山西省山西大学附属中学2025-2026学年高三上学期周测6数学试题（2025.9.3）

山西大学附中高中数学（高三一轮） 编号6 一、单选题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若，则（    ） A． B． C． D． 2. 若集合，，则（    ） A． B． C． D． 3. 已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 4. 已知，则（    ） A． B． C． D． 5. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，记数列的前项和为，则的值为（    ） A． B． C． D． 6. 已知函数的图象关于直线对称，则当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，A是双曲线C的左顶点，以为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 8. 已知定义在上的函数满足（为的导函数），且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（    ） A．已知点是直线l上三个不同的点，O为直线l外一点，且，则 B．已知向量，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 C．已知点G为三条边的中线的交点，则 D．已知，则在上的投影的坐标为 10．已知抛物线，过的焦点作直线，若与交于两点，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．或 D．线段中点的横坐标为 11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、卵形线、蔓叶线等，心形线也是其中一种，因其形状像心形而得名，其平面直角坐标方程可表示为，图形如图所示．当时，点在这条心形线C上，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．C上有4个整点（横、纵坐标均为整数的点） 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若函数的图像关于原点对称，则m＝ ． 13.已知，，则 . 14．在锐角中，内角所对的边分别为，且， 则的取值范围是 ． 四、解答题（本题共3小题，共47分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．如图，在四棱锥中，底面，，，，为棱上一点． (1)若是的中点，求证：直线平面； (2)若，且二面角的平面角的余弦值为，求三棱锥的体积 16．已知点，，点P在以AB为直径的圆C上运动，轴，垂足为D，点M满足，点M的轨迹为W，过点的直线l交W于点E、F. (1)求W的方程； (2)若直线l的倾斜角为，求直线l被圆C截得的弦长； (3)设直线AE，BF的斜率分别为，，证明为定值，并求出该定值. 17．在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而牛顿（Issac Newton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取为方程的近似解.现在用这种方法求函数的大于零的零点的近似值，取. (1)求和； (2)求和的关系并证明； (3)证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中高中数学（高三一轮） 编号6 一、单选题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用复数乘法和复数相等的概念求出，再利用复数的模长公式求解即可. 【详解】设， 则， 所以，解得， 所以，. 故选：D. 2. 若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数定义域和单调性解不等式，得到，解一元二次不等式得到，由交集概念求出答案. 【详解】集合，， 则. 故选：D. 3. 已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据向量共线定理和基本不等式即可求解. 【详解】因为三点共线， 所以存在实数k，使，即， 又向量不共线，所以， 由，所以， 当且仅当时，取“=”号， 故选：B 4. 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件，用两角和的正弦公式，二倍角公式，同角三角函数关系化简即可求解. 【详解】因为 所以. 故选：B 5. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，记数列的前项和为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得，据此可得，然后由裂项求和法可得答案. 【详解】由题，则在点处的切线斜率为. 斜率为：，则. 则，数列通项. 从而，所以. 故选：D． 6. 已知函数的图象关于直线对称，则当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】三角函数图象的综合应用、辅助角公式、由正弦函数的对称性求单调性、求函数零点或方程根的个数 【分析】借助辅助角公式结合正弦型函数对称性可得，再画出与图象在同一坐标系中即可得解. 【详解】，其中，且， 则有，解得，即， 则，即， 画出与图象如图所示： 由图可知，曲线与的交点个数为. 故选：B. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，A是双曲线C的左顶点，以为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】方法一：依题意，易得以为直径的圆的方程为. 又由双曲线，易得双曲线C的渐近线方程为. 当时，如图，设，则. 联立，解得或，所以，. 又因为，所以轴. 所以，.所以，所以. 因为，所以. 同理，当时，亦可得. 故双曲线C的离心率为，故选C. 方法二（极化恒等式）：易得坐标原点O为线段PQ的中点，且， 所以，所以，所以，故选C. 8. 已知定义在上的函数满足（为的导函数），且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，令，可得在上单调递增，进而可得，，可得结论. 【详解】由题意可得，即， 令，则， 所以在上单调递增，因为，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以，所以， 又，故与2的大小关系不确定. 故选：D. 二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（    ） A．已知点是直线l上三个不同的点，O为直线l外一点，且，则 B．已知向量，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 C．已知点G为三条边的中线的交点，则 D．已知，则在上的投影的坐标为 【答案】ACD 【分析】根据平面向量共线的性质，结合平面向量夹角坐标公式、三角形重心的性质、投影的定义逐一判断即可. 【详解】A：因为点是直线l上三个不同的点，O为直线l外一点，且， 所以有，正确； B：，当与共线且同向时，， 此时与的夹角为零，而，不正确； C：设边上的中线为， 于是， 因为点G为三条边的中线的交点， 所以点G是三角形的重心，因此有， 于是有，正确；    D：因为， 所以在上的投影的坐标为： ， 所以本选项正确， 故选：ACD 10．已知抛物线，过的焦点作直线，若与交于两点，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．或 D．线段中点的横坐标为 【答案】ABD 【解析】抛物线的焦点在轴上， 过作直线，可知，则，得，A选项正确； 抛物线方程为，直线的方程代入抛物线方程，得. 设，由韦达定理有，， ，得，解得或， ，则或，C选项错误； 则，线段中点的横坐标为，D选项正确； ，，B选项正确. 故选：ABD. 11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、卵形线、蔓叶线等，心形线也是其中一种，因其形状像心形而得名，其平面直角坐标方程可表示为，图形如图所示．当时，点在这条心形线C上，且，则下列说法正确的是（    ）    A．若，则 B．若，则 C． D．C上有4个整点（横、纵坐标均为整数的点） 【答案】ACD 【知识点】由方程研究曲线的性质 【分析】根据三点共线可得直线过原点，联立直线与曲线的方程，求解，即可根据弦长公式求解AB，根据三角函数的性质即可求解C，利用换元法，结合判别式，即可求解方程的整数根. 【详解】依题意，心形线C的直角坐标方程为， 过原点,由，可知三点共线， 可设直线，由 消去y，得． 不妨设， 则． ∴，故A正确； ， 当时，，故B错误； 设点在心形线C上，，角以x轴非负半轴为起始边， 则心形线C的方程转化为， 即， ∴，又， ∴，故C正确； 由，可知． 令，则心形线C的方程可化为：， ∴， 当，或，进而可得或0， 当时，方程无整数解； 当时，，故 ∴C上有4个整点，故D正确， 故选:ACD． 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若函数的图像关于原点对称，则m＝ ． 【答案】/ 【解析】因为的图像关于原点对称，则为奇函数，且为奇函数， 则为偶函数，即，，则，则． 13.已知，，则 . 【答案】 【分析】根据两角差的正弦公式计算可得，再由三角函数值域代入化简计算可得结果. 【详解】由题意可知， 所以， 由题意可知，， 由可得， 所以. 故答案为： 14．在锐角中，内角所对的边分别为，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用三角恒等变换公式和正余弦定理对已知条件进行变形，从而可求出A，再利用正弦定理边化角和三角函数性质可求答案. 【详解】∵，∴， ∴ 由余弦定理得，， ∴， ∴由得，，∴， ∴，，. 又由正弦定理得，， ， 是锐角三角形，， ， ，， . 故答案为：. 四、解答题（本题共3小题，共47分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．如图，在四棱锥中，底面，，，，为棱上一点． (1)若是的中点，求证：直线平面； (2)若，且二面角的平面角的余弦值为，求三棱锥的体积 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）先取的中点，连接，再由平行四边形即可证明线线平行，进而证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量由二面角的平面角的余弦值求出的位置，即可由体积公式求解． 【详解】（1）证明：取的中点，连，， 为的中点，且，………………………………2分 又，且， ，， 所以四边形为平行四边形，…………………………………………………………………………4分 ， 又平面，平面，故直线平面．………………………………………6分 （2）以为坐标原点，以，，所在射线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，……………………………………………………8分 设，则，， 在棱上，可设， 故，解得，即， 易知平面的法向量为，………………………………………………………………………10分 设平面的法向量，，， ，即， 即， 取，则，， 故，……………………………………………………………………………………………12分 因为二面角的平面角的余弦值为， 所以，即， 即， ，解得，故是的中点，……………………………14分 因此……………………………………………15分 16．已知点，，点P在以AB为直径的圆C上运动，轴，垂足为D，点M满足，点M的轨迹为W，过点的直线l交W于点E、F. (1)求W的方程； (2)若直线l的倾斜角为，求直线l被圆C截得的弦长； (3)设直线AE，BF的斜率分别为，，证明为定值，并求出该定值. 【答案】(1)(2)(3)证明见解析，2 【分析】（1）由已知可得圆的方程，设，，，根据，可得，，代入圆的方程即可求解； （2）由已知可得直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理即可求解； （3）根据题意可知直线斜率不为0，设直线的方程为，，，联立直线和椭圆构成的方程组，根据斜率的计算公式结合韦达定理即可求解. 【详解】（1）    由题意，点在圆上运动，设，，， 由得，，…………………2分 又，所以，所以的方程为；…………4分 （2）直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，…………………………………………………6分 所以直线被圆C截得的弦长为；…………………8分 （3）    由题意，直线斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立得， 所以，， 故，…………………………………………………14分 .…………………………17分 17．在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而牛顿（Issac Newton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取为方程的近似解.现在用这种方法求函数的大于零的零点的近似值，取. (1)求和； (2)求和的关系并证明； (3)证明：. 【答案】(1)；(2)，证明见解析(3)证明见解析 【分析】（1）根据题干中的为的次近似值和为的次近似值的定义即可求解； （2）求出直线的方程， 直接求横截距即可. （3）借助第（2）题的结论，根据几何意义得到，后面再根据此不等式进行放缩得到 ，再进行放缩得，利用不等式的性质和数列分组求和即可 【详解】（1），，， 令，得，，所以，令，得， （2）由题意得，，令，得 （3）由（2）知，，所以， 由几何意义易知：，所以， 由得，， 即，所以， 所以， 所以， 即 试卷第12页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $