精品解析：新疆维吾尔自治区克拉玛依市独山子区第三中学2025-2026学年上学期九年级第一次月考数学试题

2025—2026学年九年级第一次诊断【数学】（试卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 一、选择题（共9小题，满分36分，每小题4分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是解题关键．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【详解】解：A. ，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； B. ，当时不是一元二次方程，不符合题意； C. ，整理可得，是一元二次方程，符合题意； D. ，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 2. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】根据二次函数的定义，可得答案． 解：A．是二次函数，故本选项符合题意； B．是二次函数，故本选项不符合题意； C．是一次函数，故本选项不符合题意； D．右边是分式，不是整式，y不是x的二次函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如（a．b．c为常数，）的函数，叫二次函数． 3. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A. 3， B. 3，，5 C. ，， D. 3，，4 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可进行解答． 【详解】解：一元二次方程方程的二次项系数是，一次项系数、常数项， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的相关概念，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 4. 关于的一元二次方程有实数根，则满足（　　） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义可知，根据一元二次方程有实数根，可知，解不等式可得：． 【详解】解：是一元二次方程， ， 解得：， 一元二次方程有实数根， ， 解得：， 满足且． 故选：C． 5. 某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，共有多少个球队参加比赛？设有x个球队参加比赛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设有x个球队参加比赛，根据“参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设有x个球队参加比赛，根据题意得： ． 故选：D 6. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据配方法的方法可以对题目中的方程配方，从而可以解答本题． 【详解】解：4x2-2x-1=0， x2-x=， x2-x+（）2=+（）2， （x-）2=． 故选：D． 【点睛】本题考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是明确配方法，会用配方法对方程进行变形． 7. 关于二次函数的说法错误的是（ ） A. 图象经过 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 抛物线开口向下 D. 当时，y有最小值为0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，包括开口方向，增减性，对称轴，最值，掌握二次函数的性质是解题关键． 根据、当时，可判断A选项；利用增减性可判B选项；利用二次函数的判断C选项，利用二次函数开口向下，函数有最大值可判断D选项． 【详解】解：A、当时，，图象经过，故在抛物线上，选项A说法正确，不符合题意； B、抛物线对称轴为直线，图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，选项B说法正确，不符合题意； C、二次函数中，，图象开口向下，选项C说法正确，不符合题意， D、二次函数图象开口向下，有最大值，选项D说法错误，符合题意， 故选：D． 8. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝﹣bx+a的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题． 【详解】A、对于直线y＝−bx＋a来说，由图象可以判断，a＞0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，对称轴x＝−＞0，在y轴的右侧，符合题意，图形正确． B、对于直线y＝−bx＋a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误． C、对于直线y＝−bx＋a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，对称轴＝−＜0，应位于y轴的左侧，故不合题意，图形错误， D、对于直线y＝−bx＋a来说，由图象可以判断，a＞0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误． 故选：A． 【点睛】此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答． 9. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进行判断，是解题的关键． ①根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③利用最值进行判断；④根据对称性和图象上的点，进行判断；⑤利用对称性进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上，则， ∵对称轴为直线，则， ∴，故②正确 抛物线与轴交于负半轴，则， ∴，故①错误； ∵当时，取得小值， ∴， 当m为任意实数，则，故③正确， ④∵抛物线关于对称， ∴和的函数值相同， 即：， 由图象知，当时，函数值大于0， ∴，故④正确； ⑤当关于对称时：即：时， 对应的函数值相同， 即：， ∴ ∴若，且，则；故⑤正确； 综上所述，正确的是②③④⑤，共4个， 故选：C． 二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 10. 若是关于的二次函数，则m的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数定义，利用二次函数定义可得，且，解方程即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴，且， 解得：． 故答案为：． 11. 若二次函数配方后为，则h和k的值分别为______． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了将二次函数的一般形式化成顶点式，根据即可求解． 【详解】解：， ∵二次函数配方后为， ∴h和k的值分别为，， 故答案为：，． 12. 已知是方程的两个根，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，完全平方公式的应用等知识，先根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再根据完全平方公式变形得出，将代入变形后的式子计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， ∴ 故答案为：1 13. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该三角形的周长为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系定理； 求出一元二次方程的解，根据三角形三边关系定理得出等腰三角形的三边为2，4，4，即可得出答案． 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，， 当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理； 当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，周长为， ∴该三角形的周长为10， 故答案为：10． 14. 已知函数图象上的三个点，则的大小关系是（从小到大排列）________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质．二次函数图象为开口向上的抛物线，则点到对称轴的距离越远，对应函数值越大，据此即可判断． 【详解】解：二次函数图象为开口向上的抛物线，其对称轴为， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义运算列出一元二次方程，根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵a*b＝a2+2ab﹣b2， ∴（x+2）*3＝ ∴ 即 ∵m，n是方程（x+2）*3＝0的两根， 故答案为： 【点睛】本题考查了新定义运算，一元二次方程根与系数的关系，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 三、解答题（共9小题，满分90分） 16. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键. （1）把方程化为，再化为两个一次方程解题即可； （2）把方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可. 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，平方差公式和单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根和零指数幂，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. （1）解方程组：； （2）如图，，求证：． 【答案】 （1） （2）证明：∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，全等三角形的判定和性质，掌握加减消元法，全等三角形的判定和性质是关键． （1）运用加减消元法求解即可； （2）根据题意证明，即可求解． 【详解】解：（1）； 得，， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴原方程组的解为； （2）略 19. 某班成立了数学兴趣小组，对二次函数的图象与性质进行了探究．过程如下，请补充完整． （1）①列表：自变量为任意实数．下表是与的几组对应值，其中______，______； … 0 1 2 … … 7 2 … ②描点：根据表中的数值，在如图所示的平面直角坐标系中描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象； （2）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1）① ②③描点、函数图象如下： （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的画法，二次函数性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）①分别令，，求出相应的函数值即可； ②以表格里每组数据为坐标描点即可； ③用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象即可． （2）根据图像解答即可． 【小问1详解】 解：①当时，， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：； ②③略 【小问2详解】 由图象知，． 20. 已知二次函数． （1）化成顶点式； （2）二次函数的值可以取到吗？说明理由； （3）求出抛物线与轴、轴交点坐标． 【答案】（1） （2） 不能，理由如下： 由（1）可知，二次函数的顶点式为， 二次项系数为， 抛物线开口向上，函数有最小值， 当时，取最小值为， ， 二次函数的值不可以取到． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式、函数值的取值范围以及抛物线与坐标轴交点坐标的求解，准确计算是解题的关键． （1）将二次函数化为顶点式，需要通过配方法，将二次函数一般式化为顶点式； （2）先求出二次函数的最小值，再与比较，即可得解； （3）分别令和，求解方程即可． 【小问1详解】 ， 二次函数的顶点式为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，则， 解得：，， 抛物线与轴的交点坐标为和． 令，则， 抛物线与轴的交点坐标为． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）利用根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出实数的值，即可求出，，代入即可得答案． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 实数的取值范围为． 【小问2详解】 ，是关于的一元二次方程的两实数根， ，． ， ， ， ，即， 解得：或， 当时，方程变为， ，不符合题意，舍去， 当时，方程变为， ，， ， ． 22. 如图，某单位准备将院内一块长，宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度． 【答案】小道进出口的宽度应为1米． 【解析】 【分析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可． 【详解】解：设小道进出口的宽度为x米， 依题意得． 整理，得． 解得，， ∵（不合题意，舍去）， ∴． 答：小道进出口的宽度应为1米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程． 23. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）50 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 24. 综合运用 如图，已知抛物线与x轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点F，交直线于点，连接， ①连接，当的面积为时，求点的横坐标； ②直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． （3）若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）①的面积为时，点的横坐标为1或4；②能，当点的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，，则，，利用三角形的面积公式进行讨论：当时，；当时，，从而可得到关于的方程，然后解方程求出就可得到对应的点坐标； （3）先确定抛物线的对称轴，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则，然后分别解关于的方程，从而可得到满足条件的点坐标． 【小问1详解】 解：（1）将代入， 得：， 解得， 则抛物线解析式为． 【小问2详解】 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， 所以直线的解析式为， ． 设，则，， ∴． ①根据题意得的面积为， 故可得方程： 解得． 的面积为10时，点的横坐标为1或4． ②能． ∵， 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 综上所述，当点D的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分． 【小问3详解】 抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ∵， ∴， 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为或， 综上所述，满足条件的M点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与轴的交点坐标，能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形，理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式，学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年九年级第一次诊断【数学】（试卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 一、选择题（共9小题，满分36分，每小题4分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A. 3， B. 3，，5 C. ，， D. 3，，4 4. 关于的一元二次方程有实数根，则满足（　　） A. B. 且 C. 且 D. 5. 某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，共有多少个球队参加比赛？设有x个球队参加比赛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 7. 关于二次函数的说法错误的是（ ） A. 图象经过 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 抛物线开口向下 D. 当时，y有最小值为0 8. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝﹣bx+a的图象可能是（　　） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 10. 若是关于的二次函数，则m的值为__________． 11. 若二次函数配方后为，则h和k的值分别为______． 12. 已知是方程的两个根，则的值为_____． 13. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该三角形的周长为________． 14. 已知函数图象上的三个点，则的大小关系是（从小到大排列）________． 15. 对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则的值为_____． 三、解答题（共9小题，满分90分） 16. 解下列方程： （1） （2） 17. 计算： （1）； （2）． 18. （1）解方程组：； （2）如图，，求证：． 19. 某班成立了数学兴趣小组，对二次函数的图象与性质进行了探究．过程如下，请补充完整． （1）①列表：自变量为任意实数．下表是与的几组对应值，其中______，______； … 0 1 2 … … 7 2 … ②描点：根据表中的数值，在如图所示的平面直角坐标系中描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象； （2）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 20. 已知二次函数． （1）化成顶点式； （2）二次函数的值可以取到吗？说明理由； （3）求出抛物线与轴、轴交点坐标． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值． 22. 如图，某单位准备将院内一块长，宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度． 23. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 24. 综合运用 如图，已知抛物线与x轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点F，交直线于点，连接， ①连接，当的面积为时，求点的横坐标； ②直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． （3）若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $