精品解析：山东省泰安市东平县2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

2025~2026学年第一学期期中质量检测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中选择题40分，非选择题110分，满分150分，考试时间120分钟； 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效； 3．数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题纸或答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个答案中，只有一项是正确的．） 1. 下列函数中，是y关于x的反比例函数的是（　　） A B. C. D. 2. 若是反比例函数与正比例函数的一个交点，那么两函数的另一交点点坐标应为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是反比例函数和在x轴上方的图象，轴的平行线分别与这两个函数图象交于、两点，点在轴上，则的面积为（　　） A. 3 B. 6 C. D. 4. 如图，是电线杆的一根拉线，米，，则的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 如图，在中，，，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 6. 现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 5千米 7. 二次函数的图象平移后，得到二次函数图象，平移方法是（ ） A. 先向左平移1个单位, 再向上平移4个单位 B. 先向左平移1个单位, 再向下平移4个单位 C. 先向右平移1个单位, 再向上平移4个单位 D. 先向右平移1个单位, 再向下平移4个单位 8. 在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且）的图象可能是（　　） A. B. C. D. 9. 已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ） A. 或4 B. 4或 C. 或4 D. 或 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数）；其中正确的结论有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．只要求填写最后结果） 11. 若反比例函数的图像位于第二、四象限，那么的取值范围为_____． 12. 在中，若，，则__________度． 13. 如图，点，，均在正方形网格点上，则______． 14. 已知点都在二次函数的图象上，则、、的大小关系为___________（用“>”连接） 15. 一次函数图象上有一个动点，则的最小值是______． 三、解答题（本题共8小题，共90分．写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 计算： （1） （2） （3） 17. 已知，是一次函数图象和反比例函数的图象的两个交点，直线与轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的关系式； （2）观察图象，直接写出时x的取值范围； （3）求的面积． 18. 已知：二次函数． （1）将化成的形式； （2）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （3）当时，直接写出取值范围． 19. 如图，在中，． （1）求的值． （2）求的面积（结果保留根号） 20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，，点，的横坐标分别为，一次函数图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求一次函数的解析式； （2）对于反比例函数，当时，直接写出的取值范围； （3）将点和同时向下移动个单位，使得移动之后对应两点都在同一个反比例函数的图象上，求的值． 21. “C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位） 22. 如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 23. 过点的抛物线与轴的另一交点为，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，当和最小时，求点P的坐标； （3）若Q是抛物线上一个动点，设Q的横坐标为m（），连接，当的面积等于面积的2倍时，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期期中质量检测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中选择题40分，非选择题110分，满分150分，考试时间120分钟； 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效； 3．数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题纸或答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个答案中，只有一项是正确的．） 1. 下列函数中，是y关于x的反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义．熟练掌握：形如（为常数且）的函数是反比例函数是解题的关键． 根据反比例函数的定义，进行判断作答即可． 【详解】解：是正比例函数，A错误，故不符合要求； 是反比例函数，B正确，故符合要求； 不是反比例函数，C错误，故不符合要求； 不是反比例函数，D错误，故不符合要求； 故选：B． 2. 若是反比例函数与正比例函数的一个交点，那么两函数的另一交点点坐标应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数图象交点问题，解题的关键是掌握：正比例函数与反比例函数图象的交点关于原点对称． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 故选：A． 3. 如图是反比例函数和在x轴上方的图象，轴的平行线分别与这两个函数图象交于、两点，点在轴上，则的面积为（　　） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数系数的几何意义，利用反比例函数的比例系数的几何意义求出与的面积，从而得出的面积，最后运用平行线之间三角形“同底等高”面积相等的性质，即可得到答案．掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图， 连接、，设交轴于， 轴的平行线分别与这两个函数图象相交于点，， 轴， 点、在反比例函数和在轴上方的图象上， ， ， 轴, 与“同底等高”， ， 故选：A． 4. 如图，是电线杆的一根拉线，米，，则的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦函数的定义得，由此可得出答案． 【详解】解：在中，米，， ， （米）． 故选：B． 5. 如图，在中，，，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点A作于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出．根据，可求出，最后根据勾股定理可求出，即得出． 【详解】解：如图，过点A作于点D． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选B． 6. 现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 5千米 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，过点B作于D，由题意得，，利用三角形内角和定理求出，再求出，得到千米，，利用勾股定理求出千米，即可利用勾股定理求出的长． 【详解】解：如图所示，过点B作于D， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴千米，， ∴千米， ∴千米， 故选A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的计算，方位角的表示，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 7. 二次函数的图象平移后，得到二次函数图象，平移方法是（ ） A. 先向左平移1个单位, 再向上平移4个单位 B. 先向左平移1个单位, 再向下平移4个单位 C. 先向右平移1个单位, 再向上平移4个单位 D. 先向右平移1个单位, 再向下平移4个单位 【答案】B 【解析】 【分析】先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为(0,0)，抛物线的顶点坐标为(−1,-4)， 而点(0,0)向左平移1个，再向下平移4个单位可得到(−1,-4)， 故把二次函数的图象，先向左平移1个单位, 再向下平移4个单位后，得到二次函数图象， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法． 8. 在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且）的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，掌握两个函数的图象与性质是解题的关键．对四个选项中一次函数的图象进行分析，结合二次函数的图象，两图象是否相符即可得出结论． 【详解】解：A、由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误； B、由函数的图象可知，对称轴为直线，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误； C、由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误； D、由函数图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为直线，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确； 故选：D． 9. 已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ） A. 或4 B. 4或 C. 或4 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键． 分两种情况讨论：当时，，解得；当时，在，，解得． 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，在，函数有最小值， ∵y的最小值为， ∴， ∴； 当时，在，当时，函数有最小值， ∴， 解得； 综上所述：a的值为4或， 故选：B． 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数）；其中正确的结论有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解图示，掌握二次函数图象的性质，数形结合分析是解题的关键． 根据图象开口，对称轴直线，二次函数图象与轴交点得，判定①；由对称轴直线可得，可判定②；由二次函数图象与轴有两个交点可得，可判定③；由图可知当时，，把代入计算可判定④；图形开口向下，对称轴直线为，则当时，函数取到最大值为，针对所有时的函数值都小于，可判定⑤；由此即可求解． 【详解】解：根据图示，二次函数图象开口向下，对称轴直线， ∴， ∴， ∵二次函数图象与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②正确； ∵二次函数图象与轴有两个交点，一个交点在之间，另一个交点在之间， ∴， ∴，故③正确； 由图可知当时，， ∵，则， ∴， ∴，即，故④正确； ∵图形开口向下，对称轴直线为， ∴当时，函数取到最大值为， ∴当时，函数值， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有②③④⑤，共4个， 故选：B ． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．只要求填写最后结果） 11. 若反比例函数的图像位于第二、四象限，那么的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，正确理解反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数的图形与性质，可得，求解不等式即得答案． 【详解】反比例函数的图像位于第二、四象限， ， 解得． 故答案为：． 12. 在中，若，，则__________度． 【答案】90 【解析】 【分析】用非负数的性质和特殊角的三角函数值解答． 【详解】∵， ∴，, ，， ∠B=30°，∠A=60°， ∠C=180-（∠A+∠B）=90°． 故答案为90． 【点睛】本题考查了非负数性质和特殊角的三角函数，熟练掌握非负数的性质和特殊角的三角函数值，是解决此类问题的关键． 13. 如图，点，，均在正方形网格点上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】连接AD，如图，利用网格特点得到∠ADC=90°，CD=2AD，然后根据正切的定义求解． 【详解】连接AD，如图， 根据网格特点得：∠ADC=90°，CD=2AD， 所以tanC=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了网格型三角形，解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决此题的关键是灵活运用网格特点和锐角三角函数的定义． 14. 已知点都在二次函数的图象上，则、、的大小关系为___________（用“>”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的对称性以及增减性等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，进而可得当时，随的增大而减小，由此即可得出答案． 【详解】解：， 图象的开口向上，对称轴是直线， ∴当时，y随着x的增大而减小， ∵关于直线的对称点是，且， ， 故答案为：． 15. 一次函数的图象上有一个动点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由题意得，即得，再根据二次函数的性质解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∵, ∴当时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共90分．写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3）5 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键： （1）将特殊角的三角函数值代入计算即可； （2）将特殊角的三角函数值代入计算即可； （3）将特殊角的三角函数值代入结合零指数幂的法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式； 【小问3详解】 原式． 17. 已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线与轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的关系式； （2）观察图象，直接写出时x的取值范围； （3）求的面积． 【答案】（1）反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为 （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积，一次函数与反比例函数交点问题； （1）把A点坐标代入反比例函数解析式可求得反比例函数解析式，则可求得B点坐标，再由A、B两点坐标可求得一次函数解析式； （2）根据的横坐标，结合函数图象，写出一次函数在反比例函数的上方时的自变量取值范围，即可求解； （3）根据一次函数解析式可求得C点的坐标，则可求得OC的长度，且根据可求得△AOB的面积． 【小问1详解】 解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的关系式为， 又∵在反比例函数的图象上， ∴， 又∵，是一次函数的上的点， ∴，解得， ∴一次函数的关系式为； 【小问2详解】 解：根据函数图象可得：时x的取值范围为或 【小问3详解】 解：在中，令，则， ∴， ∴， ∴． 18. 已知：二次函数． （1）将化成的形式； （2）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （3）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）对称轴：直线，顶点为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键． （1）用配方法将表达式化为顶点式即可； （2）利用（1）得到的顶点式即可求解； （3）利用开口方向和对称轴及自变量的取值即可求得y的取值范围． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 由（1）知，且， ∴开口向上，对称轴为直线，顶点； 【小问3详解】 ∵中，，对称轴为直线， ， ∴当时，， 又∵顶点为：， ∴当时，函数y的取值范围为：． 19. 如图，中，． （1）求的值． （2）求的面积（结果保留根号） 【答案】（1） （2）的面积为 【解析】 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知：在中，，， ， ． 20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，，点，的横坐标分别为，一次函数图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求一次函数的解析式； （2）对于反比例函数，当时，直接写出的取值范围； （3）将点和同时向下移动个单位，使得移动之后对应两点都在同一个反比例函数的图象上，求的值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质，平移的规律等知识是解题的关键． （1）把点，的横坐标分别为，代入反比例函数中，可得点点，的坐标，再代入一次函数，运用待定系数法即可求解； （2）根据反比例函数图象的性质即可求解； （3）根据函数与坐标轴的交点可得，由平移的性质可得，，结合两点都在同一反比例函数的图像上，由反比例函数图象的性质即可求解． 【小问1详解】 解：点，的横坐标分别为，，且、都在反比例函数的图象上， ，， 将，代入， ， 解得：， ． 【小问2详解】 解：当时，即， 解得，， ∵， ∴图象在第一、三象限，每个象限中，随的增大而减小， ∴当时，或； 【小问3详解】 解：，令， ， ， 点和同时向下移动个单位， ，， 两点都在同一反比例函数的图像上， ， 解得：． 21. “C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位） 【答案】线段BE的长约等于18.8cm，线段CD的长约等于10.8cm． 【解析】 【详解】试题分析：在Rt△BED中可先求得BE的长，过C作CF⊥AE于点F，则可求得AF的长，从而可求得EF的长，即可求得CD的长． 试题解析：∵BN∥ED， ∴∠NBD=∠BDE=37°， ∵AE⊥DE， ∴∠E=90°， ∴BE=DE•tan∠BDE≈18.75（cm）， 如图，过C作AE的垂线，垂足为F， ∵∠FCA=∠CAM=45°， ∴AF=FC=25cm， ∵CD∥AE， ∴四边形CDEF为矩形， ∴CD=EF， ∵AE=AB+EB=35.75（cm）， ∴CD=EF=AE-AF≈10.8（cm）， 答：线段BE的长约等于18.8cm，线段CD的长约等于10.8cm． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确地添加辅助线构造直角三角形是解题的关键. 22. 如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由题意，根据抛物线的交点式表示解析式，再将交点式转化为顶点式即可得到答案； （2）由抛物线图象与性质可知，当时，在对称轴处取最小值，再比较当与时的函数值即可得到的取值范围； （3）由平面直角坐标系中三角形面积得到，解方程得或，分类将其代入抛物线解析式解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：抛物线经过两点， 抛物线解析式为， 则抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线的解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，在对称轴处取最小值，则； 当时，；当时，； 当时，的取值范围是； 【小问3详解】 解：如图所示： ， ， ， ， ， 解得或， 当时，代入抛物线的解析式为，得， 解得或， 则此时点的坐标为或； 当时，代入抛物线的解析式为，得， 此方程无解； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及求二次函数解析式、二次函数图象与性质、求函数值的范围、平面直角坐标系中三角形面积、直接开平方法解一元二次方程，熟记二次函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． 23. 过点的抛物线与轴的另一交点为，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，当和最小时，求点P的坐标； （3）若Q是抛物线上一个动点，设Q的横坐标为m（），连接，当的面积等于面积的2倍时，求m的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据，，可得，将，代入，利用待定系数法求解； （2）由二次函数的对称性可得，，当点P在直线上时，和最小，因此求出直线与对称轴的交点即可； （3）过点作轴的平行线交于点，设，则点，则，根据列式求出m的值即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵抛物线经过，， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：点P是抛物线对称轴上的一个动点，抛物线与x轴交于点A，C， ， ， 当点P在直线上时，和最小， 对称轴：直线， 设直线解析式为， 将，代入，得： ， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴ 【小问3详解】 解：抛物线于轴交于，两点， 令，则， 解得，， ∴，， ∴． 过点作轴的平行线交于点， 设，则点， 则， ， ∴， 解得或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称性，线段最值问题，铅垂法求三角形面积等，掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $