山西省山西大学附属中学2025-2026学年高三上学期周测9数学试题（2025.9.24）

山西大学附中高中数学（高三一轮） 编号9 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．命题，则是（ ） A．， B．， C．， D．， 2．已知集合，，若，则等于（   ） A．2 B．1或2 C．1或2或 D． 3．已知，且，为虚数单位，则的最大值是（　　） A． B． C．2 D． 4．若直线被圆C截得的弦长为，则（　　） A．±2 B． C．2 D．2 5．已知向量与共线，则（     ） A． B． C． D． 6．函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．若，则（　　） A． B． C． D． 二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有4位男生，6位女生进入决赛．现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（   ） A． B． C． D． 10．已知，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 11．已知数列满足，则（　　） A． B． C． D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．设，，，则与的夹角为 ． 13．已知角终边上点坐标为，则 ． 14．已知的内角的对边分别为，其内切圆半径，则边长的最小值为 ． 四、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．(本小题15分)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求B； (2)若的角平分线交AC于点D，且，求BD． 16．(本小题15分)已知函数 有两个极值点且. (1)求实数的取值范围； (2)证明：． 17．(本小题17分)根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为： 0 1 2 3 概率 其中.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子，事件表示一个家庭的男孩比女孩多（如果一个家庭只有一个孩子且是男孩，则该家庭男孩多.） (1)若，求的值以及； (2)为了调控未来人口结构，需要调控的值，其中参数受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育､医疗福利的增加等）. ①若希望增大，如何调控的值？ ②是否存在的值使得？若存在求出的值或范围，若不存在请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中高中数学（高三一轮） 编号9 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．命题，则是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】可得命题的否定为“”.故选：A 2．已知集合，，若，则等于（   ） A．2 B．1或2 C．1或2或 D． 【答案】C 【详解】解：，由，可得且， 集合，当时，，当时，则或2， 经检验均符合要求，故或2或，故选：C 3．已知，且，为虚数单位，则的最大值是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】表示以为圆心，为半径的圆， 则圆心C到点的距离，则的最大值为. 故选：A 4．若直线被圆C截得的弦长为，则（　　） A．±2 B． C．2 D．2 【答案】A 【详解】由题意可得圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 又因为截得的弦长为，所以，化简得，解得. 故选：A. 5．已知向量与共线，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，，又因为，所以， 解得，所以∴.故选：A. 6．函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】设，则， 当时，，解得或（舍去），则； 当时，，解得. 画出的函数图象，如下图所示： 由图象可知，与有3个交点，与有2个交点， 所以函数的零点个数为5. 故选：C 7．已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设半焦距为，因为，故. 又过点，故. 由椭圆得，代入解得，.即，. 所以的方程为.    设的左焦点为，故. 根据椭圆的几何性质可知， 由于两点之间线段最短，所以. 因此. 当且仅当，，在一条直线上时，等号成立. 故选： 8．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由两边取平方，可得①， 由，两边取平方，可得②， 由①②得到，整理得到， 又，解得，即， 将其代入，可得，即， 即，所以， 故得.故选：A. 二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有4位男生，6位女生进入决赛．现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，，故B正确； 对于C，事件B可分为两种情况：第一位出场的是男生且第二位出场的是女生；第一位出场的是女生且第二位出场的是女生， ，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 10．已知，，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AC 【详解】由，，， 对于选项A，由，即， 所以，当且仅当，即，时等号成立，即的最大值为，故A正确； 对于选项B，由， 当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为9，故B错误； 对于选项C，由B选项可知，，所以， 当且仅当，时等号成立，即的最大值为，故C正确； 对于选项D，由， 则，当且仅当，即且时等号成立， 联立，整理得到，由，则，无实数解， 所以等号取不到，即，即无最小值，故D错误． 故选：AC． 11．已知数列满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，由题意，，解得，故A正确； 对于B，当时，有，则有，故B错误； 对于C，，则得， 即，故C正确； 对于D，考虑不等式两边取对数，若D项正确， 则必有成立. 已知，当时， ， 则得．所以（*）． 设，则， 即函数在上单调递减，则， 即，故有，结合（*）可得， 故 ，即， 而当时，，原不等式成立，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．设，，，则与的夹角为 ． 【答案】 【详解】因为，，， 所以由，得， 因为，所以. 13．已知角终边上点坐标为，则 ． 【答案】 【详解】因为角终边上点坐标为，且，，所以， 因为 ，所以. 故答案为： 14．已知的内角的对边分别为，其内切圆半径，则边长的最小值为 ． 【答案】 【分析】解法一：由题设易得，，，，结合基本不等式可得，设的内切圆与边相切于点，结合图形可得，进而求解即可； 解法二：由题设结合平方关系、等面积法易得，结合余弦定理可得，，进而得到，结合基本不等式可得，进而求解即可. 【详解】解法一：由，即，则，同理， 而，解得， 设的内切圆与边相切于点，    而， 则， 即，当且仅当时等号成立， 所以， 由图可知， ， 则边长的最小值为. 解法二：由，得， 由，得①， 由余弦定理有 ， 则②，显然． 由①②整理得， 解得或（舍去）， 则，当时等号成立， 则边长的最小值为. 故答案为；. 四、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．(本小题15分)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求B； (2)若的角平分线交AC于点D，且，求BD． 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以，因为，所以； （2）因为，所以， 因为BD平分，所以，即， 由（1）知，，解得，， 因为，所以， 整理得. 16．(本小题15分)已知函数 有两个极值点 且 . (1)求实数的取值范围； (2)证明：. 【详解】（1）由已知可得， 因为有两个极值点，所以有两个根， 所以函数与函数有两个交点， 对函数，， 当时；当时，. 所以函数在单调递增，在单调递减， 当时，取得最大值，且时，；时，， 所以函数的图象如图所示，    所以若函数与函数有两个交点，则， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）可知，，所以①，②， ①-②得， 令，则，所以，， 所以， 令，则， 令，则， 所以在单调递减，所以， 所以在单调递增，所以， 即，得 又，所以， 即，得证. 17．(本小题17分)根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为： 0 1 2 3 概率 其中.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子，事件表示一个家庭的男孩比女孩多（如果一个家庭只有一个孩子且是男孩，则该家庭男孩多.） (1)若，求的值以及； (2)为了调控未来人口结构，需要调控的值，其中参数受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育､医疗福利的增加等）. ①若希望增大，如何调控的值？ ②是否存在的值使得？若存在求出的值或范围，若不存在请说明理由. 【详解】（1）由题可知：.因为，所以，所以.分析可得：事件的概率； 事件表示一个家庭有一个孩子，且是男孩.所以； 事件表示一个家庭有两个孩子，且均是男孩.所以； 事件表示一个家庭有三个孩子，其中有两个是男孩、一个是女孩或三个均是男孩.所以. 所以. （2）①由题可知：，所以. 令，则. 令，则. 当时，，所以函数单调递增，所以，即，所以函数单调递减. 因此，当增大时，减小.因为，所以增大，即增大. 故若希望增大，可增大的值. ②由①得：，所以. 设存在的值使得，则， 因为，所以，即. 整理得：，即. 因为，所以，所以. 所以存在的值使得，的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $