山西省太原市山西大学附属中学校2025-2026学年高三上学期周测5数学试题（2025.8.27）

山西大学附中高中数学（高三一轮） 编号5 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 2.已知空间中两条直线无公共点，则“直线与平面所成的角相等”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.在五一小长假期间，要从5人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则不同的安排方法共有（     ） A．40种 B．60种 C．80种 D．100种 4.在等比数列中，，，则（    ） A．2 B．4 C．5 D．8 5.已知，为锐角，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 6.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表： 亩产量 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（     ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 7.为正实数，且，当取最小值时，的展开式中各项系数的和为（     ） A． B． C． D． 8.已知函数为奇函数，且在区间上有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9.已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（     ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 10.在中，，则（     ） A． B．的面积为8 C． D．的内切圆半径是 11.塌缩函数在神经网络、信号处理和数据压缩等领域经常用到.常见的塌缩函数有，设的值域为，的值域为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．方程的所有实根之和为1 D．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.已知复数为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数 ． 13.已知向量，若，则 . 14.已知，函数，，若函数值域为，则 ． 四、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.(本小题15分) 已知函数． (1)求的极值； (2)求证：． 16. (本小题15分) 已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，.求证：为定值. 17. (本小题17分) 某商场进行周年庆大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏.游戏规则如下：在一个盒子里放着6个大小相同的小正方体，其中有3个A类小正方体，4个面印着奇数，2个面印着偶数；有2个B类小正方体，6个面都印着奇数；1个C类小正方体，6个面都印着偶数. 游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一个小正方体并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是奇数，则进入最终挑战环节，否则游戏结束，不获得任何礼券. 最终挑战的环节是进行第三次投掷，有两个方案可供选择，方案一：继续投掷之前抽取的那枚小正方体，若投掷后向上的面为奇数，则获得200元礼券；方案二：不使用之前抽取的小正方体，从盒子中剩余的5个小正方体里再次随机抽取一个进行投掷，若投掷后向上的面为奇数，则获得300元礼券. 不管选择方案一还是方案二，若投掷后向上的面为偶数，则获得100元礼券. (1)求第一次投掷后向上的面为奇数的概率； (2)若某位顾客抽取一个小正方体后连续投掷两次，向上的面均为奇数，求该小正方体是A类小正方体的概率； (3)在某位顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种投掷方案最终获得的礼券金额的数学期望，并以此判断选择哪种投掷方案更合适. 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中高中数学（高三一轮） 编号5 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形得即可判断焦点坐标. 【详解】，即，则，则其焦点坐标为. 故选：A. 2.已知空间中两条直线，无公共点，则“直线，与平面所成的角相等”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据线面角的概念结合充分条件、必要条件的概念即可得结果. 【详解】如图所示：在正方体中，令直线，，下底面为平面， 显然“直线，与平面所成的角相等”，但是“”不成立； 由线面角的定义可知：若“”，则“直线，与平面所成的角相等”成立； 即“直线，与平面所成的角相等”是“”的必要不充分条件， 故选：B 3.在五一小长假期间，要从5人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则不同的安排方法共有（    ） A．40种 B．60种 C．80种 D．100种 【答案】C 【分析】由题干限制条件得到值班的人数为2或3，据此应用分类加法计数原理，分别计算两种情况. 【详解】根据题意可知，值班的人数为2或3，若人数为2，则需要一个人值班首尾两天，一个人值中间的那一天，安排方法种数为，若人数为3，则每人值一天班，安排方法种数为. 由分类加法计数原理知不同的安排方法共有（种）. 故选C. 4.在等比数列中，，，则（   ） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】D 【分析】利用等比数列的项的性质和通项的基本量运算即得. 【详解】因为等比数列，故，解得， 又，解得， 设数列的公比为，则，故. 故选：D. 5.已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，为锐角，同角三角函数的关系及两角和的正弦公式即可求解． 【详解】因为，为锐角，，， 所以，， 所以， 则 ， 所以， 故选：A． 6.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表： 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 【答案】C 【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D. 【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, , 所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误； 对于B，亩产量不低于的频数为， 所以低于的稻田占比为，故B错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误. 故选；C. 7.为正实数，且，当取最小值时，的展开式中各项系数的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用基本不等式求出取最小值时的值，得出；再利用赋值法，令即可求解. 【详解】由可得：. 因为为正实数， 所以由基本不等式可得： ， 当且仅当，即时等号成立. 所以当取最小值时，. 令，得， 所以当取最小值时，的展开式中各项系数的和为. 故选：C. 8.已知函数为奇函数，且在区间上有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数的性质可求出，对求导，根据极值的定义求出的极小值，要使在区间上有最小值，即的极小值在，解不等式即可. 【详解】因为为奇函数，所以其定义域关于原点对称， 易知，所以，即有，得到， 所以， 函数定义域为, 得到，所以， 故， 有，此时，函数为奇函数， 即，满足题意， 所以，定义域为， 当时，， 函数，在上单调递增， 函数在上单调递减，所以函数在上单调递增； 当时，， ， 由，得到 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以是函数的极小值点，当时，， 结合奇函数的性质，可得函数的大致图象如图， 又在区间上有最小值，所以，解得， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于先求出的解析式，对求导，根据极值的定义求出的极小值，要使在区间上有最小值，即的极小值在，解不等式即可. 二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9.已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（     ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】AC 【分析】根据面面平行的性质判断A；根据线面之间的基本关系判断BCD. 【详解】A：若，，则，故A正确； B：若，，则或或与相交，故B错误； C：若，，则，故C正确； D：若，，则或，故D错误. 故选：AC 10.在中，，则（    ） A． B．的面积为8 C． D．的内切圆半径是 【答案】ABD 【分析】利用余弦定理即可求得，由求，进而得的面积，利用数量积的定义即可判断C，设的内切圆半径为，由即可求解. 【详解】由余弦定理有：， 所以，故A正确； 由，所以，故B正确； ，故C错误； 设的内切圆半径为，则有， 即，故D正确. 故选：ABD. 11.塌缩函数在神经网络、信号处理和数据压缩等领域经常用到.常见的塌缩函数有，设的值域为的值域为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．方程的所有实根之和为1 D．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【分析】根据解析式，结合分式型函数的性质判断、的值域判断A；首先得到，再对其求和判断B；由、都关于对称即可判断C；根据函数的单调性有恒成立，再应用基本不等式求左侧最小值，即可求参数范围判断D. 【详解】对于A，因为， 所以在上为增函数，且的值域为， 又，所以，故正确； 对于B，因为， 所以，故正确； 对于C，因为，所以， 由B知图象关于点对称，又图象也关于点对称， 所以两函数图象的交点也关于点对称， 则方程的所有实根之和为0，故错误； 对于D，易知为增函数， 由题得， 即，而，当且仅当时等号成立， 所以，解得， 综上，实数的取值范围是，故正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：对于C选项，根据函数的图象和的图象关于点对称进行求解. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.已知复数为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数 ． 【答案】 【分析】由复数除法结合纯虚数定义可得答案. 【详解】，因为纯虚数， 则. 故答案为： 13.已知向量，若，则 . 【答案】5 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：,,即,解得. 14.已知，函数，，若函数值域为，则 ． 【答案】或. 【分析】先应用辅助角公式化简函数，再结合角的范围计算值域，再分和分别结合值域计算求出参数即可求解. 【详解】， 因为，所以，， 当时，，所以， 所以，所以； 当时，，所以， 所以，所以； 故答案为：或. 四、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数． (1)求的极值； (2)求证：． 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)证明见解析 【分析】（1）求导可得，求出，分析单调性，进而可得的单调性和极值； （2）要证，即证：当时，，构造函数求导分析单调性可得. 【详解】（1），， 在上恒成立， 为上的增函数． 又，当时，为减函数； 当时，为增函数． 当时，取极小值． （2）要证，即证：当时，； 当时，． 令， 在上恒成立， 为上的增函数． 又，当时，，即； 当时，，即． 当时，显然成立． ． 16.已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，.求证：为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）依据题意列出关于的方程组求出即可得解； （2）依据题意分直线斜率为0时和直线斜率不为0时两种情况结合韦达定理计算分析即可求证. 【详解】（1）由题意可得椭圆焦点在x轴上，且， 所以椭圆的方程为. （2）证明：由题意可知直线斜率存在， 当直线斜率为0时，显然，所以； 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立， 则， 设，则， 所以， 因为， 所以. 综上，为定值0. 17. 某商场进行周年庆大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏.游戏规则如下：在一个盒子里放着6个大小相同的小正方体，其中有3个A类小正方体，4个面印着奇数，2个面印着偶数；有2个B类小正方体，6个面都印着奇数；1个C类小正方体，6个面都印着偶数.游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一个小正方体并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是奇数，则进入最终挑战环节，否则游戏结束，不获得任何礼券.最终挑战的环节是进行第三次投掷，有两个方案可供选择，方案一：继续投掷之前抽取的那枚小正方体，若投掷后向上的面为奇数，则获得200元礼券；方案二：不使用之前抽取的小正方体，从盒子中剩余的5个小正方体里再次随机抽取一个进行投掷，若投掷后向上的面为奇数，则获得300元礼券，不管选择方案一还是方案二､若投掷后向上的面为偶数，则获得100元礼券， (1)求第一次投掷后向上的面为奇数的概率； (2)若某位顾客抽取一个小正方体后连续投掷两次，向上的面均为奇数，求该小正方体是A类小正方体的概率； (3)在某位顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种投掷方案最终获得的礼券金额的数学期望，并以此判断选择哪种投掷方案更合适. 【答案】(1) (2) (3)，，选择方案二更合适 【分析】（1）根据全概率公式，即可求解； （2）利用全概率公式和条件概率公式，即可求解； （3）根据两种不同的方案，结合题意，写出不同的期望，比较后即可判断. 【详解】（1）记事件分别表示第一次抽到A类，B类，C类小正方体， 亊件表示第一次投掷后向上的面为奇数，事件表示第二次投掷后向上的面为奇数. （2）续投掷两次向上的面均为奇数的概率为 故所求概率为 （3）若选择方案一、记事件表示第三次投掷后向上的面为奇数， 设第三次投掷后最终获得的礼券为元， 的可能取值为200，100， 则 ， ， 所以. 若选择方案二、记事件表示第三次投掷后向上的面为奇数， 设第三次投掷后最终获得的礼券为元， 的可能取值为300，100. ①若第一次抽到的是A类小正方体，记事件（）分别表示第二次抽到A类，B类，C类小正方体， 则 ； ②若第一次抽到的是B类小正方体，记事件（）分别表示第二次抽到A类，B类，C类小正方体， 则 所以， 则， 所以， 所以， 则， 所以选择方案二更合适. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，并正确使用条件概率公式和全概率公式，求解概率. 学科网（北京）股份有限公司 $