山西大学附属中学校2025-2026学年高三上学期周测7数学试题（2025.9.10）

山西大学附中高中数学（高三一轮） 编号7 一、单选题 1．复数z满足，则z的虚部为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的定义，即可求解. 【详解】由复数， 所以复数的虚部为. 故选：B. 2．不等式的解集为（   ） A．B．{或}C． D．{或} 【答案】B 【分析】根据分式不等式的解法求得正确答案. 【详解】由得， 所以，解得或， 所以不等式的解集为{或}. 故选：B 3．已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且点到的距离为，则该抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义求出的值，即可得出抛物线的焦点坐标. 【详解】抛物线的准线方程为，焦点为， 由抛物线的定义可知，点到的距离为，可得，故. 故选：B. 4．若点在曲线上，记数列的前项和为，则（   ） A． B． C．9 D．65 【答案】D 【分析】根据等比数列的定义判断数列为等比数列，利用等比数列的前项和化简求解即可. 【详解】依题意，，则， 故数列是公比为4的等比数列， 则. 故选：D. 5．下列说法正确的是（     ） A．随机变量，则 B．若随机变量，，则 C．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件 D．从除颜色外完全相同的个红球和个白球中，一次摸出个球，则摸到红球的个数服从超几何分布； 【答案】D 【分析】选项A根据二项分布的概率公式进行计算；选项B根据正态分布的对称性进行计算；选项C根据互斥事件与对立事件的定义进行判断；选项D根据超几何分布的定义进行判断. 【详解】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，，所以，故B错误； 对于选项C，至少有一个黑球包含的基本事件有“一黑一红，两黑”，至少有一个红球包含的基本事件有“一黑一红，两红”，所以两事件不互斥，故C错误； 对于选项D，设摸出红球的个数为k，则，符合超几何分布，故D正确. 故选：D 6．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知，结合二倍角的正弦、余弦公式得到的值，然后根据同角三角函数的基本关系及角的范围得到的正、余弦值，最后利用两角差的余弦公式求解的值． 【详解】因为， 所以． 因为， 根据两角正切值的正负可得， 所以，， 又因为， 所以， 同理可得，， ． 故选：C. 7. 已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【7题答案】 【答案】D 8．对任意，都有，且不恒为0，函数，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】利用赋值法可得，进而可求的值. 【详解】令，可得，所以， 令，可得， 因为不恒为0，所以，所以是奇函数， 因为， 所以. 故选：B. 二、多选题 9．已知双曲线，且p，q，r依次成公比为2的等比数列，则（    ） A．C的实轴长为4 B．C的离心率为 C．C的焦点到渐近线的距离为 D．过焦点与C相交所得弦长为4的直线有3条 【答案】AC 【分析】根据等比数列求出双曲线的方程，结合选项逐一判断，A,B通过方程可得正误，C通过点线距可得正误，通过最短弦长和对称性可得D的正误. 【详解】因为p，q，r依次成公比为2的等比数列，所以，，即，． 所以C的方程可化为，则，，即，． 对于A，C的实轴长为4，故A正确； 对于B，离心率为，故B错误； 对于C，不妨设焦点坐标为，一条渐近线的方程为，则焦点到渐近线的距离为，故C正确； 对于D，交于同一支时弦长最小值为，交于两支时弦长最小值为． 根据对称性可知过焦点与C相交所得弦长为4的直线有5条，故D错误． 故选：AC. 10．如图，在正方体中，E、F分别是的中点.下列结论正确的是（    ） A．EF与垂直 B．与平面C．平面 D．EF与所成的角为 【答案】ABC 【分析】连接，运用中位线定理推出，结合线面平行和垂直的判定定理和性质定理，分析判断可得A、B、C正确；再由异面直线所成的角的概念判断可得D错误． 【详解】对A：连接，，则交于，又为中点， 可得，由平面，平面， 可得，故，又，所以，故A正确； 对B：连接，，由正方体性质可知平面， 可得平面，故B正确； 对C：由，平面，平面， 故平面，故C正确； 对D：与所成角就是，连接， 由正方体性质可知，即为等边三角形， 故，即与所成的角为，故D错误； 故选：ABC. 11．已知函数满足，且在上有最小值，无最大值．则下列说法正确的是 A． B．若，则 C．的最小正周期为3 D．在上零点个数最少为202个 三、填空题 12．若直线为曲线的一条切线，则实数 . 【答案】1 【分析】求导，根据点斜式求解切点处的方程，即可与原方程对照列式子求解. 【详解】对求导可得, 设切点为，则切点处的切线方程为， 化简可得， 故且， 解得， 故答案为：1 13. 设非零常数d是等差数列，，，…，的公差，随机变量等可能地取，，，…，，则方差______. 【13题答案】 【答案】. 14．如图，已知某三角形场地是直角三角形，且，，，现要在此场地中修建一正三角形形状（如图）的人工湖，该正三角形的顶点位于场地的边界线上，则的面积最小值为 . 【答案】/ 【分析】首先设，在中，根据正弦定理表示，以及在中表示，再根据，结合三角函数的运算公式，以及性质，即可求解的最小值，同时求面积的最小值. 【详解】设，则， 由正弦定理得，且， 由知：，则， 则的面积最小值为. 故答案为： 15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 (1)求角A； (2)若，边中线长为1，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）采用正弦定理，将化为，再结合三角函数恒等变换公式即可求解； （2）根据，两边平方可得b、c的等式，同时结合余弦定理再列出b、c相关的等式，联立求解bc的值，最后由三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）由可知，， 也即，， 又因为， 所以，． （2）由， 两边平方得 又， 所以，解得，所以．    16．如图，在直三棱柱中，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)若点是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】（1）通过取的中点构建平面平面即得； （2）由题设易于建系，运用空间向量的夹角公式表示出直线与平面所成角的正弦值，解方程即得. 【详解】（1） 如图，取线段的中点，连接,因分别为的中点,故有, 又因为平面，平面,故平面，平面， 又,则平面平面,因平面，则平面. （2） 如图，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系. 则,设点,则，代入坐标得：，即， 于是,,设平面的法向量为，则有故可取， 依题意得，，解得：，即线段的长为1. 17.(17分) 数学与音乐有着紧密的关联，每一个音都是由纯音合成，纯音数学模型是函数．我们平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个纯音的结合，称为复合音．复合音的产生是由于发音体不仅全段在振动，它的各部分如二分之一、三分之一、四分之一等也同时在振动．已知刻画某声音的函数为． (1)求函数在处的切线方程； (2)求函数在上的单调区间； (3)函数，若在上有三个不同的极值点，证明：为定值 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中高中数学（高三一轮） 编号7 一、单选题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．复数z满足，则z的虚部为（   ） A． B． C．2 D． 2．不等式的解集为（   ） A． B．{或} C． D．{或} 3．已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且点到的距离为，则该抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．若点在曲线上，记数列的前项和为，则（   ） A． B． C．9 D．65 5．下列说法正确的是（     ） A．随机变量，则 B．若随机变量，，则 C．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件 D．从除颜色外完全相同的个红球和个白球中，一次摸出个球，则摸到红球的个数服从超几何分布 6．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 7． 已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 8．对任意，都有，且不恒为0，函数，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知双曲线，且p，q，r依次成公比为2的等比数列，则（    ） A．C的实轴长为4 B．C的离心率为 C．C的焦点到渐近线的距离为 D．过焦点与C相交所得弦长为4的直线有3条 10．如图，在正方体中，E、F分别是的中点.下列结论正确的是（    ） A． EF与垂直 B．与平面 C．平面 D．EF与所成的角为 11．已知函数满足，且在上有最小值，无最大值．则下列说法正确的是（ ） A． B．若，则 C．的最小正周期为3 D．在上零点个数最少为202个 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．若直线为曲线的一条切线，则实数 . 13. 设非零常数是等差数列，，，…，的公差，随机变量等可能地取，，，…，，则方差______.（用表示） 14．如图，已知某三角形场地是直角三角形，且，，，现要在此场地中修建一正三角形形状（如图）的人工湖，该正三角形的顶点位于场地的边界线上，则的面积最小值为 . 四、解答题（本题共3小题，共47分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 (1)求角A； (2)若，边中线长为1，求的面积． 16．如图，在直三棱柱中，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)若点是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 17.数学与音乐有着紧密的关联，每一个音都是由纯音合成，纯音数学模型是函数．我们平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个纯音的结合，称为复合音．复合音的产生是由于发音体不仅全段在振动，它的各部分如二分之一、三分之一、四分之一等也同时在振动．已知刻画某声音的函数为． (1)求函数在处的切线方程； (2)求函数在上的单调区间； (3)函数，若在上有三个不同的极值点，证明：为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $