5.3 直角三角形全等的判定 自主学习同步练习 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

2025-2026学年湘教版八年级数学上册《5.3直角三角形全等的判定》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（    ） A．两个锐角对应相等 B．一个锐角、一条直角边对应相等 C．两条直角边对应相等 D．一条斜边、一条直角边对应相等 2．如图，在和中，，，，则能直接判断的依据是（   ） A． B． C． D． 3．如图，点为内部一点，点到的距离为3，连接，过点作于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，，，垂足分别为E、F，，且，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，点在上，点在的延长线上，，若，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，，，于点M，于点N，，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 7．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 二、填空题 8．如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件： ． 9．在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=AD，∠ACB=25°，则∠DAC= °． 10．长方形中，，点P在边上，若是等腰三角形，则的长为 ． 11．如图，在与中，，，，若则的度数为 ． 12．如图，是的高，为上一点，交于，且有，，则与的位置关系为 ． 13．如图，在中，D为中点，，，于点F，，则的长为 ． 14．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以3厘米/秒沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E经过 秒时，与全等． 三、解答题 15．如图，已知，，于点D． (1)求证：； (2)若，，求的长． 16．如图，在中，，直线经过点，于点，于点，且； (1)求证：． (2)判断、、这三条线段之间的数量关系，并说明理由． 17．如图，点均在线段上，且，分别过点在的异侧作，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 18．如图，已知点A．点B以及直线l． (1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使．(保留作图痕迹，不要求写出作法)； (2)在（1）中所作的图中，若，，垂足分别是M，N，且． ①求证：． ②求的度数． 19．如图，在中，分别是上的点，作，，垂足分别为，若，，求证： (1)平分； (2)； (3)； (4)是否成立． 20．已知点、、、在同一直线上，，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、，过点作，过点作，垂足分别为点、．在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中的四对全等三角形． 参考答案 1．A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定方法，熟练掌握判定方法是解题的关键．根据判定方法依次进行判断即可． 【详解】解：A、两个锐角对应相等，不能判定两个直角三角形全等，故A符合题意； B、一个锐角和一条直角边对应相等，利用或可以判定两个直角三角形全等，故B不符合题意； C、两条直角边对应相等，利用可以判定两个直角三角形全等，故C不符合题意； D、一条直角边和斜边对应相等，利用可以判定两个直角三角形全等，故D不符合题意； 故选：A． 2．A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题关键是理解并掌握全等三角形的判定定理：，，，，等．根据全等三角形的判定定理，即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，即判断的依据是“”． 故选：A． 3．B 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．过点作于点，结合含30度角的直角三角形的性质以及点到直线的距离定义，可得，利用“”证明，由全等三角形的性质即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作于点， ∵，，， ∴， ∵点到OA的距离为3， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故选：B． 4．C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据题意得到，进行判定即可． 【详解】解： ，， ， ， 在和中， ， ，故选项D正确； ， ，故选项A正确； ， ，故选项B正确； ，故选项C错误； 故选C． 5．C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，首先根据，，可得：，，利用可证，根据全等三角形对应角相等可得：，从而可得：． 【详解】解： ，， ，， 在和中，， ， ， ． 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了全等三角形的证明及性质，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题关键． 先证明，得到，进而可求解． 【详解】解：∵于点M，于点N， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 故选：C． 7．D 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 8．（或） 【分析】根据题意，是公共边，只需添加或即可解答． 本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，是公共边，只需添加或． 故答案为：或． 9．65 【分析】根据HL证明Rt△ABC与Rt△ADC全等，进而利用全等三角形的性质及三角形内角和解答即可． 【详解】解：在Rt△ABC与Rt△ADC中 ， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）， ∴∠ACD=∠ACB=25°， ∴∠DAC=90°-25°=65°， 故答案为65． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．证明△ABC≌△ADC是解题的关键． 10．或或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 作的垂直平分线交于点，分别以点、为圆心，以长为半径画弧，分别交于点，连接，，此时满足条件的点有3个，依次求出的长度即可． 【详解】解： ， ， 如图所示,，，作的垂直平分线交于点，分别以点、为圆心，以长为半径画弧，分别交于点，连接，， 的垂直平分线交于点， ， 四边形是长方形，， ，，， ， ， 那么当点与重合时，满足是等腰三角形，此时； 当点与重合时，，满足是等腰三角形，此时； 当点与重合时，，满足是等腰三角形，此时； 故答案为：或或． 11． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，先证明，则有，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．发现并利用两个直角三角形全等是解题的关键． 证明，可得，由可推出，即可证得结论． 【详解】解：猜想：． 理由： 是的高， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 13．8 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，线段的和差等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 连接，过点作，交的延长线于点，证明垂直平分线段，得出，证明和，得出相等的边，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于点， ∵，且D为中点， ∴垂直平分线段， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：8． 14．0，4，12，16 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，分四种情况：当E在线段上，时，；当E在上，时，；当E在线段上，时，；当E在上，时，；分别利用三角形全等的性质进行求解即可，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ①当E在线段上，时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为（秒）； ②当E在上，时，， 则， ∴， 点E的运动时间为（秒）； ③当E在线段上，时， ∵， ∴， 这时E在A点未动，因此时间为0秒； ④当E在上，时，， 则， ∴， 点E的运动时间为（秒）． 综上所述，当点E经过0秒，或4秒，12秒，16秒时，与全等． 故答案为：0，4，12，16． 15．(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，30度角的直角三角形的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，，，，证明，即可作答． （2）结合三角形内角和性质得，再根据，得，因为，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， （2）∵，， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵，， 则． 16．(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据已知证明，得到，结合直角三角形的两个锐角互余，即可证明； （2）由（1）中的可得，再结合已知条件即可得出结论． 【详解】（1）证明： ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ． 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用可证明，则由全等三角形的性质可证明结论； （2）由全等三角形的性质得到，再证明，得到，最后根据线段的和差关系可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质，熟练应用线段垂直平分线的性质是解题关键． （1）连接，利用线段垂直平分线的尺规作图法，作出的垂直平分线得出即可； （2）①利用全等三角形的判定方法证明，利用全等三角形的对应角相等可得结论； ②根据三角形的外角性质可得结论． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求作： （2）①证明：∵，， ∴， 在和中， ， ， ． ②解：∵，， ∴． 19．(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析； (4)证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角，平行线的判定，垂直定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）由，，则，证明，由全等三角形的性质即可求证； （2）由（1）得，由全等三角形的性质即可求证； （3）由，得，由（1）可得，从而可得，然后通过平行线的判定方法即可求证； （4）由，，得，由，可得只具备一角一边的两三角形不一定全等，从而求证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：由（1）可知，， ∴； （3）证明：∵， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴， ∴； （4）证明：∵，， ∴， ∵， ∴只具备一角一边的两三角形不一定全等，即与不一定全等． 20．(1)证明见解析 (2)；；； 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的判定，灵活证明三角形全等是解题的关键． （1）由可得到，再利用判定出得到，即可解答； （2）灵活运用全等三角形的判定方法证全等即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：全等三角形有；；；，理由如下： ∵，， ∴是边上的高，是边上的高， 由（1）可得， ∴，，，， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴，即， ∴，即， 在和中， ， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $