精品解析：江苏省南京师范大学附属实验学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

南京师范大学附属实验学校 2025-2026学年度第一学期高一年级期中考试数学试卷 分值：150 分 时间：120 分钟 一．单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上） 1. 若集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据并集运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：C. 2. 集合的子集的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的元素个数，即可求得集合的子集个数，进而求解. 【详解】由题意有：集合中有2个元素，所以集合的子集个数为， 故选：D. 3. 函数由下表给出，则（    ） x 1 2 3 4 2 4 3 1 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据表中的对应关系，求解即可得到答案． 【详解】由表格可知，时，， 所以． 故选：D． 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，即可求出. 【详解】且，得且， 则函数的定义域为. 故选：C 5. 不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解即可. 【详解】由可得，即， 解得或， 故不等式的解集为. 故选：B. 6. 已知且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质或取特殊值判断各选项即可. 【详解】解：对于A选项，取，满足且，但不成立，故错误； 对于B选项，因为，，所以由不等式的性质得，故正确； 对于C选项，当时，，不满足，故错误； 对于D选项，取，则，不满足，故错误. 故选：B 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 确定奇偶性，排除两个选项，再由单调性排除一个选项，得出正确结论． 【详解】函数定义域为，则，函数为奇函数，排除BD， 又，，所以即在时不是单调递增，排除C． 故选：A． 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （ 1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． （ 2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （ 3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （ 4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 8. 若正数满足，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由得，代入后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为正数满足，所以，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）. 9. 对任意实数，不等式恒成立，则实数可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不等式恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论求得的取值范围，结合选项，即可求解. 【详解】当时，不等式可化为恒成立，符合题意； 当时，要使得不等式恒成立，则满足， 解得， 综上可得，实数的取值范围为， 结合选项，实数可以是. 故选：ACD. 10. 下列命题为真命题的是（   ） A. 命题“”的否定是“” B. “”是“”的必要不充分条件 C. 二次函数的零点为和 D. 已知函数满足，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定的定义可判断A，根据充分性和必要性的概念可判断B，根据函数零点的定义解方程可判断C，利用换元法列方程组求解析式可判断D. 【详解】对于A，命题“”的否定是“”，故A为假命题； 对于B，若，则或，故充分性不成立；若，则，故必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件，故B为真命题； 对于C，令，即， 解得或，所以二次函数的零点为和，故C为假命题； 对于D，因为①，所以②， 得，解得，故D为真命题. 故选：BD. 11. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A. 且 B. 4 C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意，可得为一元二次方程的两个根，且，进而由韦达定理可得，即可判断A；再代入BCD求解判断即可. 【详解】由题意，为一元二次方程的两个根，且， 故，即，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由，则，即，解得，故C正确； 对于D，由，则， 即，解得或，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 12. 若“，”是真命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据全称命题的真假求参数. 【详解】命题“，”为真命题，即恒成立， 又在上单调递减，所以，故， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】应用对数的运算性质得，再由指数运算求值. 【详解】由题设，则. 故答案为： 14. 已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用Venn图得出阴影部分表示的集合为，再利用交集、补集的概念和运算规则求解． 【详解】由Venn图可知，图中阴影部分区域表示为， ，， 或， ， 或， 故答案为：． 四、解答题（本大题共5小题，共77分请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）利用分数指数幂与根式的运算法则计算即可； （2）利用对数的运算法则计算即可. 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式. 16. 设全集，集合，. （1）若，求，，； （2）若是成立的充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1），，. （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集，并集，补集的定义计算即可； （2）根据是成立的充分条件得到，根据集合是否为空集分类讨论，列不等式组，求解即可. 【小问1详解】 由，得， 又，， 所以， ， 或， 则. 【小问2详解】 因为是成立的充分条件，所以； 当时，，解得，此时满足题意； 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 17. 宇树科技企业最新研发了一款机器人，并投入生产应用.经调研，该企业生产此设备获得的月利润（单位：万元）与投入的月研发经费（，单位：万元）有关：；对于企业而言，研发利润率，是优化企业管理的重要依据之一，越大，研发利润率越高，反之越小. （1）求该企业生产此设备的研发利润率的最大值以及相应月研发经费的值； （2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于，求月研发经费的取值范围. 【答案】（1）的最大值为，相应月研发经费万元； （2） 【解析】 【分析】（1）由基本不等式得到，并求出此时月研发经费万元； （2）由题意得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，此时月研发经费万元. 【小问2详解】 由题意得，， 整理可得，解得， 故月研发经费的取值范围为. 18. 已知函数，定义域为． （1）试判断函数在上的单调性，并用定义法证明． （2）求函数的值域； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） 单调递增，证明如下： 设，则， 化简得：， 因为，所以，，， 那么，即， 所以函数在上单调递增； （2）； （3） 或. 【解析】 【分析】（1）通过作差比较函数值大小来判断； （2）结合单调性确定函数取值范围； （3）解不等式则依据函数单调性将函数值大小关系转化为自变量大小关系. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，即， 则，可得， 所以， 因此函数在区间上的值域为. 【小问3详解】 因为在上单调递增，且，所以可得， 解，，； 解，，； 解，即，因式分解得， 则或， 时，，取； 时，，取； 综合可得或. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． （1）作出函数的图象； （2）写出函数的单调递增区间，并写出函数在区间上的最值； （3）求函数在上的解析式． 【答案】（1） （2）单调增区间为和，在区间上的最大值为4，最小值为； （3）. 【解析】 【分析】（1）先画出时的图像，再根据奇函数图像关于原点对称画出时的图像即可； （2）由图像得出单调区间，根据单调性来求最值即可； （3）根据奇函数的性质求出函数的解析式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由函数图象，可得单调增区间为和. 所以在区间上递增，上递减， 所以当时，在区间上取得最大值， 由于是奇函数，所以， ，， 所以当时，在区间上取得最小值， 综上，在区间上的最大值为4，最小值为. 【小问3详解】 当时，所以， 又因为是奇函数，所以，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京师范大学附属实验学校 2025-2026学年度第一学期高一年级期中考试数学试卷 分值：150 分 时间：120 分钟 一．单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上） 1. 若集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 集合的子集的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 函数由下表给出，则（    ） x 1 2 3 4 2 4 3 1 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 6. 已知且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 若正数满足，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）. 9. 对任意实数，不等式恒成立，则实数可以是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题为真命题的是（   ） A. 命题“”的否定是“” B. “”是“”的必要不充分条件 C. 二次函数的零点为和 D. 已知函数满足，则 11. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A. 且 B. 4 C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 12. 若“，”是真命题，则实数的取值范围是__________. 13. 已知，则___________． 14. 已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为________________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）． 16. 设全集，集合，. （1）若，求，，； （2）若是成立的充分条件，求实数a的取值范围. 17. 宇树科技企业最新研发了一款机器人，并投入生产应用.经调研，该企业生产此设备获得的月利润（单位：万元）与投入的月研发经费（，单位：万元）有关：；对于企业而言，研发利润率，是优化企业管理的重要依据之一，越大，研发利润率越高，反之越小. （1）求该企业生产此设备的研发利润率的最大值以及相应月研发经费的值； （2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于，求月研发经费的取值范围. 18. 已知函数，定义域为． （1）试判断函数在上的单调性，并用定义法证明． （2）求函数的值域； （3）若，求实数的取值范围． 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． （1）作出函数的图象； （2）写出函数的单调递增区间，并写出函数在区间上的最值； （3）求函数在上的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $