山西省山西大学附属中学校2025-2026学年高三上学期周测3数学试题（2025.8.13）

山西大学附中高中数学（高三一轮） 编号3 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．复数（其中为虚数单位）的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】因为，所以其虚部为．故选：D． 2．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】全称量词命题的否定首先是改量词，把量词“”改为量词“”，不要忘记对结论否定. 【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“，”的否定为“，”故选：B 3．已知空间向量，，若，则的值为（    ） A．1或 B．2或 C．1或 D．2或 【答案】A 【详解】，， ，解得或.故选：A 4．设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（   ） A．49 B．50 C．51 D．52 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组求得的值，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【解】设等差数列的公差为，因为，可得，解得， 所以，所以，所以. 故答案为：C. 5．已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，根据焦点三角形的面积相等列出等式求出即可. 【解】如图，不妨令分别为椭圆的左、右焦点，由，得， 所以，所以． 设的内切圆半径为，点的纵坐标为， 根据面积相等得，所以，解得．故选：C. 6．已知是方程的两个根，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据韦达定理与两角和的正切公式结合求解即可. 【详解】由韦达定理可得，，， 又，故.故选：A 7．已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由棱台的体积公式可得棱台的高，再求棱台的外接球体积即可. 【详解】由题可知，，设棱台高为，则，解得，根据正四棱台的特性，正四棱台的外接球半径即为四边形外接圆半径，又，，所以， 则，所以为直角三角形，故为四边形外接圆直径， 正四棱台的外接球半径，体积.故选：B. 8．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】分析函数的单调性，然后解不等式、，分、两种情况解不等式即可. 【详解】当时，，则函数在上为增函数，且， 由于函数为上的增函数，故函数在上为增函数，且， 当时，由，可得；由，可得； 当时，由，可得；由，可得. 接下来解不等式， 当时，即当时，则可得或，可得； 当时，即当时，则可得或，可得. 综上所述，不等式的解集为.故选：C. 二、多选题 9．已知互不相等的数据，，，，，的平均数为，方差为，则下列选项中正确的是（    ） A．数据，，…，的平均数为 B．数据，，…，的标准差为 C．给原数据增加一个数据，且，若这七个数据的方差为，则 D．给原数据增加一个数据，且，若这七个数据的方差为，则 【答案】AC 【分析】根据平均值的性质求得平均数，然后利用方差的概念求解即可判断各项. 【详解】由题知，，， 所以，的平均数为， 的方差为， 所以数据，，…，的标准差为2s，A正确，B错误； 给原数据增加一个数据，且， 这七个数据的方差为， 故C正确，D错误.故选：AC 10．已知的内角，，的对边分别为，，，且，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】应用二倍角余弦公式及正弦边角关系得，再应用余弦定理、基本不等式求的范围，即可得. 【详解】因为，所以， 由正弦边角关系得，则，当且仅当时等号成立， 故选：ABC 11．若定义在R上的函数，满足，，，则下列结论中正确的是（   ） A．是偶函数 B．是周期为4的周期函数 C． D． 【答案】ABC 【分析】利用与得到，然后利用，得到的周期性，然后得到周期；再利用与得到为偶函数；利用得到，最后利用得到的值即可. 【解】因为，所以．又因为，所以． 又，则，即，所以，故是周期为4的周期函数．因为，所以也是周期为4的周期函数，选项B正确； 因为，则，则，所以，所以为偶函数，选项A正确； 因为，令，得，即， 令，得，即，故，选项C正确； 由，得 ， 所以，选项D错误．故选：ABC． 三、填空题 12．已知集合，，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】化简集合，，根据，分，，讨论，求得的取值范围. 【解】由，，当时，，不满足； 当时，，不满足； 当时， ，因为，所以，故答案为: ． 13．已知直线，直线，设直线与的交点为，点的坐标为，则以AP为直径的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】联立直线得到点的坐标，根据中点坐标公式求出圆心坐标，再利用两点距离公式求出半径，即可写出圆的方程. 【解】联立，得，，又， 所以由中点坐标公式得的中点坐标为，即圆心坐标为， 由两点间距离公式得半径，所以圆的方程为． 故答案为：. 14．由甲、乙、丙组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由其中一人猜一个成语，活动共进行三轮，每人猜一次．已知甲猜对乙未猜对的概率为，乙猜对丙未猜对的概率为，丙和甲都猜对的概率为，在每轮活动中，三人猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙、丙都猜对的概率是 ． 【答案】 【分析】依据对立事件的概率及独立事件性质得到三个人猜对的概率，再得到乙、丙都猜对的概率. 【详解】设事件“甲猜对”，事件“乙猜对”，事件“丙猜对”，由题意，得 ，解得， 故乙、丙都猜对的概率为．故答案为：. 四、解答题 15．已知的内角的对边分别为，且的周长为. (1)求角； (2)若外接圆的面积为，求面积的最大值. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用三角形周长公式和正弦定理表示已知条件，对等式进行变形，根据余弦定理得到，即可求； （2）根据外接圆面积求外接圆半径，利用正弦定理求的值，结合余弦定理和基本不等式求得最大值，进而求得面积的最大值. 【解】（1）的周长为，根据正弦定理，， 依题意，，即，， ，，， 根据余弦定理，，且，故. （2）设外接圆的半径为，依题意，解得， 根据正弦定理，，即， 根据余弦定理，，即，， 根据基本不等式，，当且仅当时取等， 即，解得，当且仅当时取等，因此，面积，当且仅当时取等，综上，当时，面积取最大值. 16．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且，求的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）当时，，求导得，根据导数的几何意义，得到切线方程的斜率，再结合切线方程过定点得到切线方程. （2）根据函数得到函数的定义域为，对求导，讨论a的范围，结合导数判断函数的单调性，确定函数是否存在极小值，结合题给条件得到关于a的不等式，构造关于a的新函数，求导判断函数单调性，解不等式求解. 【详解】（1）因为，所以，求导得 所以，又因为， 故曲线在点处的切线方程为． （2）由函数可知，.求导得：， 当时，因为，所以，此时为单调递增函数，没有极小值，与题意不符； 当时，， 因为，所以当时，，当时，， 所以函数有极小值为． 又，所以，即， 因为，所以． 设，则， 所以在上单调递增， 又，所以的解集为，即的取值范围是． 17.2．某选手参加一项人工智能机器人PK比赛，规则如下：该选手的初始分为20分，每局比赛，该选手胜加10分；平局不得分；负减10分．当选手总分为0分时，挑战失败，比赛终止；当选手总分为30分时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛选手胜、平、负的概率分别为，且各局比赛相互独立. (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在3局后比赛终止的条件下，求选手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，选手每胜1局，获奖5千元．记局后比赛终止且选手获奖1万元的概率为，求的最大值. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）两局后比赛终止有两种情况：先平后胜达到 30 分或两负达到 0 分，利用相互独立事件概率公式计算； （2）先求出 3 局后比赛终止的概率以及 3 局后挑战成功的概率，再利用条件概率公式计算； （3）根据获奖金额确定胜的局数，再结合比赛终止条件得到比赛局数与胜、负局数的关系，从而得出概率表达式，进而求最大值. 【解】（1）设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件， 设“两局后比赛终止”为事件，因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或30分比赛终止． （i）当棋手得分为分，则局均负，即； （ii）当棋手得分为30分，则局先平后胜，即．                 因为、互斥，所以         ．所以两局后比赛终止的概率为． （2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件．因为                            ，                               ．                         所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为．                                     所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为． （3）因为局获奖励万元，说明甲共胜局．                               （i）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜， 且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种，                          （ii）当棋手第局以30分比赛终止，说明前局中有负胜， 且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种，                              则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率 ，．            所以．    因为，所以，  所以，所以单调递减，所以当时，取最大值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中高中数学（高三一轮） 编号3 高中全部 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．复数（其中为虚数单位）的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 2．命题“，”的否定是（    ） A．，B．，C．， D．， 3．已知空间向量，，若，则的值为（    ） A．1或 B．2或 C．1或 D．2或 4．设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（   ） A．49 B．50 C．51 D．52 5．已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 6．已知是方程的两个根，且，则（   ） A． B． C． D． 7．已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 8．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知互不相等的数据，，，，，的平均数为，方差为，则下列选项中正确的是（    ） A．数据，，…，的平均数为 B．数据，，…，的标准差为 C．给原数据增加一个数据，且，若这七个数据的方差为，则 D．给原数据增加一个数据，且，若这七个数据的方差为，则 10．已知的内角，，的对边分别为，，，且，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 11．若定义在R上的函数，满足，，，则下列结论中正确的是（   ） A．是偶函数 B．是周期为4的周期函数 C． D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．已知集合，，若，则实数的取值范围为 ． 13．已知直线，直线，设直线与的交点为，点的坐标为，则以AP为直径的圆的方程为 ． 14．由甲、乙、丙组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由其中一人猜一个成语，活动共进行三轮，每人猜一次．已知甲猜对乙未猜对的概率为，乙猜对丙未猜对的概率为，丙和甲都猜对的概率为，在每轮活动中，三人猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙、丙都猜对的概率是 ． 四、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．已知的内角的对边分别为，且的周长为. (1)求角； (2)若外接圆的面积为，求面积的最大值. 16．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且，求的取值范围． 17．某选手参加一项人工智能机器人PK比赛，规则如下：该选手的初始分为20分，每局比赛，该选手胜加10分；平局不得分；负减10分．当选手总分为0分时，挑战失败，比赛终止；当选手总分为30分时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛选手胜、平、负的概率分别为，且各局比赛相互独立. (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在3局后比赛终止的条件下，求选手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，选手每胜1局，获奖5千元．记局后比赛终止且选手获奖1万元的概率为，求. 学科网（北京）股份有限公司 $