精品解析：重庆市第八中学校2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

重庆八中高 2027 级高三 (上) 入学考试 数学试题 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解一元二次不等式确定集合，再求在实数集的补集，最后计算该补集与集合B的交集可得. 【详解】由一元二次不等式，因式分解可得，解得， 即. 根据补集的定义，或. 又，根据交集的定义，因此. 2. 已知 ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】若,则，所以， 取，此时，但， 综上 “  ” 是 “  ” 的充分不必要条件. 3. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据排除A，根据定义域排除B，根据奇偶性排除C，进而可得答案. 【详解】对于A， 在处无意义，故A错误； 对于B：的定义域为，故B错误； 对于C：的定义域为， 且，则为偶函数，故C错误； 对于D，满足图中要求，故D正确. 故选：D. 4. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由是定义在上的奇函数，得， 故，当时，， 所以， 5. 某校派出 6 名志愿者派往 4 个社区参与志愿服务，每个社区至少去 1 名志愿者，其中甲志愿者去 A 社区. 则不同的分配方法种数为（ ） A. 360 B. 390 C. 750 D. 1170 【答案】B 【解析】 【分析】根据分组分配问题的求解方法，结合分类计数原理求解 【详解】只有甲前往A社区的总方法数：； 甲与另外1个人前往A社区的总方法数：； 甲与另外2个人前往A社区的总方法数：； 综上，总分配方法数为. 6. 已知在R上满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】条件可转化为函数在R上单调递增，结合一次函数单调性、二次函数单调性列不等式可求的范围. 【详解】由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. 7. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性分别计算的范围即可求解． 【详解】对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 综上可得． 8. 已知 ，且 ，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， . 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. 二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分. 9. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项分析即可. 【详解】解：由题意得： 对于选项A：因为，所以成立，故A正确； 对于选项B：因为，根据不等式的性质成立，故B正确； 对于选项C：当时，则，故C错误； 对于选项D：因为，根据不等式的性质，根据同向相加性可知：故D正确； 故选：ABD 10. 市物价部门对五家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价（元）和销售量（件）之间的数据如表所示： 9 9.5 10 10.5 11 120 100 70 60 50 用最小二乘法求得经验回归方程为 ，则（ ） 附注：参考公式；相关系数；线性回归方程最小二乘法估计公式为，． A. B. 当时，的预测值为8 C. 点的残差为2 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据经验回归方程的计算公式，计算以及相关系数r，通过代入x值得到y的预测值，根据残差等于真实值与预测值的差计算残差． 【详解】由表中数据可得 ，； 则； ； ； 则，故A错误； 则，则经验回归方程为； 当时，，故的预测值为8，B正确； 当时，，故的预测值为98，则残差为，故C正确； 代入公式可得相关系数， 则，故D正确． 11. 已知是函数的三个零点，则（ ） A. B. C. 若成等差数列，则成等比数列 D. 若成等差数列，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】参变分离可得，令，利用导数分析的单调性和极值，结合图象分析可知，且，即可判断AB；整理可得，结合等差中项可得，即可判断C；整理可得，，即可得，即可判断D. 【详解】令，可得， 令，则， 令，解得；令，解得或； 可知在内单调递增，在，内单调递减， 则的极大值为，极小值为， 且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 由此可得函数的图象如图所示： 对于选项AB：因为是函数的三个零点，可知与有3个交点， 则，且，可得，故A正确，B错误； 对于选项CD：因为，则， 可得，即， 若成等差数列，则，即， 可得，且，即， 所以成等比数列，故C正确； 又因为，则， 整理可得，解得或， 因为，可得， 则，可得， 所以，故D正确. 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知，若，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】若，则，得； 若，则，则（舍）， 综上， 13. 已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式 _____. 【答案】 【解析】 【分析】先利用求出参数，再根据前项和与通项的分段关系推导通项，最后验证时的适配性. 【详解】当时，，即； 当时，，因此， 由，得，解得，故， ① 当时，； ② 当且时，， 表达式对也成立， 综上所述，数列的通项公式为. 14. 已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，其中 ，则直线的斜率的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数分别求出两条曲线的切线斜率，再利用切线过两点表示斜率，联立三个斜率表达式，构建关于的函数关系，求导判断函数单调性即可求值域. 【详解】由题意得，则，设曲线的切点为， 则直线的斜率，而，则， 设曲线的切点为，则直线的斜率， 联立，得,又因为直线过两点， 所以直线的斜率也可以表示为， 由两边同时取对数，得，把， 将代入，得， 又因为恒成立，所以， 令，则，令， 即时单调递减，时，单调递增， 所以在时，取最小值，即. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图,在直三棱柱中,,异面直线与所成的角为60°. （1）求该三棱柱的体积; （2）设D是的中点,求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)以A点为原点,为轴正方向,建立空间直角坐标系，设，利用异面直线与所成的角为60°求得h，即得该三棱柱的体积； (2)利用向量法求与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 如图,以A点为原点, 为轴正方向,建立空间直角坐标系. 设,则B(1,0,0),C(0,1,0),, 则,. 因为直线与所成的角为60°, 所以|cos<,解得h=1. 于是该三棱柱的体积为. 【小问2详解】 由(1)知,,. 设平面的法向量, 则可取. 又因为， 设与平面所成角为， 于是, 所以与平面所成角的正弦值为. 16. 已知函数在处取得极小值． （1）求； （2）若关于的不等式在恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）的取值范围是 【解析】 【分析】（1）先对三次函数求导，利用极值点处导数为列方程解出的两个候选值，再分别代入导数分析左右单调性，检验是否为极小值点，舍去不符合条件的得到结果； （2）将代入函数，利用区间内分离参数，构造关于的二次函数，通过换元确定新变量取值区间，求出函数在区间上的最大值，由恒成立条件得到的取值范围． 【小问1详解】 的定义域为，则， 由函数在处取得极小值，得，解得，， 若，则，令，得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以是的极小值点，符合题意， 若，则，令，得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以是的极大值点，不符合题意， 综上，； 【小问2详解】 由（1）得，， 不等式在恒成立， 即不等式在恒成立， 令，， 由，得，则，故， 所以时，取最大值， 所以，即的取值范围是． 17. 某校举办“投篮之星”双人挑战赛，甲、乙两位同学组队参赛. 规则：甲先依次投两个球， 然后乙再依次投两个球(共四球). 若两人合计命中球数不少于个，则队伍获胜并获得奖品；若两人合计未击中球数达到个，则立即中止比赛.特别地，若前三球全部命中， 也应继续投完第四球. 已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为 ，且每次投篮相互独立. （1）当时，设为乙实际投篮的次数，求的分布列及期望； （2）当时，求甲、乙获得奖品的概率的最大值. 【答案】（1）分布列为： ​ 期望： （2） 【解析】 【分析】（1）先确定乙实际投篮次数的可能取值为，再根据相互独立事件的概率及比赛中止的条件计算相应的概率，进而可得分布列及期望值； （2）由队伍获胜，总命中数为或，再分类计算可得获得奖品的概率，令，由概率的性质及条件得，进而可得，再由二次函数的性质可得概率的最大值. 【小问1详解】 由题意可得乙实际投篮次数的可能取值为： 当时，甲次投篮全不中，此时累计未命中数已达，比赛立即中止，乙无需投篮. 概率为. 当时，甲前次投篮恰好个未命中，且乙第次投篮未命中，此时累计未命中数为，比赛中止，乙仅投次. 甲投中的概率为，因此：. 当时，前球投篮累计未命中数小于等于，比赛未中止，乙投满球，分三种情况： ①前球投篮中，仅有甲次未命中，概率为； ②前球投篮中，仅乙次未命中，概率为； ③前球投篮中，全部命中，未命中数为，概率为. 因此. 分布列为： ​ 故期望为. 【小问2详解】 队伍获胜（得奖品）要求合计命中数大于或等于，即总命中数为或， 总命中数为：甲中、乙中，概率为； 总命中数为：①甲中、乙恰好中，概率； ②甲恰好中、乙中，概率. 因此总命中数为的概率为. 合并化简得获胜概率为， 代入条件，得，令，则， 由得，因为，得. 所以，所以在单调递增，在上单调递减， 因此时，；或时，. 所以，此时是关于的二次函数， 该二次函数开口向下，对称轴为，函数在上单调递增， 因此当（即）时，取得最大值，得到.​ 因此甲、乙获得奖品的概率的最大值为. 18. 已知椭圆过点，离心率为. （1）求的标准方程； （2）设，，不垂直于轴的直线交于，两点（，，不共线），且. （i）判断直线是否过定点? 若是，求出定点；若不是，请说明理由； （ii）设与的面积分别为，求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）直线过定点，定点为；（ii） 【解析】 【分析】1）根据椭圆的顶点和离心率列式求，即可得椭圆标准方程； （2）（i）设直线，，，且，与椭圆方程联立可得韦达定理，由题意可得，结合韦达定理可得，即可得定点；（ii）利用韦达定理可得，换元结合基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 由题意可知：，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （i）由题意可设直线，，，且， 联立方程，消去x可得， 则，解得， 可得，， 因为，则，即， 可得，整理可得， 即，且，可得，解得， 满足，符合题意， 所以直线过定点. （ii）由（i）可知：，， 则， 可得，， 则， 令，则， 可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值为. 19. 已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）讨论的单调性； （3）若存在极小值，且极小值等于，求证：． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在、上单调递增； 当时，则在上单调递增； 当时，则在上单调递减，在、上单调递增. （3） 由题意可知，由（2）可知，当时， 函数的极小值为，此时， 因为，则，此时，等式不成立； 当时，函数的极小值为，此时， 因为，则，则， 由不等式的性质可得，等式不成立； 当时，函数在上单调递增，函数无极值； 当时，函数的极小值为， 可得，令，则，且，则， 先证明不等式，其中， 即证， 令，，其中，则， 所以，函数在上为增函数，当时，， 所以，当时，， 设，即，所以， 上述两个等式相除得， 所以，所以，则， 即，可得， 由基本不等式可得，故原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，可得出函数的最小值； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （3）分析可知，结合题意得出，可得出，令，则，且，则，证明对数平均不等式，其中，令，即，变形得出，再利用对数等式以及基本不等式可证得结论成立. 【小问1详解】 ， 当时，， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，的最小值为. 【小问2详解】 ， 当时，则对任意的恒成立， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，则或， ①当时，即时， 由可得或，由可得， 所以函数在上单调递减，在、上单调递增； ②当时，即时，对任意的，， 此时在上单调递增； ③当时，即时， 由可得或，由可得， 此时在上单调递减，在、上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在、上单调递增； 当时，则在上单调递增； 当时，则在上单调递减，在、上单调递增. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中高 2027 级高三 (上) 入学考试 数学试题 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知 ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）． A. B. C. D. 4. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 1 C. D. 5. 某校派出 6 名志愿者派往 4 个社区参与志愿服务，每个社区至少去 1 名志愿者，其中甲志愿者去 A 社区. 则不同的分配方法种数为（ ） A. 360 B. 390 C. 750 D. 1170 6. 已知在R上满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知 ，且 ，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分. 9. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 市物价部门对五家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价（元）和销售量（件）之间的数据如表所示： 9 9.5 10 10.5 11 120 100 70 60 50 用最小二乘法求得经验回归方程为 ，则（ ） 附注：参考公式；相关系数；线性回归方程最小二乘法估计公式为，． A. B. 当时，的预测值为8 C. 点的残差为2 D. 11. 已知是函数的三个零点，则（ ） A. B. C. 若成等差数列，则成等比数列 D. 若成等差数列，则 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知，若，则__________． 13. 已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式 _____. 14. 已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，其中 ，则直线的斜率的取值范围是_____. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图,在直三棱柱中,,异面直线与所成的角为60°. （1）求该三棱柱的体积; （2）设D是的中点,求与平面所成角的正弦值. 16. 已知函数在处取得极小值． （1）求； （2）若关于的不等式在恒成立，求的取值范围． 17. 某校举办“投篮之星”双人挑战赛，甲、乙两位同学组队参赛. 规则：甲先依次投两个球， 然后乙再依次投两个球(共四球). 若两人合计命中球数不少于个，则队伍获胜并获得奖品；若两人合计未击中球数达到个，则立即中止比赛.特别地，若前三球全部命中， 也应继续投完第四球. 已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为 ，且每次投篮相互独立. （1）当时，设为乙实际投篮的次数，求的分布列及期望； （2）当时，求甲、乙获得奖品的概率的最大值. 18. 已知椭圆过点，离心率为. （1）求的标准方程； （2）设，，不垂直于轴的直线交于，两点（，，不共线），且. （i）判断直线是否过定点? 若是，求出定点；若不是，请说明理由； （ii）设与的面积分别为，求的最大值. 19. 已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）讨论的单调性； （3）若存在极小值，且极小值等于，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $