精品解析：广东深圳市桃源居中澳实验学校2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

2026-2027学年度第一学期 中澳国高港澳台高三开学考试 数学试卷 考试范围：全国联考范围；考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1．答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题6分，共60分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得集合N，然后根据集合的并集概念求得集合. 【详解】解：∵，， ∴. 故选：A. 2. 已知i为虚数单位，复数z满足：z(1-i)=4-3i，则z=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法公式直接化简即可求解. 【详解】由题意可得：． 故选：A 3. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据指数函数的单调性判断与1的大小关系，再由对数函数的单调性判断与0的大小关系，最后判断与0和1的大小关系即可求解. 【详解】解：因为，，， 所以， 故选：C. 4. 已知平面向量，的夹角为，，，则 A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将两边平方，利用向量数量积的运算求解得出数值，然后开方得到结果. 【详解】依题意.故选B. 【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，考查向量模的坐标表示，属于基础题. 5. 以下关于函数的说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用特殊值法可判断ABC选项的正误，利用指数幂的运算性质可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，取，则，， 此时，A选项错误； 对于B选项，取，则，， 此时，B选项错误； 对于C选项，取，则，， 此时，C选项错误； 对于D选项，，D选项正确. 故选：D. 6. 已知函数，则（ ） A. B. C. 8 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据自变量的取值直接代入求解即可. 【详解】因为函数， 则. 故选：A． 【点睛】本题考查了分段函数的求解，考查了指数、对数的运算，属于基础题. 7. 同时抛掷两颗质地均匀的骰子，则两颗骰子出现的点数之和为4的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出抛掷两颗骰子的试验的基本事件总数，再列举出所求概率的事件，利用古典概率公式求解作答. 【详解】依题意，同时抛掷两颗质地均匀的骰子的试验，基本事件有： ， ， ，共36种， 两颗骰子出现的点数之和为4的事件包含的基本事件有：，共3个， 所以两颗骰子出现的点数之和为4的概率是． 故选：B 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用诱导公式以及二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】， 所以， 故选：B 9. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断双曲线的焦点位置，由渐近线方程得到，再求离心率即可. 【详解】因双曲线 的焦点在轴上，由其渐近线方程，可得， 则双曲线的离心率为. 故选：B. 10. 在，，，四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 根据条件结合上凸函数的定义进行判断即可． 【详解】满足为上凸函数，如图： 分别考虑四个函数在上的图象， 可知在四个函数中，只有在上是上凸函数， 故选：B． 【点睛】本题主要考查函数图象的判断，结合上凸函数的定义，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题． 第II卷（非选择题） 二、填空题（每小题6分，共30分） 11. 已知向量，，则_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量，，利用数量积的坐标运算，先求得，再代入公式求解. 【详解】因为向量，， 所以， 所以， 故答案为： 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积坐标运算以及向量的模和夹角的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 12. 已知函数的导函数为，且满足关系式，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求导即得解. 【详解】解：由题得 所以. 故答案为： 13. 已知的展开式中所有项的系数和为32，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】利用赋值法即可求解. 【详解】令可得，解得， 故答案为：3 14. 已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆，若圆锥的表面积为，则该圆锥的体积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】设圆锥母线长为，底面圆半径长，根据圆面积解得，进而求得圆锥的高，即可求解体积. 【详解】设圆锥母线长为，底面圆半径长， 因为侧面展开图是一个半圆，此半圆半径为，半圆弧长为， 所以，即，因为表面积是侧面积与底面积的和， 所以，所以，则圆锥的高， 所以. 故答案为： 15. 已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为，，线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】求出线段的中点坐标，根据两直线垂直斜率关系可得，再结合可求得离心率. 【详解】 如图，设的垂直平分线与交于点， 由题，，，，则， ，， ， ，化简得，， 由，解得， ，即. 故答案为：. 三、解答题（每小题15分，共60分） 16. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：. 【答案】（1）. （2） 证明：由（1）可得为正整数， 所以. 【解析】 【分析】（1）由已知列方程求出公差，可得数列通项； （2）裂项相消法求和得出，由结果证明不等式. 【小问1详解】 设等差数列的公差为. 由题可得，，解得， 所以. 【小问2详解】 略 17. 在中，角所对的边分别是，且. （1）求； （2）若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； （3）若为锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理将等式化简，结合和差倍角的正弦公式即可求得. （2）先用基底向量将表示出，然后两边进行平方，并利用向量数量积的定义求出，最后根据三角形面积公式求出面积. （3）利用正弦定理求出的表达式，然后根据锐角三角形的角的范围求出结果即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 所以， 所以，又因为，所以， 所以，又因为，所以， 所以，故； 【小问2详解】 因为是边上靠近的三等分点， 所以， 所以， 又因为，，， 所以，化简得， 即，解得或（舍去）， 所以； 【小问3详解】 由正弦定理可得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得，· 所以，所以， 所以，所以的取值范围. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的标准方程与焦距； （2）若直线与椭圆交于两点，记线段AB的中点为，证明：． 【答案】（1）椭圆的标准方程为，焦距为； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由已知可得，再由离心率求出a及半焦距c作答. （2）联立直线l与椭圆C的方程，利用韦达定理结合平面向量数量积计算得，再利用直角三角形性质推理作答. 【小问1详解】 因为椭圆经过点，且离心率为，则， ，解得，半焦距， 所以椭圆C的标准方程为，焦距为. 【小问2详解】 由得，设， 则有，而， 因此 ， 于是得，即，而M为直角三角形ABN斜边AB的中点，则， 所以. 19. 已知曲线在处的切线过点. （1）试求的值； （2）讨论的单调性； （3）证明：当时，. 【答案】（1）0； （2） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）证明如下： 由（2）得， 要证明，即证，即证， 令，求导得， 由，得，由，得， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，即恒成立， 所以当时，. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，再代入计算即得. （2）求出函数的导数，再分类讨论求出单调区间. （3）由（2）求出函数的最小值，利用分析法，构造函数并利用导数证明不等式. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而， 因此曲线在处的切线方程为，即， 依题意，，所以则. 【小问2详解】 由（1）知函数，其定义域为，求导得， 当时，在上单调递减； 当时，由，得， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 所以当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期 中澳国高港澳台高三开学考试 数学试卷 考试范围：全国联考范围；考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1．答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题6分，共60分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知i为虚数单位，复数z满足：z(1-i)=4-3i，则z=（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，的夹角为，，，则 A. 4 B. 2 C. D. 5. 以下关于函数的说法正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则（ ） A. B. C. 8 D. 2 7. 同时抛掷两颗质地均匀的骰子，则两颗骰子出现的点数之和为4的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 10. 在，，，四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第II卷（非选择题） 二、填空题（每小题6分，共30分） 11. 已知向量，，则_______________. 12. 已知函数的导函数为，且满足关系式，则______. 13. 已知的展开式中所有项的系数和为32，则______． 14. 已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆，若圆锥的表面积为，则该圆锥的体积为______. 15. 已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为，，线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率为________． 三、解答题（每小题15分，共60分） 16. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：. 17. 在中，角所对的边分别是，且. （1）求； （2）若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； （3）若为锐角三角形，且，求的取值范围. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的标准方程与焦距； （2）若直线与椭圆交于两点，记线段AB的中点为，证明：． 19. 已知曲线在处的切线过点. （1）试求的值； （2）讨论的单调性； （3）证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $