精品解析：河南省南阳市社旗县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年秋期九年级期中教学质量评估试卷 数 学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 2. 计算：（ ） A. 6 B. C. D. 1 3. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 把多项式进行配方，结果为（ ） A. B. C. D. 5. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为 ，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将以点O为位似中心放大后得到，则与的周长之比是（ ） A. B. C. D. 9. 如图①：是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图：．拉杆，米，则两梯杆跨度之间距离为（ ） A. 2米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则的值为________． 12. 某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是___________． 13. 如图是某花架及其侧面示意图，已知，，，则的长为___________． 14. 如图，在中，，，垂足为，如果，，那么___________． 15. 如图，在中，，，点在直线上，，过点作交直线于点，连接，点是线段的中点，连接，则的长为______ ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算 （1）计算： （2）计算： 17. 现有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在长方形木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． （1）木板截出的正方形木板A的边长为_________，B的边长为__________； （2）求木板中剩余部分（阴影部分）的面积． 18. 下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解： 第一步 第二步 第三步 ， 第四步 任务： （1）①解一元二次方程的基本思想是___________．（填“降次”或“消元”） ②小明解方程的过程从第___________步开始出现错误，错误原因是___________． （2）请你用和小明不同的方法解该方程． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）从1，2，3三个数中，选择一个合适的数作为a的值，要使这个方程有实数根，并解此方程． （2）若这个方程无实数根，求a的取值范围． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的； （2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的； （3）若中边上一点D的坐标为，是点D在的位似上的对应点，请直接写出点的坐标． 21. 汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度． 22. 综合与实践 问题情境 小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下： 售价（元/盆） 日销售量（盆） A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38 数据整理 （1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中： 售价（元/盆） 日销售量（盆） 模型建立 （2）分析数据的变化规律，找出日销售量Q与售价a之间的关系； 拓广应用 （3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉时，要想每天获得400元的利润，应如何定价？ 23. 某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： （1）如图1，在正方形中，点分别是上的两点，连接，且，则的值为___________； （2）如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，且，求的值； （3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期九年级期中教学质量评估试卷 数 学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围，进而选出正确选项． 【详解】解：要使在实数范围内有意义， 需满足被开方数， 解得． ∴符合． 故选：D． 2. 计算：（ ） A. 6 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查二次根式的运算，解题关键在于掌握运算法则， 通过直接计算每个选项，判断其正确性即可． 【详解】解： A：，故本选项不符合题意， B：，故本选项不符合题意， C：与不是同类二次根式，没法合并，故本选项符合题意， D：，故本选项不符合题意， 故选：C． 4. 把多项式进行配方，结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式，利用添项法，先加上一次项系数一半的平方使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 根据利用完全平方公式的特征求解即可； 【详解】解： 故选B． 5. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】解：，， ， ， ， ∵动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：B． 6. 如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为 ，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在几何图形面积问题中的应用，解题的关键是根据花卉带宽度相同的条件，正确表示出中间草坪的长和宽，再结合草坪面积与总面积的关系列出方程． 确定矩形总面积：矩形地面长、宽总面积为分析草坪的长和宽：花卉带宽度为且在四周，因此草坪的长需减去左右两侧花卉带宽度（共即草坪的宽需减去上下两侧花卉带宽度（共即列面积关系方程：草坪面积为且等于总面积的，由此确定方程形式． 【详解】解：根据题意，矩形地面的总面积为，草坪面积为总面积的，即草坪面积为． ∵花卉带宽度为，且分布在矩形四周， ∴中间草坪的长应等于原矩形的长减去左右两侧花卉带的总宽度（每侧宽即 草坪的宽应等于原矩形的宽减去上下两侧花卉带的总宽度（每侧宽即． 因此，草坪的面积可表示为结合面积关系可列方程： 故选：D． 7. 如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 8. 如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将以点O为位似中心放大后得到，则与的周长之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，正确得到以点O为位似中心放大2倍后得到是解题的关键； 根据题意可得以点O为位似中心放大2倍后得到，再根据位似图形的性质求解即可. 【详解】解：根据题意可得：以点O为位似中心放大2倍后得到， ∵， ∴与的周长之比是； 故选：B. 9. 如图①：是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图：．拉杆，米，则两梯杆跨度之间距离为（ ） A. 2米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据相似三角形的判定和性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，米， ∴， ∴， 即两梯杆跨度、之间距离为米， 故选：B． 10. 将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由折叠可得：，，则，那么，继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可． 【详解】解：由折叠可得：，， ∴，故A正确，不符合题意； ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，， ∴，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵， ∴，，， ∴，故D错误，符合题意， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要查了比例的性质．根据比例的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：4 12. 某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，设月平均增长率为x，根据月平均增长率相同，表示出二月份和三月份的产量，再根据第一季度总产量列出方程即可． 【详解】解：设月平均增长率为x，则二月份产量为吨，三月份产量为吨， 则由题意得：， 故答案为：． 13. 如图是某花架及其侧面示意图，已知，，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握定理， 根据，列出，求出的长即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，垂足为，如果，，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴， ，即， ，， ， ． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，点在直线上，，过点作交直线于点，连接，点是线段的中点，连接，则的长为______ ． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况当在延长线上和当在上讨论，画出图形，连接，过点作于，利用勾股定理解题即可 【详解】解：当在线段上时，连接，过点作于， 当在线段上时， ， ， ， ， 点是线段的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当在延长线上时，则， 是线段的中点，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算 （1）计算： （2）计算： 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算， （1）根据二次根式的运算法则计算即可； （2）根据二次根式的运算法则及零指数幂计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 现有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在长方形木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． （1）木板截出的正方形木板A的边长为_________，B的边长为__________； （2）求木板中剩余部分（阴影部分）的面积． 【答案】（1）， （2）木板中剩余部分（阴影部分）的面积为 【解析】 【分析】本题主要考查了图形面积和二次根式计算的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行列式、求解． （1）运用正方形的面积公式和二次根式知识进行求解； （2）运用长方形的面积公式和二次根式知识进行求解． 【小问1详解】 解：在长方形木板上截出两个面积分别为和的正方形木板，， 正方形木板的边长为，的边长为， ，， 正方形木板的边长为，的边长为． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：根据题意得， ， 木板中剩余部分（阴影部分）的面积是． 18. 下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解： 第一步 第二步 第三步 ， 第四步 任务： （1）①解一元二次方程的基本思想是___________．（填“降次”或“消元”） ②小明解方程的过程从第___________步开始出现错误，错误原因是___________． （2）请你用和小明不同的方法解该方程． 【答案】（1）①降次；②二；等式右边未加1 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤； （1）根据配方法的步骤得到答案即可； （2）运用因式分解的方法解方程即可； 【小问1详解】 解：①解一元二次方程的基本思想是降次． ②小明解方程的过程从第二步开始出现错误，错误原因是等式右边未加1． 【小问2详解】 解：， ， 或， ． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）从1，2，3三个数中，选择一个合适的数作为a的值，要使这个方程有实数根，并解此方程． （2）若这个方程无实数根，求a的取值范围． 【答案】（1）当时，，（答案不唯一）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解题关键是熟练掌握利用判别式判断一元二次方程根与系数的关系． （1）根据一元二次方程有实数根得到判别式大于等于0，从而列出关于的不等式，求出的取值范围，然后再从已知的三个数中选择符合条件的数，最后解方程即可； （2）根据一元二次方程无实数根得到判别式小于0，从而列出关于的不等式，求出的取值范围． 【小问1详解】 解：若关于的一元二次方程有实数根， ∴， ， ， ， 当或1时，这个方程有实数根， 当时，原方程为：， ， 或， ∴，； 当时，原方程为：， ， 解得，． 【小问2详解】 解：若关于的一元二次方程无实数根， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的； （2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的； （3）若中边上一点D的坐标为，是点D在的位似上的对应点，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） 如图所示， 为所求． （2） 如图所示，为所求． （3） 【解析】 【分析】（1）先画出点O，A，B关于y轴的对称点，再依次连接即可； （2）先得出原点O为位似中心，在y轴的右侧画出将放大为原来的2倍的对应点坐标，再描述对应点，最后连线即可； （3）根据位似的性质得出点的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 【小问3详解】 解：∵， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和位似图形，解题的关键是掌握关于作轴对称图形和位似图形的方法和步骤． 21. 汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质．首先过点作于点，交于点，根据、的关系和的长度求出的长度，再根据四边形是矩形可知，从而可得，利用相似三角形对应边成比例可以求出的长度． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点． ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：汽车盲区的长度为． 22. 综合与实践 问题情境 小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下： 售价（元/盆） 日销售量（盆） A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38 数据整理 （1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中： 售价（元/盆） 日销售量（盆） 模型建立 （2）分析数据的变化规律，找出日销售量Q与售价a之间的关系； 拓广应用 （3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉时，要想每天获得400元的利润，应如何定价？ 【答案】（1）见解析；（2）；（3）要想每天获得元的利润，定价为元或元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程和一次函数的实际应用． （1）根据销售单价从小到大对应排列即可； （2）观察表格可知销售量是售价的一次函数，设关系式为，把，代入求出完整解析式即可； （3）设定价为元，根据每天获得元的利润、（2）中日销售量与售价间的关系，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）根据销售单价从小到大对应排列得下表： 售价（元/盆） 日销售量（盆） （2）观察表格可知销售量是售价的一次函数； 设销售量为盆，售价为元，， 把，代入得：， 解得：， ∴； （3）设定价为元， ∵每天获得元的利润， ∴， 解得：或， ∴要想每天获得元的利润，定价为元或元． 23. 某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： （1）如图1，在正方形中，点分别是上的两点，连接，且，则的值为___________； （2）如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，且，求的值； （3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：． 【答案】（1）1 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）首先根据正方形的性质得到，，然后证明出，根据可得，由此可得得到，即可得到； （2）根据矩形的性质可得，再根据同角的余角相等可得.进而可得，由此可以求出的值． （3）过点F作，则可得四边形是矩形，根据“同角的余角相等”和“对顶角相等”可得，由此可证，进而可求出，即． 【小问1详解】 解：设与的交点为G， ∵四边形是正方形， ，， ， ， ，， ． 在和中 ， ， ， ， 故答案为：1； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ，， ， ， ∴， ， ∴． 【小问3详解】 证明：如图，过点F作， ∴， ， ∴四边形是矩形, ，， 又， ， ∴, ， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握“十字架”模型的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $