精品解析：河南省洛阳市西工区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年河南省洛阳市西工区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； C、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； D、图形是中心对称图形，符合题意，选项正确； 故选：D． 2. 在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：A． 3. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】根据二次函数的定义，可得答案． 解：A．是二次函数，故本选项符合题意； B．是二次函数，故本选项不符合题意； C．是一次函数，故本选项不符合题意； D．右边是分式，不是整式，y不是x的二次函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如（a．b．c为常数，）的函数，叫二次函数． 4. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据各选项图象判断的取值范围求解即可得到答案． 【详解】解：A.由直线可知，由抛物线开口向上，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意； B.由直线可知，由抛物线开口向下，，故选项不符合题意； C.由直线可知，由抛物线开口向上，，故选项不符合题意； D. 由直线可知，由抛物线开口向下，，抛物线与轴的交点得出，故选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的性质，解题的关键是掌握函数图象与系数的关系． 5. 已知拋物线的图象经过，四个点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由条件可知抛物线与x轴两个交点为，开口向上，据此判定即可． 【详解】解：由条件可知抛物线与x轴两个交点为，开口向上， ∴当时，，当或时，， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 6. 平面直角坐标系内一点P（－2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ） A. （3，2） B. （－2，－3） C. （2，－3） D. （2，3） 【答案】C 【解析】 【分析】】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】解：点P（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3） 故选：C． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 7. 某商场销售一款恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款恤获利8450元，设每件降低元，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当每件降低元时，每件的销售利润为元，平均每周可售出件，利用每周销售该款恤获得的总利润每件的销售利润每周的销售量，可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：当每件降低元时，每件的销售利润为元，平均每周可售出件， 根据题意得：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8. 著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥窖数语，把图形之妙趣说的淋漓尽致．如图是二次函数的图象，那么无论为何值，函数值恒为正的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象在x轴上方，可得抛物线开口向上，与x轴无交点，即可判断 ． 【详解】解：二次函数的图象在x轴上方， 抛物线开口向上，与x轴无交点， 即，， 解得， 故选：C． 9. 如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，分别过A，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质得出，即可解决问题． 【详解】解：分别过点A和点作轴的垂线，垂足分别为和， 将A，两点的横坐标代入函数解析式得， 点坐标为，点坐标为， ∴，，，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 10. 如图，平面直角坐标系中，，，，将绕点顺时针旋转，每秒旋转，则第秒旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化—旋转及点的坐标变化规律，能由所给旋转方式得出第秒旋转结束时点的位置，与第秒旋转结束时点的位置相同是解题的关键，根据所给旋转方式可知每旋转8次，点的坐标重复出现，再根据平移的性质求出点旋转后的坐标即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴每旋转8次，点的坐标重复出现， ∵，， ∴点绕点顺时针旋转， ∵， ∴将点向右平移1个单位至坐标系原点位置时，点坐标为， ∴旋转秒旋转后点的坐标为， ∴平移回坐标系后，点点的坐标为， 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若方程是一元二次方程，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，先把方程化为一般式，再根据二次项系数不为0进行求解即可． 【详解】解：∵方程，即是一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 两位同学分别说出了一条二次函数的图象与性质，小明：抛物线开口向上：小智：抛物线对称轴是直线；请你写出一个符合，上述条件的二次函数表达式：______． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题主要考查二次 函数的图象和性质，此题是开放题，解题的关键是熟知二次函数的性质．由开口向上，可知，对称轴是直线，可得， 【详解】解：设二次函数表达式为， 二次函数的图象开口向上， ， 对称轴为直线， ， 符合上述条件的二次函数表达式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值是__________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值等知识点，掌握一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于是解题的关键．根据根与系数的关系和一元二次方程的解可得出，，再整体代入即可解答． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ，， ∴， ∴． 故答案为：0． 14. 如图，将绕点A逆时针旋转角得到，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数是______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】先求出，由旋转的性质，得到，，则，即可求出旋转角的度数． 【详解】解：根据题意， ∵， ∴， 由旋转的性质，则，， ∴， ∴； ∴旋转角的度数是50°； 故答案为：50°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质进行计算． 15. 如图，边长为8的等边三角形中，E是对称轴上的一个动点，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，则在点E运动过程中，的最小值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 连接，判定≌，即可得到，进而得出点F的运动轨迹为直线，依据当时，最短，即可得到的最小值是2． 【详解】解：如图，连接， 由旋转可得，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵边长为8的等边三角形中，E是对称轴上的一个动点， ∴，， ∴， 即点F的运动轨迹为直线， ∴当时，最短， 此时， ∴的最小值是2． 故答案为：2． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】此题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是关键． （1）变形后利用因式分解法解方程即可； （2）化为一般形式后利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ∴， 则， ∵， ∴， 即． 17. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： （1）请直接判断下列方程，哪些是“勾系一元二次方程”？ ①； ②； ③； ④． （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根． 【答案】（1）①③是“勾系一元二次方程”；②④不是“勾系一元二次方程”； （2） 证明：对于关于x的“勾系一元二次方程”， 判别式为：， ， ， 判别式， 关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根． 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理，一元二次方程根的判别式，理解勾系一元二次方程”的定义，熟练掌握勾股定理，一元二次方程根的判别式是解决问题问题的关键． （1）①对于方程，，，，则，由此得，据此可对该方程进行判断； ②对于方程，，，，则，由此得，据此可对该方程进行判断； ③对于方程，，，，则，由此得，据此可对该方程进行判断； ④对于方程，，，，则，由此得，据此可对该方程进行判断；综上所述即可得出答案； （2）根据判别式为，得，据此即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意，可知a，b，c是和边长，， ， ①对于方程，，，， ， ，， ， 方程是“勾系一元二次方程”； ②对于方程，，，， ， ，， ， 方程不是“勾系一元二次方程”； ③对于方程，，，， ， ，， ， 方程是“勾系一元二次方程”； ④对于方程，，，， ， ，， ， 方程不是“勾系一元二次方程”， 综上所述：①③是“勾系一元二次方程”；②④不是“勾系一元二次方程”； 【小问2详解】 略 18. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长均为1个单位长度，和的顶点均在格点上． （1）画出关于原点O对称的； （2）将绕点E顺时针旋转得到，画出； （3）若是由绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为          ． 【答案】（1） 解：如图； （2） 解：如图 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作关于原点对称的图形，旋转作图，确定旋转中心， （1）根据旋转画出图形即可； （2）根据旋转画出图形即可； （3）根据旋转中旋转中心点到对应点的距离相等的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图； 是由绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为． 19. 如图，直线的解析式为，且与抛物线相交于B，C两点． （1）求点B与点C的坐标； （2）若抛物线上有一点D，使得，求出点D的坐标； （3）点在直线上，点在抛物线上，若，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 （3）m的取值范围为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，三角形面积，数形结合是解题的关键． （1）通过解方程组即可求得B、C点坐标； （2）先计算出，则，设，利用三角形面积公式得到，然后解方程求出t，从而得到D点坐标． （3）结合函数图象，写出直线AB在抛物线上方所对应的自变量的范围即可． 【小问1详解】 解：∵直线的解析式为，且与抛物线相交于B，C两点， ∴联立， 解得：或， ，； 【小问2详解】 解：令，则，解得， ， ， ∵， ， 设， ，解得， 或； 【小问3详解】 解：点在直线上，点在抛物线上， 若， 由图象可知，m的取值范围为． 20. 阅读： 砸沙包游戏：通常涉及两组玩家，一组负责扔沙包，另一组负责躲避沙包．游戏规则如下： 扔沙包：扔沙包的玩家轮流将沙包从肩上方投出，试图击中躲沙包的玩家． 躲避：躲沙包的玩家需要躲避沙包，如果被沙包击中，则退出游戏；如果接住沙包，则可以多一条命或让本方被击中的玩家“复活”． 注：扔沙包时可有进攻和防守两种选择，若进攻，沙包的运行路线可近似看作是一条直线；若防守，可将沙包高抛给另一名同组玩家伺机进攻，这时沙包的运行路线可近似看作是一条抛物线． 小明、小亮和小红玩砸沙包游戏，小明和小亮扔沙包，小红接沙包．如图，以地面为x轴，以小明站立的位置为y轴建立平面直角坐标系，小明一开始准备进行防守，他跳起在处高抛，将沙包传给小亮，小亮在横坐标为7的B处接到沙包．其运行路线可以看作是抛物线的一部分． （1）求抛物线的表达式和点B的坐标； （2）小红在小明和小亮之间运动，选择合适的方式躲避沙包和接住沙包，已知小红跳起后的最大高度为，请求出小红接住沙包的运动范围． 【答案】（1）抛物线的表达式为，点B的坐标为； （2）小红接住沙包的运动范围为： 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）把点A的坐标代入所给的抛物线解析式中，可求得a的值，取，求得y的值即为点B的坐标； （2）取，求得相应的x的值，结合函数图象及小红的运动范围可得小红接住沙包的运动范围． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点， ， 解得：， ， 当时，， 点B的坐标为：； 【小问2详解】 解：当时，， 整理得：， ∴或， ，， 小红在小明和小亮之间运动， 小红接住沙包的运动范围为： 21. 学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自行车车棚，如图所示，一边借助体育馆的外墙，可利用墙长为25米，其余部分用总长36米的铝合金材料围成，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）． （1）设自行车车棚的面积为平方米，车棚的宽度为米，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）若车棚面积需达到108平方米，求此时自行车车棚的长和宽； （3）学校在规划自行车车棚时，考虑到体育馆旁的空间利用以及未来的使用便捷性，经过测量与讨论，发现当车棚的宽度为8米时，既能最大程度契合现有的场地条件，又能满足预期的停车及充电区域划分需求．已知此时停车区的宽度（）是充电区宽度（）的倍，停车区和充电区的面积各是多少？ 【答案】（1）S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围 （2）自行车车棚的长为，宽为． （3）停车区面积为，充电区的面积是． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，理解题意、找到等量关系、列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据已知条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左中右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚铝合金材料总长减去三条宽边长即可解答； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，再检验即可； （3）根据车棚的宽度为8米，求解，再根据停车区的宽度（）是充电区宽度（）的倍，求解即可解答． 【小问1详解】 解：∵车棚宽度为， ∴， ∴． 由， 解得：． ∴S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴， ． 答：自行车车棚的长为，宽为． 【小问3详解】 解：∵车棚的宽度为， ∴， ∵此时停车区的宽度（）是充电区宽度（）的倍， ∴，， ∴停车区面积为，充电区的面积是． 22. 在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）； 画出函数图象，如图， （3）或 【解析】 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解； （3）分四种情况解答，即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为； 【小问3详解】 解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线， 当，即时， 最大值在，最小值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 当，即时， 当平移后抛物线的对称轴在y轴和直线左侧时，此时最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）； 当，即时，此时最小值为，， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）， 当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，，即， 最小值在，最大值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 综上所述，n的值为或． 23. 我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可以达到解一题知一类的目的，下面是一个案例： （1）如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，求证：，试说明理由． 【思路梳理】 ∵ ∴把绕点逆时针旋转至，可使与重合． ∵ ∴，点、、共线． 根据________，易证________，得． 请根据以上思路，写出完整证明过程． （2）【类比引申】 如图2，四边形中，，，点，分别在边，上，，若、都不是直角，则当与满足等量关系________时，仍有，试说明理由． （3）【联想拓展】 如图3，在中，，，点，均在边上，且，若，，求的长． 【答案】（1）；，过程如下： 证明： 把绕点逆时针旋转至，可使与重合 ，点、、共线． 则，， 在和中 ． （2） 解：当时，；理由如下： 把绕点逆时针旋转至，可使与重合．如图2所示， ，， ， ，点、、共线 在和中 故答案为：． （3） 【解析】 【分析】（1）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，根据旋转的性质可得，，，结合角的等量代换可得，可证，从而得到，即可得； （2）当时，同（1）证法类似得，从而得到，即可得； （3）将绕点旋转到的位置，连接，同（1）证法类似得，从而得到，推出是直角三角形，利用勾股定理，得到，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：将绕点旋转到的位置，连接，如图3， 则 ， 又 在和中 又中，， 将绕点旋转到的位置 是直角三角形 ， ， 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等，熟练掌握以上知识点并读懂题目所给思路是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年河南省洛阳市西工区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 5. 已知拋物线的图象经过，四个点，则（ ） A. B. C. D. 6. 平面直角坐标系内一点P（－2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ） A. （3，2） B. （－2，－3） C. （2，－3） D. （2，3） 7. 某商场销售一款恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款恤获利8450元，设每件降低元，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 8. 著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥窖数语，把图形之妙趣说的淋漓尽致．如图是二次函数的图象，那么无论为何值，函数值恒为正的条件是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，平面直角坐标系中，，，，将绕点顺时针旋转，每秒旋转，则第秒旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若方程是一元二次方程，则k的取值范围是______． 12. 两位同学分别说出了一条二次函数的图象与性质，小明：抛物线开口向上：小智：抛物线对称轴是直线；请你写出一个符合，上述条件的二次函数表达式：______． 13. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值是__________． 14. 如图，将绕点A逆时针旋转角得到，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数是______． 15. 如图，边长为8的等边三角形中，E是对称轴上的一个动点，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，则在点E运动过程中，的最小值是______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解一元二次方程： （1） （2） 17. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： （1）请直接判断下列方程，哪些是“勾系一元二次方程”？ ①； ②； ③； ④． （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根． 18. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长均为1个单位长度，和的顶点均在格点上． （1）画出关于原点O对称的； （2）将绕点E顺时针旋转得到，画出； （3）若是由绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为          ． 19. 如图，直线的解析式为，且与抛物线相交于B，C两点． （1）求点B与点C的坐标； （2）若抛物线上有一点D，使得，求出点D的坐标； （3）点在直线上，点在抛物线上，若，直接写出m的取值范围． 20. 阅读： 砸沙包游戏：通常涉及两组玩家，一组负责扔沙包，另一组负责躲避沙包．游戏规则如下： 扔沙包：扔沙包的玩家轮流将沙包从肩上方投出，试图击中躲沙包的玩家． 躲避：躲沙包的玩家需要躲避沙包，如果被沙包击中，则退出游戏；如果接住沙包，则可以多一条命或让本方被击中的玩家“复活”． 注：扔沙包时可有进攻和防守两种选择，若进攻，沙包的运行路线可近似看作是一条直线；若防守，可将沙包高抛给另一名同组玩家伺机进攻，这时沙包的运行路线可近似看作是一条抛物线． 小明、小亮和小红玩砸沙包游戏，小明和小亮扔沙包，小红接沙包．如图，以地面为x轴，以小明站立的位置为y轴建立平面直角坐标系，小明一开始准备进行防守，他跳起在处高抛，将沙包传给小亮，小亮在横坐标为7的B处接到沙包．其运行路线可以看作是抛物线的一部分． （1）求抛物线的表达式和点B的坐标； （2）小红在小明和小亮之间运动，选择合适的方式躲避沙包和接住沙包，已知小红跳起后的最大高度为，请求出小红接住沙包的运动范围． 21. 学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自行车车棚，如图所示，一边借助体育馆的外墙，可利用墙长为25米，其余部分用总长36米的铝合金材料围成，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）． （1）设自行车车棚的面积为平方米，车棚的宽度为米，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）若车棚面积需达到108平方米，求此时自行车车棚的长和宽； （3）学校在规划自行车车棚时，考虑到体育馆旁的空间利用以及未来的使用便捷性，经过测量与讨论，发现当车棚的宽度为8米时，既能最大程度契合现有的场地条件，又能满足预期的停车及充电区域划分需求．已知此时停车区的宽度（）是充电区宽度（）的倍，停车区和充电区的面积各是多少？ 22. 在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 23. 我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可以达到解一题知一类的目的，下面是一个案例： （1）如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，求证：，试说明理由． 【思路梳理】 ∵ ∴把绕点逆时针旋转至，可使与重合． ∵ ∴，点、、共线． 根据________，易证________，得． 请根据以上思路，写出完整证明过程． （2）【类比引申】 如图2，四边形中，，，点，分别在边，上，，若、都不是直角，则当与满足等量关系________时，仍有，试说明理由． （3）【联想拓展】 如图3，在中，，，点，均在边上，且，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $