精品解析：河南省南阳市社旗县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024年秋期九年级期中教学质量评估试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 计算的结果是（ ） A. 9 B. 3 C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. B. 2024 C. D. 1 4. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丁 C. 甲和丙 D. 甲和丁 6. 若是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 3或 B. 或9 C. 3或 D. 或6 7. 如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，DEBC，若△ADE 与△ABC的面积比是 ，则下列关系式中正确的是（ ） A. AD：DB=2：1 B. AD：AB=1： C. S△ADE ：S梯形DBCE=1：2 D. DE：BC=1：2 10. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个二次根式，使它与是同类二次根式．你写的这个二次根式是：________． 12. 如图，点F为平行四边形的边的中点，连接并延长交的延长线于点E，交于点O，的值为________． 13. 已知m是方程的一个根，则的值为___________． 14. 某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元．调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，________．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？根据下面的解题过程，上面横线处空缺的条件应是________________． 解：设每台冰箱降价x元，根据题意，得： ． 15. 如图，在平行四边形中，，E、F分别是边上的动点，且．当的值最小时，则_____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）计算： 17. 小颖、小明、小亮在解方程时，解法各不相同，请你回答下列问题： （1）简要分析一下三位同学的解法是否正确．如果正确，他运用了哪种解一元二次方程的方法；如果错误，错误的原因是什么？ 小颖 由方程，得， 因此，，， 所以这个数是0或3． 小明 方程两边同时约去x，得； 所以这个数是3． 小亮 由方程，得， 即．于是，或． 因此，， 所以这个数是0或3． （2）请你选择一种你熟练的方法解一元二次方程． 18. 已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，，都是整数，求的值． 19. 将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中的所有点、线都在同一平面内），请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并说明它们相似的理由． 20. 小丽想用一块面积为400平方厘米的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300平方厘米的长方形纸片，使它的长宽之比为．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？说明理由． 21. 【教材呈现】 下面是华师版九年级上册数学教材第76页的部分内容． 如图，E是矩形的边上的一点，于点F，，，，证明，并计算点A到直线的距离． 请你结合图①，完成解答过程． 【拓展应用】 在图①的基础上，延长线段交边于点G，如图②，则的长为________． 22. 如图，在中，，，．线段所在直线以每秒2个单位的速度沿与其垂直的方向向上平行移动． （1）当线段所在直线运动到的中点D时，该直线交于点E，此时的周长为________； （2）记运动时间为x秒时，该直线在内的部分的长度为y，求出y关于x的函数关系式，并在平面直角坐标系中画出这一函数的图象． 23. 在中，，，． （1）问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； （2）类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； （3）迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋期九年级期中教学质量评估试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 计算的结果是（ ） A. 9 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，直接利用二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简及加减运算．根据二次根式的化简及加减运算即可求解． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能进行运算，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. B. 2024 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键． 用配方法把移项，配方，化为，即可． 【详解】解：∵， 移项得，， 配方得，， 即， ∴，， ∴． 故选：D． 4. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断． 【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意； B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意； C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意； D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意； 故选：D． 5. 下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丁 C. 甲和丙 D. 甲和丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形． 故选D． 6. 若是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 3或 B. 或9 C. 3或 D. 或6 【答案】A 【解析】 【分析】结合根与系数的关系以及解出方程进行分类讨论即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ,则两根为：3或-1， 当时，， 当时，， 故选：A． 【点睛】此题考查了根与系数的关系以及解二元一次方程，正确解出方程进行分类讨论是解题的关键． 7. 如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质得到对应边成比例，列出等式后求解即可． 【详解】解：由题可知，， ∴, ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与应用，解决本题的关键是能读懂题意，建立相似关系，得到对应边成比例，完成求解即可，本题较基础，考查了学生对相似的理解与应用等． 8. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 9. 如图，在△ABC中，DEBC，若△ADE 与△ABC的面积比是 ，则下列关系式中正确的是（ ） A. AD：DB=2：1 B. AD：AB=1： C. S△ADE ：S梯形DBCE=1：2 D. DE：BC=1：2 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理和性质定理进行判断即可． 【详解】∵DEBC， ， , ∵△ADE 与△ABC的面积比是 ， ∴△ADE 与△ABC的相似比是，△ADE 与梯形DBCE的面积比是， ， ， ∴B选项符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理和性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 10. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个二次根式，使它与是同类二次根式．你写的这个二次根式是：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式．根据被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式，进行作答即可． 【详解】解：； 故与是同类二次根式的一个二次根式可以为； 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，点F为平行四边形的边的中点，连接并延长交的延长线于点E，交于点O，的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定．根据平行四边形的性质可得，，，再根据中点定义可得，然后证明，可得，再说明，据此计算可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∵点F是的中点， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 13. 已知m是方程的一个根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴ ， 故答案为：． 14. 某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元．调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，________．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？根据下面的解题过程，上面横线处空缺的条件应是________________． 解：设每台冰箱降价x元，根据题意，得： ． 【答案】平均每天就能多售出4台 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题抽象出一元二次方程的知识．根据利润销售量单位利润，设每台冰箱的定价元时，这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，再根据“当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台”列方程即可． 【详解】解：设每台冰箱定价元， 由题意得： ， 故答案为：平均每天就能多售出4台． 15. 如图，在平行四边形中，，E、F分别是边上的动点，且．当的值最小时，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质．延长，截取，连接，，证明，得出，说明当最小时，最小，根据两点之间线段最短，得出当A、E、G三点共线时，最小，即最小，再证明，根据相似三角形的性质，求出结果即可． 【详解】解：延长，截取，连接，，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）计算： 【答案】（1）9；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）根据二次根式的乘法，零次幂，计算求值即可； （2）利用多项式乘多项式计算求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 小颖、小明、小亮在解方程时，解法各不相同，请你回答下列问题： （1）简要分析一下三位同学的解法是否正确．如果正确，他运用了哪种解一元二次方程的方法；如果错误，错误的原因是什么？ 小颖 由方程，得， 因此，，， 所以这个数是0或3． 小明 方程两边同时约去x，得； 所以这个数是3． 小亮 由方程，得， 即．于是，或． 因此，， 所以这个数是0或3． （2）请你选择一种你熟练的方法解一元二次方程． 【答案】（1）小颖和小明的解法正确；小亮的解法错误．小亮的错误是方程两边约去，不符合等式的性质3 （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的各种解法，以及各种方法的依据，深入理解解方程的方法并加以灵活运用是解答关键． （1）根据解一元二次方程的方法以及每种方法的理论依据去判断即可；解一元二次方程的主要数学思想是降次，转化为一元一次方程． （2）选择合适的方法解答即可，根据题目形式，最合适的方法是移项之后用因式分解法． 【小问1详解】 解：小颖和小明的解法正确；小亮的解法错误． 小颖运用了公式法、小明运用了因式分解法． 小亮的错误是方程两边约去，不符合等式的性质3； 【小问2详解】 解：， 移项得， 因式分解得， 所以或， 所以，． 18. 已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，，都是整数，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可； （2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． 【小问1详解】 解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 19. 将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中的所有点、线都在同一平面内），请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并说明它们相似的理由． 【答案】△BAE∽△CDA，△EDA∽△EAB， 理由如下： ∵△ABC和△AFG为两个全等的等腰直角三角形， ∴∠BAC＝90°，∠B＝∠C＝45°，∠FAG＝45°， ∴∠ADC＝∠B＋∠2＝45°＋∠2， ∵∠BAE＝∠2＋45°， ∴∠BAE＝∠ADC， ∵∠B＝∠C， ∴△BAE∽△CDA， ∵∠DEA＝∠AEB， ∴△EDA∽△EAB． 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得∠BAC＝90°，∠B＝∠C＝45°，∠FAG＝45°，再利用三角形外角性质得∠ADC＝45°＋∠2，则∠BAE＝∠ADC，加上∠B＝∠C，于是可判断△BAE∽△CDA，若加上∠DEA＝∠AEB，则可判断△EDA∽△EAB． 【详解】略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰直角三角形的性质． 20. 小丽想用一块面积为400平方厘米的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300平方厘米的长方形纸片，使它的长宽之比为．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？说明理由． 【答案】不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查的是算术平方根的应用，熟练掌握求一个数的算术平方根是解题的关键． 先求得正方形的边长，然后设长方形的边长为，，然后依据矩形的面积为300平方厘米，列方程求得的值，从而得到矩形的边长，从而可作出判断． 【详解】解：正方形的边长． 设长方形的边长为，． 根据题意得：， 解得：，解得：或（舍去）． 矩形的长为， 小丽不能用这款纸片裁出符合要求的纸片． 21. 【教材呈现】 下面是华师版九年级上册数学教材第76页的部分内容． 如图，E是矩形的边上的一点，于点F，，，，证明，并计算点A到直线的距离． 请你结合图①，完成解答过程． 【拓展应用】 在图①的基础上，延长线段交边于点G，如图②，则的长为________． 【答案】教材呈现： 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴点到直线的距离； 拓展应用： 【解析】 【分析】本题考查了矩形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，证得是解题的关键． 教材呈现：由四边形是矩形，得到，，，根据勾股定理得到，通过，得到，列方程即可得到结果； 拓展应用：证明，得到，求出，由即可求解． 【详解】教材呈现：略 拓展应用：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 故答案为：． 22. 如图，在中，，，．线段所在直线以每秒2个单位的速度沿与其垂直的方向向上平行移动． （1）当线段所在直线运动到的中点D时，该直线交于点E，此时的周长为________； （2）记运动时间为x秒时，该直线在内的部分的长度为y，求出y关于x的函数关系式，并在平面直角坐标系中画出这一函数的图象． 【答案】（1）12 （2）； 函数的图象如图， ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质、一次函数的应用，相似三角形的判定与性质的应用是解题的关键． （1）证明，由相似三角形的性质即可求解； （2）利用相似三角形的性质即可求得y关于x的函数关系式，利用两点，画出函数图象即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵D是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：12； 【小问2详解】 解：过A作于H，交于点M，如图． ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形； ∵， ∴， ∵， ∴， 由题意得：，则， ∵， ∴， 即， ∴； 当时，，当时，，解得 23. 在中，，，． （1）问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； （2）类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； （3）迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】（1）； （2） 解：线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致；理由如下： 延长交于点H，如图所示： ∵将绕点旋转得到， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 又∵，，， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）延长交于点H，根据旋转得出，，，根据勾股定理得出，，根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，即可得出结论； （2）延长交于点H，证明，得出，，根据三角形内角和定理得出，即可证明结论； （3）过点C作于点N，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出，根据解析（2）得出． 【小问1详解】 解：延长交于点H，如图所示： ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴根据勾股定理得：，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点C作于点N，如图所示： 根据旋转可知：， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 根据解析（2）可知：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $