山西大学附属中学校2025-2026学年高三上学期周测4数学试题（2025.8.20）

山西大学附中高中数学（高三一轮） 编号4 一、单选题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则集合的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知直线与，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. -4 B. -16 C. -32 D. -64 6. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则图象的一条对称轴为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，其中为常数，若函数的图象如图所示，则（ ） A. 的图象与坐标轴有三个交点 B. 的图象的对称轴在轴左侧 C. 关于的方程有两个不等实根 D. 在区间上单调递增 8. 已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知复数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 可能为 B. C. 的实部与虚部之积不大于3 D. 在复平面内对应的点可能是 10．已知抛物线上的两点，及抛物线上的动点，直线PA，PB的斜率分别为，，坐标轴原点记为O，下列结论正确的是（    ） A．抛物线的准线方程为 B．当三角形AOB为正三角形时，它的面积为 C．当为定值时，为定值 D．过三点，，的圆的周长大于 11. 设函数的定义域为，且，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则的离心率为________. 13.某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取 100名高中生的身体素质指标值，2，3，，，经计算，．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为 　　．（用百分数作答，精确到 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 14．已知函数，若实数满足，则的最大值为___________. 【答案】## 四、解答题（本题共3小题，共47分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．如图，在三棱柱中，所有的棱长均相等，是的中点，在上底面的投影为的重心． （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的正弦值． 16．在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是动点，且直线与的斜率之积等于. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知直线与椭圆：相交于，两点，与轴交于点，若存在使得，求的取值范围. 17．已知函数，从点作轴的垂线，交的图象于点，过点作曲线的切线交轴于点，再过点作轴的垂线，交的图象于点，重复这一过程，得到两个点列，，，点的坐标记作． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）证明：．(切线不等式) 试卷第12页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中高中数学（高三一轮） 编号4 一、单选题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则集合的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】B 【分析】根据题意结合一元二次不等式求，即可得结果. 【详解】因为集合， 可得， 所以集合的元素个数为4. 故选：B. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【分析】由二倍角公式可得，据此可得答案. 【详解】由，故，. 故选：A． 3. 已知直线与，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由，得到，求解即可判断. 【详解】由，则，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据条件，利用投影向量的定义，即可求解. 【详解】因为，， 所以在上投影向量为, 故选：C 5. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. -4 B. -16 C. -32 D. -64 【答案】D 【分析】用首项和公差表示出已知条件并求解，再由等差数列前项和公式计算. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，解得：，所以， 故选：D 6. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则图象的一条对称轴为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换化简函数得，根据平移得，结合正弦函数的图象求其对称轴即可. 【详解】因， 将其图象向左平移个单位长度后得到函数的图象， 则， 令，解得. 结合选项可知D正确． 故选:D. 7. 已知函数，其中为常数，若函数的图象如图所示，则（ ） A. 的图象与坐标轴有三个交点 B. 的图象的对称轴在轴左侧 C. 关于的方程有两个不等实根 D. 在区间上单调递增 【答案】D 【分析】由指数型函数的性质图象求得参数，根据二次函数的性质，结合相关函数的单调性，逐项检验即得. 【详解】因，函数的图象在上为减函数，则，即得，又图象经过点，即，故得，解得， 于是，，易得该抛物线开口向上，顶点坐标为， 对于A，因函数在上单调递增， 则，即的图象与轴没有交点， 又的图象与轴有唯一交点，即的图象与坐标轴只有一个交点，故A错误； 对于C，关于的方程的实根个数，等于直线与曲线的交点个数， 由A项，因，则直线与曲线的交点个数为0，故C错误； 对于B，的图象的对称轴是直线，在轴右侧，故B错误； 对于D，因的图象对称轴：，在区间上单调递增，故D正确. 故选：D. 8. 已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】构造函数，利用奇函数定义得到是奇函数，求导得到在上单调递减，将原不等式转化为，利用的奇偶性和单调性解不等式. 【详解】设，的定义域为关于原点对称， ，所以是奇函数， ，所以在上单调递减， 由得， 即，， 因为在上单调递减，所以，解得， 故选：C. 二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知复数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 可能为 B. C. 的实部与虚部之积不大于3 D. 在复平面内对应的点可能是 【答案】BCD 【分析】设，可得.对于AD：根据复数的概念和几何意义分析判断即可；对于B：根据共轭复数结合复数乘法运算即可；对于C：利用基本不等式分析判断即可. 【详解】设，则，可得，即. 对于选项A：若，即，不满足，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：因为，即，当且仅当时，等号成立， 所以的实部与虚部之积不大于3，故C正确； 对于选项D：若在复平面内对应的点是，即，满足，故D正确； 故选：BCD. 10．已知抛物线上的两点，及抛物线上的动点，直线PA，PB的斜率分别为，，坐标轴原点记为O，下列结论正确的是（    ） A．抛物线的准线方程为 B．当三角形AOB为正三角形时，它的面积为 C．当为定值时，为定值 D．过三点，，的圆的周长大于 【答案】BCD 【详解】对A，由抛物线知准线方程为，故A错误； 对B，当三角形AOB为正三角形时，不妨设A在第一象限，则，直线方程为，联立，可得，故， 所以，故B正确； 对C，，当为定值时，为定值，故C正确； 对D，因为圆过三点，，，所以可设圆心为，则，平方后可得， 故，因为，所以，即， 故，所以圆的周长，故D正确. 故选：BCD 11. 设函数的定义域为，且，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，利用赋值法推导可得数列的特性，计算判断AB；取，再取，结合奇函数定义判断C；由选项C的结论，结合等差数列求和判断D. 【详解】函数的定义域为，且， 对于AB，取，则， 因此数列是以为首项，公差为1的等差数列，， 则，，AB正确； 对于C，由，得，取，得， 取，得，即，因此，是奇函数，C正确； 对于D，，D错误. 故选：ABC 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则的离心率为________. 【答案】 【分析】根据根据双曲线的定义、标准方程可得离心率. 【详解】因为，解得，故双曲线，所以，所以的离心率. 故答案：. 13.某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取 100名高中生的身体素质指标值，2，3，，，经计算，．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为 　　．（用百分数作答，精确到 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【分析】计算样本的平均数和方差，由此估计，，再结合参考数据求． 【解答】解：因为100个数据，，，，的平均值， 方差， 所以的估计值为，的估计值为． 设该市高中生的身体素质指标值为， 由，得， ， 所以． 故答案为：． 14．已知函数，若实数满足，则的最大值为___________. 【答案】## 【分析】由题知满足任意，都有，进而得，再根据基本不等式求解即可. 【详解】令，因为 所以，函数是上的奇函数， 所以函数关于中心对称， 所以，关于中心对称， 所以，满足任意，都有. 因为， 所以，即. 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 四、解答题（本题共3小题，共47分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．如图，在三棱柱中，所有的棱长均相等，是的中点，在上底面的投影为的重心． （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的正弦值． 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理得，再根据线面垂直的判定定理得平面，最后利用线面垂直的性质定理证明即可. （2）解法一：延长交于点，则为平面与平面的夹角，然后利用直角三角形知识求解，再结合利用诱导公式求解即可； 解法二：建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量法及同角三角函数关系求出正弦值. 【小问1详解】 在上底面的投影为的重心． 平面，平面，， ，， 是等边三角形，是的中点，故， ，平面，平面，平面， 又因为平面，. 【小问2详解】 解法一：延长交于点，如图所示， 由（1）知平面，故为平面与平面的夹角， ，， 设棱长为1，则，为重心，，，， 平面与平面的夹角的正弦值为. 解法二：设，有，，，可求得， 由，，可得， 又由平面，以为坐标原点， ，，分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 有，，，，， 可得，， 设平面的一个法向量为， 有，取，，，可得， 又由平面的一个法向量为，有，，， 有， 故平面与平面的夹角的正弦值为． 16．在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是动点，且直线与的斜率之积等于. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知直线与椭圆：相交于，两点，与轴交于点，若存在使得，求的取值范围. 【解析】(1)设，则， 所以可得动点P的轨迹C的方程为. (2)设又，由得 ， 联立可得， 即，且， 又，则， ， 代入得， ，解得. 的取值范围是 17．已知函数，从点作轴的垂线，交的图象于点，过点作曲线的切线交轴于点，再过点作轴的垂线，交的图象于点，重复这一过程，得到两个点列，，，点的坐标记作． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）证明：．(切线不等式) 【分析】（1）先求切线方程，代入坐标可得，，即，构造等比数列即可求解； （2）由，利用错位相减法和分组求和即可求解； （3）由，得，利用分组求和即可证，又，利用切线不等式，故，即可得证. 【小问1详解】 ，， 记，，， 切线，有， 代入坐标可得，，即，可得， 故为公比为2的等比数列，由于，， 故，得； 【小问2详解】 由， 记，有， 作差有，有， 有， 故； 【小问3详解】 因为， 由于，故，故，右边证毕； 因为，故， 故，又根据切线不等式，故，故有， 综上所述：． 试卷第12页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $