山西大学附属中学校2025-2026学年高三上学期周测13数学试题（2025.10.29）

山西大学附中高中数学（高三一轮） 编号13 1．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合，利用交集的定义可得出集合. 【详解】由得，解得， 故， 又因为，故. 故选：D. 2．为考察某植物幼苗的生长速度，将六个品种的幼苗在相同的环境下培养7天，得到它们的高度（单位：厘米）分别为33，36，32，38，42，40，则这组数据的上四分位数为（    ） A．37 B．38 C．40 D．41 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用上四分位数的定义求解判断. 【详解】将数据按照从小到大的顺序排列为：32，33，36，38，40，42， 由，得该组数据的上四分位数为40. 故选：C 3．已知，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先对z进行变形化简，再结合复数和复平面的概念即可得到答案． 【详解】由，得，可得在复平面内对应的点为，位于第二象限． 故选：B． 4．是等比数列的前n项和，若成等差数列，则的公比q的值为（    ） A． B． C．1 D．或1 【答案】B 【分析】根据等差中项可得，进而可得，结合等比数列通项公式运算求解. 【详解】因为成等差数列，则，则， 整理得， 又因为为等比数列，则， 且，解得. 故选：B. 5．已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由侧面积得母线长，再由母线得到高，进而圆台的体积公式可得出. 【详解】如图，由圆台上、下底面面积分别是、，得上底面半径，下底面半径. 侧面积是，得，得，在直角三角形中， ，高， 所以. 故选：A. 6．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角差的正弦公式，结合辅助角公式求出，可得，再根据二倍角的正切公式求解即可. 【详解】， ，， ，其中，，，， ，， ， ， ，． 故选：A． 7．已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线定义，将点到的距离转化为点到焦点的距离，然后数形结合，根据三角形三边关系，可以得出的最小值即为点到直线的距离，再结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意，抛物线的焦点，准线方程为， 因为点在抛物线上，所以，所以. 联立方程组得：，则， 所以直线与抛物线无公共点， 如图所示，的最小值即为点到直线的距离， 所以最小值为， 即的最小值为.    故选：A 8．已知函数，若正数m，n满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数解析式可得，据此得出，再由“1”的技巧及基本不等式得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以由可得，即， 由， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 9．下列命题正确的是（    ） A．标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差越大，数据的离散程度越大 B．用相关系数判断线性相关强度，越大，变量的线性相关程度越大 C．用卡方检验法判断“是否有把握认为吸烟与患肺癌有关”时，的值越大则表示吸烟与患肺癌之间的关联性越小 D．已知随机变量满足，且，则 【答案】AD 【分析】根据标准差的定义、相关系数的内涵、卡方检验、二项分布的方差等知识对选项逐一判断即可. 【详解】标准差衡量数据与平均数的偏离程度，描述数据围绕平均数的波动大小，标准差越大，数据越分散，离散程度越大.故选项A正确； 相关系数的绝对值越大，线性相关程度越强.故选项B错误； 卡方检验中，的值越大，实际观测值与理论值差异越大，拒绝原假设的理由越充分， 即吸烟与患肺癌的关联性越强.故选项C错误； 由于，故，故.故选项D正确； 故选：AD. 10．（多选）已知向量，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若的夹角为钝角，则 D．设在方向上的投影向量为，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】对于A，根据平面向量垂直的坐标表示求解判断即可；对于B，根据平面向量共线的坐标表示求解判断即可；对于C，由的夹角为钝角可得，且不共线，进而求解判断即可；对于D，易得，令，利用判别式法求解判断即可. 【详解】对于A，由，则，即，故A正确； 对于B，由，则，即，故B正确； 对于C，由的夹角为钝角，则，且不共线， 则且，故C错误； 对于D，由在方向上的投影向量为， 则，所以， 令，则， 当时，，则，符合题意， 当时，有，解得且， 综上所述，，则的取值范围为，故D正确. 故选：ABD. 11．（多选）等比数列的公比为q，前n项积为，且满足，，，以下四个命题中正确的命题为（   ） A． B． C．为的最大值 D．使成立的最大的正整数4031 【答案】BC 【分析】利用等比数列的性质可知，，得出，进而判断即可. 【详解】等比数列的公比为，且满足，，， ∴，，则，A错误； 由，B正确； 由，，，，所以的最大值为，C正确； ， 所以成立的最大正整数为4030，D错误. 故选：BC 12．设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，，则 . 【答案】 【分析】应用条件概率公式及概率基本性质计算求解. 【详解】由，有， 又由， 可得. 故答案为： 13．已知，平面上动点满足对任意恒成立，则的最小值为 . 【答案】 7 【分析】利用向量的线性运算可得，即动点到定直线的距离恒为，再利用极化恒等式即可求解，利用中线向量即可求解. 【详解】    设直线上有一动点，满足，则， 由此可得点到直线的距离为， 再由极化恒等式，取中点为，可得，此时如图：，    则 14．若对任意，恒有（为自然对数的底数），则实数的最小值为 . 【答案】1 【分析】由于，所以原不等式等价于，构造函数，利用导数判断其单调性，然后利用单调性解不等式可得，再次构造函数，利用导数求出其最大值即可 【详解】∵等价于， 即．令，则， ，易得函数在上单调递减，在上单调递增， ∴，∴函数在上单调递增． ∵等价于， ∴，则，即． 令，则， 易得函数在上单调递增，在上单调递减， ∴，． ∴， ∴实数的最小值为1． 故答案为：1 15．向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式和对称中心； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）结合数量积的坐标运算，利用二倍角公式和辅助角公式得，然后利用周期求得，然后利用正弦函数的对称性求解对称中心； （2）先根据三角函数变换法则求得，令，则，将问题转化为在上只有一个解，画出与的图象，数形结合即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以 ， 因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以， 令得，，所以函数的对称中心为； （2）由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数， 再向左平移个单位得， 令，则， 所以， 因为在上只有一个解，    由的图象可得， 或， 所以的取值范围是. 16.如图甲，在平面五边形中，∥，，，，为的中点，以为折痕将图甲中的△折起，使点到达如图乙中的点的位置，且. (1)证明：平面平面； (2)若过点作平面的垂线，垂足为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，再由面面垂直的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到面的距离即可. 【详解】（1）在平面五边形中，∥，， 所以四边形是直角梯形，且， 在直角中，，且，则， 可得，从而是等边三角形，平分. 因为为的中点，所以，所以， 又因为且平面， 所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （2）取的中点F，连接，过点S作垂直于点，连接，如图， 因为平面平面，平面∩平面， 所以平面，又平面，则 因为，F是的中点，所以， 又且平面，所以平面， 由平面，则； 又因为，所以，则点O是的中点， 又，所以，可得. 以为原点，以所在的直线分别为轴，轴， 如图所示建立空间直角坐标系， 则， 可得. 设平面的一个法向量为， 由，令，则. 由于平面，设 可得， 所以； 由于点平面， 所以， 解得，即， 由（1）可知，平面， 所以点H到平面的距离为. 17．已知函数. (1)若，求的极值. (2)若且，关于的方程在上仅有一个实根. （i）证明：； （ii）求的最大值. 【答案】(1)极小值，极大值. (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）求导，结合函数的单调性求得极值； （2）（i）令，利用导数判断单调性求出最值，得证；（ii）由，结合，可得，得，构造函数令，利用导数判断单调性求出最值. 【详解】（1）若，则， 所以， 令，得，令，得或. 故在上单调递增，在上单调递减， 所以极小值，极大值. （2）（i）令， 则， 令，显然在上单调递增，又， 所以存在唯一的，满足，即， 且当时，，即，当时，，即， 故在上单调递减，在上单调递增，是在上的极小值，也是最小值， 又因为，要使在上仅有一个实根，必需，所以. （ii）由（i）知， 将代入，得. 所以. 所以， 令， 则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 故的最大值为. 试卷第16页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中高中数学（高三一轮） 编号13 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．为考察某植物幼苗的生长速度，将六个品种的幼苗在相同的环境下培养7天，得到它们的高度（单位：厘米）分别为33，36，32，38，42，40，则这组数据的上四分位数为（    ） A．37 B．38 C．40 D．41 3．已知，则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．是等比数列的前n项和，若成等差数列，则的公比q为（ ） A． B． C．1 D．或1 5．已知圆台上、下底面面积分别是、，侧面积是，则该圆台的体积是（ ） A． B． C． D． 6．若，则（ ） A． B． C． D． 7．已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，若正数m，n满足，则的最小值为（ ） A．3 B． C． D． 二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列命题正确的是（ ） A．标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差越大，数据的离散程度越大 B．用相关系数判断线性相关强度，越大，变量的线性相关程度越大 C．用卡方检验法判断“是否有把握认为吸烟与患肺癌有关”时，的值越大则表示吸烟与患肺癌之间的关联性越小 D．已知随机变量满足，且，则 10．已知向量，下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若的夹角为钝角，则 D．设在方向上的投影向量为，则的取值范围为 11．等比数列的公比为q，前n项积为，且满足，，，以下四个命题中正确的命题为（ ） A． B． C．为的最大值 D．使成立的最大的正整数4031 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．设A，B是一个随机试验中的两个事件，，，，则 . 13．已知，平面上动点满足对任意恒成立，则的最小值为 . 14．若对任意，恒有（为自然对数的底数），则实数的最小值为 . 四、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为． （1）求函数的解析式和对称中心； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围． 16．如图甲，在平面五边形中,,,，，为的中点，以为折痕将图甲中的折起，使点到达如图乙中的点的位置，且. （1）证明：平面平面； （2）若过点作平面的垂线，垂足为，求点到平面的距离. 17．已知函数. （1）若，求的极值. （2）若，，关于的方程在上仅有一个实根. （I）证明：； （II）求的最大值. 试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $