山西大学附属中学校2025-2026学年高三上学期周测12数学试题（2025.10.22）

1.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式求得集合，进而求得. 【详解】由解得，所以， 而，所以. 故选：A 2．已知是不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据线面的位置关系判定定理和性质逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，不正确. 对于B，当时，与可能平行､异面､相交，B不正确. 对于C，当时，或，C不正确. 对于D，当，时，，D正确. 故 选 ：D. 3．已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将充分不必要条件转化为真子集关系即可求解. 【详解】设集合，集合，若是的充分不必要条件， 所以是的真子集，可得， 故选：D. 4.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【详解】 . 故选：D 5．若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 6.已知函数，，若和图象存在3个交点，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由，可知，关于点对称，由函数的对称性即可求出答案. 【详解】因为， 又， 所以关于点对称，又， 所以也关于点对称，因为，， 所以交点，，中必定含有一个点为， 且剩余两个点关于点对称，故． 故选：C. 7.已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过把拆解成与的关系式可求得的值，根据同角三角函数的基本关系求出的值，利用两角和、差的正弦公式可得结果. 【详解】∵，∴， ∴， ∵，∴，故， ∴， ∴ . 故选：A. 8.已知函数，若函数有最小值，则实数的取值范围是（   ） A．B．C． D． 详解】当时，， 函数有最小值，则最值必在上取得，且其最小值小于等于， 若，则，得， 若，则，得， 则实数的取值范围是. 故选：D 9.正方体中，M为中点，O为中点，以下说法正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】AC 【分析】设交于，利用线面平行的判定定理可判断A，由题可得进而可判断BD，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可判断C. 【详解】连接交于，连接，则为的中点， 所以，， 又M为中点，，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面，故A正确； 因为，与平面相交且不垂直， 所以与平面不平行且不垂直，故BD错误； 由题可知平面，平面， 所以，由题可知， 又平面，平面， 所以平面，又， 所以平面，故C正确. 故选：AC. 10.已知双曲线，且p，q，r依次成公比为2的等比数列，则（    ） A．C的实轴长为4 B．C的离心率为 C．C的焦点到渐近线的距离为 D．过焦点与C相交所得弦长为4的直线有3条 【答案】AC 【分析】根据等比数列求出双曲线的方程，结合选项逐一判断，A,B通过方程可得正误，C通过点线距可得正误，通过最短弦长和对称性可得D的正误. 【详解】因为p，q，r依次成公比为2的等比数列，所以，，即，． 所以C的方程可化为，则，，即，． 对于A，C的实轴长为4，故A正确； 对于B，离心率为，故B错误； 对于C，不妨设焦点坐标为，一条渐近线的方程为，则焦点到渐近线的距离为，故C正确； 对于D，交于同一支时弦长最小值为，交于两支时弦长最小值为． 根据对称性可知过焦点与C相交所得弦长为4的直线有5条，故D错误． 故选：AC. 11.数学中有很多优美的图形，如图2所示的叶子形状的曲线，是由函数与的部分图象组合而成的封闭曲线，则（　　） A．是轴对称图形 B．的弦长的最大值为 C．直线被截得弦长的最大值为 D．的面积为 详解】由得， 的反函数为，两者关于对称，故A正确. 由得， 令， 当时，；当时，； 在上单调递减；上单调递增， 注意到，， 在和有一个零点，另一个零点为， ，故B错误. 与曲线对称轴垂直， 如图，只需考察曲线上到距离大最大值即可， 找出过与曲线相切且与平行的点即可， 令，令， 此时到的距离， 直线被截得弦长最大值为，故正确. ，故D不正确. 故选：AC. 12.已知，，且，共线，则 . 【详解】由已知，可得， 则， 则， 所以. 13.若，则 ． 【详解】令，可得， 由 可得， 所以为的展开式中的系数， 的展开式通项为， 故. 14.设实数，若不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，即， 因为，所以，即恒成立， 令，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 因为，所以， 若时，不等式恒成立，则恒成立， 若时，，恒成立，则也成立， 所以当时，恒成立，所以得，即， 设 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，所以，即正实数的最小值为. 故选：C. 15.已知数列：1，，，…，，… (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前n项和，求； （1）由条件可知：. （2）由（1）知， ∴， ∴， ， 两式相减，得 ， ∴. （3）由（1）知， ∴， ∴ ， 故得证. 16.已知点在运动过程中，总满足关系式：. (1)点M的轨迹是什么曲线？写出它的方程； (2)设圆O：，直线l：与圆O相切且与点M的轨迹交于不同两点A，B，当且时，求弦长的最大值. 详解】（1）由关系式，结合椭圆的定义， 点M的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆. ∴，，， ∴点M的方程为. （2）联立方程，则， 设，， 则，，， 直线l：与圆O相切，则， ， ∵，∴，解得， . 当且仅当取等号. 所以弦长的最大值为2. 17.定义运算：，已知函数. (1)若函数的最大值为0，求实数a的值； (2)证明：； (3)若函数存在两个极值点，证明： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）由题意知：，， ①当时，，在单调递减，不存在最大值． ②当时，由得， 当，；，， 函数的增区间为，减区间为． ，令，则， 当时，，函数递减， 当时，，函数递增， 又，. （2）证明：由（1）知，当时，函数在上单调递增， 在上单调递减， 所以，即， 当时， ． ， ． （3）证明： “函数存在两个极值点”等价于 “方程有两个不相等的正实数根” 故，解得， ， 要证，即证， ，不妨令，故 由，得，即证， 令 在恒成立， 所以函数在上单调递减，故． 成立． $ 山西大学附中高中数学（高三一轮） 编号12 1、 选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知，则（    ） A． B． C． D． 2.已知是不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3.已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（ ） A． B． C． D． 5.若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 6.已知函数，，若和图象存在3个交点，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7.已知，若，则（   ） A． B． C． D． 8.已知函数，若函数有最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2、 选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9.正方体中，M为中点，O为中点，以下说法正确的是（    ） A． 平面 B． 平面 C． 平面 D． 平面 10.已知双曲线，且p，q，r依次成公比为2的等比数列，则（    ） A．C的实轴长为4 B．C的离心率为 C．C的焦点到渐近线的距离为 D．过焦点与C相交所得弦长为4的直线有3条 11.数学中有很多优美的图形，如图2所示的叶子形状的曲线，是由函数与的部分图象组合而成的封闭曲线，则（　　） A．是轴对称图形 B．的弦长的最大值为 C．直线被截得弦长的最大值为 D．的面积小于 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.已知，，且，共线，则 . 13.若，则 ． 14.设实数，若不等式对任意恒成立，则的最小值为 ． 四、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.已知数列：1，，，…，，… (1)写出数列的通项公式； (2)设，为数列的前n项和，求； 16.已知点在运动过程中，总满足关系式：. (1)点M的轨迹是什么曲线？写出它的方程； (2)设圆O：，直线l：与圆O相切且与点M的轨迹交于不同两点A，B，当且时，求弦长的最大值. 17.定义运算：，已知函数. (1)若函数的最大值为0，求实数a的值； (2)证明：； (3)若函数存在两个极值点，证明：. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $