夏测)刻图。在矩形48CD中，48=，n=5、者-子则线段E的长为 B A.22 B.3 C.V10 D.4 【答案】B 8 【分析】此题考查了勾股定理以及相似三角形的判定与性质，根据勾股定理求出AD,再证明 △DEF∽△BCF,进行解答即可. 【详解】解：：在矩形ABCD中，LA=90°，AB=3,BD=5,.AD=√BD2-AB2=4,.BC=AD=4, EF 1 AD∥BC, FC=4'△DEF△BCF, DE=EF1 E子即DE=BCx}1,4E=40-DE=3,故选：B. 【变式1】（吉林·长春市赫行实验学校二模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,点 D为AC上一点，连接BD,E为AB上一点，CE⊥BD于点F,当AD=CD时，求CE的长 【答案】12v13 17 【详解】解：如解图，补成矩形ACBH,延长CE交AH于点G, D E B ,∠ACB=90°，CE⊥BD, ∴.∠ACG+∠BCG=90°，∠ABD+∠BCG=90°， .∴.∠ACG=∠CBD, .∴.△BCD∽△CAG, 光是器 2=33 AG 4 CG AG-3 CG-413 3 设CE=x,则EG=4 3 -X, 又，在矩形ACBH中，AG/BC, .△AEG~△BEC, 8 4W13 -x 3 x 解得x=123 17 cE=1213 17 【变式2】（甘肃临夏，中考真题）如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点重合的一动点，点F 是对角线BD上一点，连接BE,AF交于点O,且∠ABE=∠DAF, 【模型建立】(1)求证：AF⊥BE; 【模型应用】(2)若AB=2,AD=3,DF=BF,求DE的长； 2 【模型迁移】(3)如图2，若矩形ABCD是正方形，DF=BF,求4仁的值， AD E A E 图1 图2 【答案】①D见解折：2)}：(3③) 3 【分析】本题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点， 构造相似三角形，是解题的关键： 10