山西大学附属中学校2025-2026学年高三上学期周测14数学试题（2025.11.5）

山西大学附中高中数学（高三一轮） 编号14 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知命题：，，则命题的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．已知复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，则（   ） A．15 B．16 C． D．31 4．在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：周）的关系为（为常数），则下列说法中正确的是（   ） A．浮萍每周的面积与上周面积之比不为定值 B．时，浮萍面积就会超过 C．浮萍每周增加的面积都相等 D．若浮萍面积为，，时所对应的时间分别是，，，则 6．某工厂生产的零件尺寸服从正态分布，质检员随机抽取100个零件，尺寸在内的零件个数约为（   ）（参考数据：） A．68 B．75 C．82 D．95 7．双曲线的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数（，且），若在处取得极值为1，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知m、n是两条不同直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，则（   ） A．的最大值为2 B．椭圆的离心率为 C．椭圆上存在点，使得 D．的最小值为2 11．已知定义在上的偶函数，满足，当时，，则（   ） A． B． C． D．若，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．的二项展开式中第4项是 ． 13．已知非零向量在向量上的投影向量为，，则 . 14．若直线为曲线的一条切线，则的最小值为 ． 四、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）求； （2）若，面积为，求c. 16．等腰梯形中，，，矩形满足：平面平面，，如图所示． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的大小； （3）求二面角的余弦值． 17．已知函数及其导函数定义域都为区间是曲线上任意不同的三点.若点的横坐标依次成等差数列，且在点处的切线的斜率大于直线的斜率，则称在上为“中值偏移”函数. （1）设. ①讨论的单调性； ②若是上的“中值偏移”函数，求实数的取值范围； （2）证明：在上为“中值偏移”函数. 试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中高中数学（高三一轮） 编号14 参考答案 1．已知命题：，，则命题的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据全称命题的否定即可得到答案. 【详解】根据全称命题的否定得到命题的否定为， . 故选：C. 2．已知复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，化简得到，结合共轭复数的概念，以及复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数满足，则，可得， 故复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C. 3．设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，则（   ） A．15 B．16 C． D．31 【答案】D 【分析】利于通项公式展开联立两个等式，求出等比数列的公比和首项，再利于等比数列的求和公式可求得的结果. 【详解】因为数列是各项均为正数的等比数列，且， 故，联立可得，化简可得， 解得或， 当时，,不符合题意，舍去； 当时，， . 故选：D. 4．在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算，建立方程组，解之即可求解. 【详解】由题可知，点在上， ， 又， ，解得. 故选：C． 5．如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：周）的关系为（为常数），则下列说法中正确的是（   ） A．浮萍每周的面积与上周面积之比不为定值 B．时，浮萍面积就会超过 C．浮萍每周增加的面积都相等 D．若浮萍面积为，，时所对应的时间分别是，，，则 【答案】D 【分析】根据题意可得，利用指数函数的性质与对数运算，结合图像逐一判断即可. 【详解】由图可得：函数过点， 则，解得，即. 对于选项A：浮萍每周的面积与上周面积之比为，为定值，故A错误； 对于选项B：若时，则， 所以浮萍面积不会超过，故B错误； 对于选项C：第二周比第一周增加，第三周比第二周增加， 即，所以浮萍每周增加的面积不一定相等，故C错误； 对于选项D：由题意可得：，则， 所以，故D正确. 故选：D. 6．某工厂生产的零件尺寸服从正态分布，质检员随机抽取100个零件，尺寸在内的零件个数约为（   ）（参考数据：） A．68 B．75 C．82 D．95 【答案】A 【分析】根据参考数据估计出尺寸在内的零件个数的概率，再根据抽出的总数即可求出最终结果. 【详解】∵，即， ∴， ∵质检员随机抽取100个零件， ∴尺寸在内的零件个数约为：个， 故选：A 7．双曲线的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点在轴右侧，由双曲线定义可得，，由是直角三角形，建立等式求解即可. 【详解】如图，设点在轴右侧，则，    因为， 所以， 因为点在以为直径的圆上， 所以是直角三角形，， 即，化简得， 所以离心率. 故选：D 8．已知函数（，且），若在处取得极值为1，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为函数（，且），所以. 由题可知，化简可得结果. 【详解】函数（，且），. 若在处取得极值为1，则，所以. 化简得，整理得，所以. 故选：B. 9．已知m、n是两条不同直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的有（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据线面、面面的位置关系，性质定理和判定定理逐项判断各项的正误即可. 【详解】选项A：若，由线面垂直的性质可知，故A选项正确； 选项B：若，则不一定正确，因为与可能相交，故选项B不正确； 选项C：若，由线面垂直的性质和面面平行的定义或判定定理可知，故C选项正确； 选项D：若，则不一定正确，因为m与n可能相交，也可能m与n异面，选项D不正确； 故选：AC 10．椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，则（   ） A．的最大值为2 B．椭圆的离心率为 C．椭圆上存在点，使得 D．的最小值为2 【答案】ACD 【分析】由椭圆的定义，得到，结合基本不等式，可判定A正确；利用离心率的定义，可判定B错误；取椭圆的上顶点，利用向量的数量积的坐标计算公式，可判定C正确；设，求得，结合二次函数的性质，可判定D正确. 【详解】由椭圆，可得，则， 对于A，点是椭圆上一点，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，所以A正确； 对于B，由椭圆离心率的定义，可得，所以B不正确； 对于C，取椭圆的上顶点，且， 可得，则， 所以椭圆存在点，使得，所以C正确； 对于D中，由椭圆，可得，且， 设，其中，则， 所以 ， 当时，取得最小值，最小值为，所以D正确. 故选：ACD. 11．已知定义在上的偶函数，满足，当时，，则（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据函数的偶函数特性以及函数的周期性逐项判断并计算即可. 【详解】因为函数为偶函数，所以. 因为，令， 则，故，所以A正确； 所以，即. 所以函数的周期为2. 当时，，所以，所以B错误； ， 因为，所以，所以C正确； 因为，函数周期为2， 所以，所以D正确. 故选：ACD. 12．的二项展开式中第4项是 1． 【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式运算求解即可. 【详解】由题意可知：的二项展开式中第4项是. 故答案为：. 13．已知非零向量在向量上的投影向量为，，则 【答案】 【分析】利用投影向量的定义结合平面向量数量积的运算性质可求出的值，再利用平面向量数量积的运算性质可求出的值. 【详解】因为非零向量在向量上的投影向量为， 所以，故， 所以. 故答案为：. 14．若直线为曲线的一条切线，则的最小值为 ． 【答案】-1 【分析】首先对函数求导，利用导数的几何意义求出，然后构造新函数，对其求导判断单调性和最小值，从而求出的最小值. 【详解】对函数求导得：. 因为直线为曲线的一条切线， 设切点为，令，即①. 又②，用①除以②得：. 所以. 所以,所以. 设，则求导得. 当时，，所以，此时在上单调递增； 当时，，所以，此时在上单调递减. 所以，所以的最小值为-1. 故答案为：-1. 15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求； (2)若，面积为，求c. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦的二倍角公式及同角三角函数基本关系式即可求解； （2）利用三角形的面积公式结合余弦定理即可得解. 【详解】（1），， ，又， ，即，解得或， ，，； （2）由（1）知，且，，， 面积为，，， 由余弦定理得，， ，. 16．等腰梯形中，，，矩形满足：平面平面，，如图所示． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的大小； （3）求二面角的余弦值． 【分析】（1）根据等腰梯形的性质以及长度可证明，即可根据面面垂直的性质求证； （2）根据线面角的定义即可求解； （3）建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，即可根据向量的夹角求解． 【解答】解：（1）证明：在等腰梯形中，不妨设，在等腰梯形中，作于， 则， 所以， 所以，则，即， 平面平面，平面平面，平面， 所以平面； （2）由（1）平面知，是直线与平面所成的角，且， 在△中，，则， 所以直线与平面所成的角的大小为； （3）以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立直角坐标系如图， 则，0，，，1，，， 所以． 分别设平面与平面的法向量为，， 由， 令，则， 由， 取，则． 所以， 设二面角为，由图知为锐角，所以． 【点评】本题考查线面垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题． 　 17．已知函数及其导函数定义域都为区间是曲线上任意不同的三点.若点的横坐标依次成等差数列，且在点处的切线的斜率大于直线的斜率，则称在上为“中值偏移”函数. (1)设. ①讨论的单调性； ②若是上的“中值偏移”函数，求实数的取值范围； (2)证明：在上为“中值偏移”函数. 【答案】(1)①答案见解析； ② (2)证明见解析 【分析】（1）①利用导数的应用分类讨论含参函数的单调性即可；②设，计算的表达式，再设，求导得其单调性即可； （2），设，则，通过二次求导即可证明. 【详解】（1）①由题意，， 当时，，则在R上单调递减； 当时，令， 所以在上单调递减，在上单调递增. ②因为函数为＂中值偏移＂函数，设， 则，对任意，不妨设． 因为，所以以为切点的切线斜率， 因为直线的斜率， 所以． 设． 因为，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增， 所以，所以， 所以的取值范围为． （2）不妨设，因为， 所以以为切点的切线的斜率． 因为直线的斜率 ， 所以． 设，则 . 设． 因为， 设，则， 所以在上单调递减， 所以，所以在上单调递减， 所以，即，所以， 所以是＂中值偏移＂函数． 学科网（北京）股份有限公司 $