5.4角平分线的性质 自主学习同步练习题 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

2025-2026学年湘教版八年级数学上册《5.4角平分线的性质》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．如图，是一个正在修建的公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路的距离相等，且使得，则凉亭H是（　　） A．的角平分线与边上中线的交点 B．的角平分线与边上中线的交点 C．的角平分线与边上中线的交点 D．的角平分线与边上中线的交点 2．如图，在中，平分，则的面积为（   ） A．16 B．12 C．8 D．32 3．如图，在中，，以顶点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点、，再分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，，，则点到的距离为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．如图，，M是的中点，DM平分，若，则（    ）． A． B． C． D． 5．如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，的外角的平分线与内角平分线交于点，若，则（    ）． A． B． C． D． 7．如图，和都是等边三角形且点在一条直线上，相交于点，与相交于点，与相交于点，连接，则：①，②；③平分；④平分，正确的是（  ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 8．如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点D，过D点作的平行线分别交、于点M、N，若与的周长分别为22、14，则的长为 ． 9．如图，中，的角平分线与的垂直平分线交于点D，分别连接．则 度． 10．如图，点为内部一点，平分，平分，点到的距离为2，且，，，则的面积为 ． 11．如图，在的边上取点，连接，平分，平分，若，的面积是，的面积是，则的长是 ． 12．如图，已知中，是的角平分线，于E点，为中边的高，若，，则的长为 ． 13．如图，在中，，于点，且，垂直平分，连接，若，则 ． 14．如图，为的角平分线，，过D作于E，交的延长线于F，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有 ． 三、解答题 15．如图，已知平分，，且． (1)求证：为等腰三角形； (2)判断与的数量关系，并说明理由． 16．如图，于，于，若，． (1)求证：平分； (2)已知，，求的长． 17．已知：如图，在中，，，是角平分线，与相交于点F，，，垂足分别为M，N． (1)求证：F在的角平分线上； (2)求证：． 18．如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点，连接，且． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，作，垂足为，连接．求证：垂直平分． 19．如图①，在四边形中，已知，，，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)如图②，若是的边上的高，已知，求四边形的面积． 20． （1）【感知】：如图1，点P是角平分线上一点，过点P作于点C，于点D，证明（不需要证明）． （2）【探究】如图2，在中，，是的平分线，点E在边上，． ①证明：； ②请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展】如图3，的外角的平分线与内角的平分线交于点P，若，请直接写出的度数． 参考答案 1．A 【分析】此题重点考查三角形的中线的定义、角平分线的性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．取的中点E，连接，则为边上的中线，，当点H在上，连接，则，推导出，由点H到、的距离相等，可知点H在的角平分线上，所以凉亭H是的角平分线与边上中线的交点，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，取的中点E，连接，则为边上的中线， ∵， ∴， 当点H在上，连接，则， ∴， ∴， ∵点H到的距离相等， ∴点H在的角平分线上， ∴凉亭H是的角平分线与边上中线的交点， 故选：A． 2．A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，正确添加辅助线是解题关键，作于点F，求出，即可求出面积． 【详解】解：作于点F， 平分， ， 的面积为， 故选：A． 3．B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 先根据作图步骤判断是角平分线，再利用角平分线的性质，得出点到的距离等于的长度，最后结合已知的长度求解． 【详解】解：∵由作图可知，是的平分线，，即， ∴点到的距离等于的长度． ∵， ∴点到的距离为． 故选：． 4．B 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，平行线的性质，作于，由角平分线的性质定理可得，结合题意可得，从而可得平分，再由平行线的性质求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于， ∵，平分，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键． 利用证明，即可判断A，由为的角平分线，，，则，，由，则，即可判断B；为等腰三角形得到，由得到，则，由为的角平分线，，而不垂直于即可判断C，同时判断D． 【详解】解；为的角平分线， ， 在和中， ， ∴， 故A说法正确，不符合题意； 为的角平分线，，， ，， ∵， ， ， 故B说法正确，不符合题意； ，，，， ， 为等腰三角形， ， ∵， ， ， 为的角平分线，，而不垂直于， ， 故C说法不正确，符合题意； 故D说法正确，不符合题意； 故选：C． 6．B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质，根据外角与内角性质得出的度数，再利用角平分线的性质和判定，得出即可得出答案．掌握三角形外角的性质及角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：过P点作 于F，于N，于M， 设， ∵平分， ∴，， ∵平分， ∴，， ∴， 又∵于F，于M， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 7．C 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识，由等边三角形的性质得，，，因为点在一条直线上，所以，则，可根据“”证明，得，，所以，可判断①正确；再根据“”证明，得，可判断②正确；作于点，于点，由推导出，可证明平分，可判断④正确；假设平分成立，则，而，所以，可证明，得，而题中并没有这一条件，可判断③不正确，于是得到问题的答案，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：和都是等边三角形且点在一条直线上， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ，，即， ，故①正确； 在和中， ， ， ，故②正确； 作于点，于点， ，，且，， ， ， ∴点在的平分线上， 平分，故④正确； 假设平分成立，则， ， ， ， 在和中， ， ， ，即等边和等边的边长相等，显然题中并没有这一条件， 平分不成立，故③不正确； 综上，正确的是①②④， 故选：． 8． 【分析】本题考查等腰三角形的判定，由角平分线定义得到，由平行线的性质推出，因此，判定，同理：，得到的周长，而的周长，即可求出的长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∴的周长， ∵的周长， ∴． 9．120 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理．作交延长线于点，作于点，利用角平分线的性质求得，利用线段垂直平分线的性质求得，利用证明求得，再利用四边形内角和定理求解即可． 【详解】解：作交延长线于点，作于点， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：120． 10．22 【分析】本题考查的知识点是角平分线的性质，根据题目作出辅助线是解此题的关键． 连接、 作，，利用角平分线的性质可得出，然后利用三角形的面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、作，，， ∵分别平分和， ， ， 故答案为：22． 11． 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，过点作于，于，于，连接，由角平分线的性质可得，进而由三角形的面积得到，再根据解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，于，于，连接， ∵平分，，， ∴， 同理可得， ∴， ∵，的面积是， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线上任意一点到角两边的距离相等． 过点作于点，由角平分线可得，设，，则，再由建立方程求解即可． 【详解】解：过点作于点 ∵，是的角平分线， ∴， 设， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴的长为， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了角平分线的判定，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角性质，由题意得，，则点在平分线上，所以，又垂直平分，故，根据等边对等角得，最后通过外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴点在平分线上， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．解：∵为的角平分线，，， ∴． 又∵， ∴，故①正确； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，故②正确； 设与交于点O，如图， ∵， ∴． ∵， ∴，故③正确； ∵，， ∴；故④正确； 综上可知①②③④正确． 故答案为：①②③④． 15．(1)见解析； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的性质，平行线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由角平分线的性质得到，平行线的性质得到，进而得到，即可得出结论； （2）由，，得到，进而得到，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 16．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质定理的逆定理；运用角平分线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，得到，从而得出结论； （2）先求出的长度，然后证明，得出，求解即可； 【详解】（1）证明：∵， 在和中 ∴ 平分 （2）解： 在和中 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）作于点，根据角平分线的性质，推出，即可得证； （2）证明，即可得证． 【详解】（1）证明：连接，作于点， ∵是角平分线，与相交于点F，，， ∴， ∴， ∴F在的角平分线上； （2）∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 18．(1) (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理、外角定理，线段垂直平分线性质和判定，等腰三角形的性质，角平分线的性质定理等知识点． （1）由线段垂直平分线得到，根据，，则有等边对等角，，结合三角形的外角定理以及三角形内角和定理建立方程求解； （2）先证明平分，根据角平分线性质得到，再证明平分，则，再根据线段垂直平分线的判定证明即可． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， ， 设，则， ， ， ， ， 在中，， 解得， ； （2）证明：由（1）得，，， ， 平分， ，， ， ， ， ， 平分， ，， , ，， 垂直平分． 19．(1)详见解析 (2)详见解析 (3)4 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，角的平分线的判定和性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）根据三角形的判定定理即可证得． （2）通过三角形全等求得，，进而根据等边对等角求得，从而求得即可证得； （3）过点A作，垂足为点M，由题意易得，然后可得M为的中点，则有，进而根据割补法可求解面积． 【详解】（1）证明：如图①，∵，， ， 在与中， ， ． （2）证明：如图①，， ∴，， ∴， ∴，即平分； （3）解：如图，过点A作，垂足为点M． ∵，，， ∴． ∵，， ∴， ∵，， ∴M为的中点． ∴． ∴． 又由（1）知， ∴． 20．（2）①见解析；②，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键． （2）①过D作于F，则；证即可； ②根据推出，再证，得，即可； （3）过P作交延长线于H，于G，于K，由题意得，，推出，得出平分，即可求解； 【详解】（2）①证明：过D作于F，如图： ∵是的平分线，， ∴， ∵，且． ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：之间的数量关系为，理由如下： 由①知， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：过P作交延长线于H，于G，于K，如图： ∵平分 ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $