精品解析：江苏省无锡市洛社高级中学2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题

2025年秋学期期中考试 高一数学试卷 命题人：顾喜菊 复核人：马银萍 考生注意： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色的水笔书写在答题卷上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知幂函数的图象过点，下列说法中正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的定义域是 C. 的值域是 D. 在定义域上单调递减 4. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 公园的绿化率是指绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为，绿化面积为，现对该公园再扩建面积，其中绿化面积为，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比（ ） A. 变大 B. 变小 C. 当时，变大 D. 当时，变大 6. 已知函数是奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上的值域为，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 8. 已知函数，，则（ ） A. 4051 B. 4060 C. 2026 D. 2025 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 函数（且）必过定点 C. 函数的定义域为，则函数的定义域是 D. 若定义在上的函数满足，则一定不是偶函数 10. 已知，，.则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值是2 C. 的最小值为1 D. 的最小值为 11. 定义在上的函数，对任意、，当时，都有.若当时，，则（ ） A. 有最大值 B. 方程有唯一实数解 C. 当时， D. 若任意，恒有，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出一个实数的值，使得命题“，”为真命题，_____ 13. 求值：______ 14. 设函数是定义在上的奇函数，对任意的，且，都有不等式，且，则满足不等式的实数的取值范围是_____ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合， （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数，均满足. （1）求函数的解析式； （2）设函数， （ⅰ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； （ⅱ）求函数在区间上的图象与轴恰有一个交点，求实数的取值范围. 17. 设矩形的周长为12，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设. （1）设，将表示成关于的函数，并写出定义域； （2）设的面积为， （i）将表示成关于的函数； （ii）求的最大值及相应的值. 18. 已知奇函数，，满足. （1）求实数，的值； （2）判断的单调性，并利用定义证明； （3）若，使得对恒成立，求实数的取值范围. 19. 定义在上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界. （1）判断函数，是否是有界函数并说明理由； （2）已知函数，若函数在上是以5为上界的有界函数，求实数的取值范围； （3）若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期期中考试 高一数学试卷 命题人：顾喜菊 复核人：马银萍 考生注意： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色的水笔书写在答题卷上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解出集合后由交集定义即可得. 【详解】， 又，故. 故选：D. 2. 已知，，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质、充分和必要条件等知识确定正确答案. 【详解】若“且”，则； 若“”，则可能，不能得到“且”. 所以“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知幂函数的图象过点，下列说法中正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的定义域是 C. 的值域是 D. 在定义域上单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数的性质即可作出判断. 【详解】设幂函数为，因为图象过点，所以， 所以，由于是非奇非偶函数，故A错误； 由于的定义域是，故B错误； 由于的值域是，故C正确； 由于在定义域上单调递增，故D错误； 故选：C. 4. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图可知的两个根其中一个根在，另一个根在，结合，可得的范围，结合指数的单调性即可判断. 【详解】的图象与x轴的交点的横坐标为方程的两个根， 由可得两根为， 又，所以， 由可知，为增函数， 又由，得，所以的图象与y轴的交点在x轴上方， 只有C选项满足题意， 故选：C 5. 公园的绿化率是指绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为，绿化面积为，现对该公园再扩建面积，其中绿化面积为，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比（ ） A. 变大 B. 变小 C. 当时，变大 D. 当时，变大 【答案】D 【解析】 【分析】借助作差法，分与讨论即可得. 【详解】原来公园的绿化率为，扩建后公园的绿化率为， ， 则当时，，绿化率变小， 当时，，绿化率变大. 故选：D. 6. 已知函数是奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为函数是奇函数， 所以， 故选：B 7. 已知函数在区间上的值域为，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，结合函数的图象、值域的定义进行求解即可. 【详解】，函数图象如下： 由二次函数的性质，结合函数的图象可知： 当时，函数单调递增，此时， 当时，函数单调递减，此时有， 当时，函数单调递增，此时有， 而，， 因为该函数区间上的值域为， 所以要想有最大值，只需最小，最大，即时， 有最大值， 故选：C 8. 已知函数，，则（ ） A. 4051 B. 4060 C. 2026 D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】根据所求代数式的结构特点，结合指数的运算法则进行求解即可.. 【详解】因为， 所以， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 函数（且）必过定点 C. 函数的定义域为，则函数的定义域是 D. 若定义在上的函数满足，则一定不是偶函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据同一函数、指数幂的运算性质，结合复合函数定义域的性质、偶函数的定义逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以与表示同一个函数，因此本选项说法正确； B：因为，所以函数（且）必过定点，因此本选项说法不正确； C：因为函数的定义域为，所以有，因此本选项说法正确； D：根据偶函数的定义可以判断本选项说法正确， 故选：ACD 10. 已知，，.则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值是2 C. 的最小值为1 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据基本不等式，结合配方法逐一判断即可. 【详解】A：因为，，， 所以有，当且仅当时取等号，因此本选项说法正确； B：因为，，， 所以， 因此，所以本选项说法不正确； C：因为，，， 所以，当时， 代数式有最小值，此时，因此本选项说法不正确； D：由， ， 因为，， 所以，当且仅当， 所以，当时取等号，因此本选项说法正确， 故选：AD 11. 定义在上的函数，对任意、，当时，都有.若当时，，则（ ） A. 有最大值 B. 方程有唯一实数解 C. 当时， D. 若任意，恒有，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知等式可以判断出之间的关系，然后画出函数的图象，利用函数图象平移的性质、数形结合思想、二次函数的性质逐一判断即可. 【详解】对任意、，当时，都有， 于是有 ， 当时，，于是有，显然没有最大值， 因为， 所以当时，把函数的图象向右平移三个单位，并向上平移三个单位，依次类推， 由，所以 所以当时，把函数的图象向左平移三个单位，并向下平移三个单位，依次类推，所以函数的图象如下图所示： 因此没有最大值，所以选项A不正确； 当时，，或舍去， 结合函数的图象可知方程有唯一实数解，故选项B说法正确； 由上可知：当时，函数，所以选项C正确； 由上分析：当时，， 令， 在当时，函数，或， 于是根据函数的图象，可以判断要想对于任意，恒有，的最小值为，所以选项D正确， 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出一个实数的值，使得命题“，”为真命题，_____ 【答案】（或满足的任意实数） 【解析】 【分析】利用全称量词命题成立的条件可求得，即可填写答案. 【详解】由，可得， 因为，所以， 即由命题“，”为真命题，可得， 故答案为：（或满足的任意实数） 13. 求值：______ 【答案】5 【解析】 【分析】运用对数运算和换底公式的知识即可求解. 【详解】 故答案为：5. 14. 设函数是定义在上的奇函数，对任意的，且，都有不等式，且，则满足不等式的实数的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】利用题意可证明的奇偶性和单调性，从而可利用分类思想求解不等式. 【详解】假设，则由不等式得：， ，又因为，所以在上是减函数， 又因为函数是定义在上的奇函数，所以，且是偶函数， 因为， 所以当时，有， 因为在上是减函数，所以，即此时 当时，由是偶函数， 则有， 因为在上是减函数，所以， 综上可得的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合， （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），或； （2），或 【解析】 【分析】（1）根据分式的性质，结合一元二次不等式的解法、集合并集和补集的定义进行求解即可； （2）根据交集的运算性质，结合空集的定义进行求解即可. 【小问1详解】 当时，， 所以，或， ， 所以，或； 【小问2详解】 因为， 所以， 当时，则有，或，解得，或， 所以实数的取值范围为，或. 16. 已知函数，均满足. （1）求函数的解析式； （2）设函数， （ⅰ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； （ⅱ）求函数在区间上的图象与轴恰有一个交点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）借助配凑法计算即可得； （2）（ⅰ）利用二次函数性质计算即可得；（ⅱ）令，解出即可得. 【小问1详解】 由，则， 即函数的解析式为； 【小问2详解】 （ⅰ）， 由函数在区间上单调递增，则，解得； （ⅱ）令， 解得或，由题意可得，解得. 17. 设矩形的周长为12，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设. （1）设，将表示成关于的函数，并写出定义域； （2）设的面积为， （i）将表示成关于的函数； （ii）求的最大值及相应的值. 【答案】（1） （2）（i）（ii）当时，有最大值 【解析】 【分析】（1）利用三角形全等定理，结合勾股定理进行求解即可； （2）（i）根据三角形面积公式，结合（1）的结论进行求解即可； （ii）运用基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 由题意知，，，， 所以，所以， 因为矩形的周长为12，， 所以， 因为，所以，所以， 在中，可得，所以， 整理得. 【小问2详解】 （i）； （ii）因为， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 于是有， 所以当时，有最大值. 18. 已知奇函数，，满足. （1）求实数，的值； （2）判断的单调性，并利用定义证明； （3）若，使得对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）在上单调递增，证明： 令，则 ， 由，则，， 故，故在上单调递增； （3）或或 【解析】 【分析】（1）结合奇函数性质计算即可得； （2）借助单调性定义，令，比较与的大小关系即可得； （3）求出最小值后，结合一次函数性质计算即可得. 【小问1详解】 由奇函数性质及其定义域为，可得，则， 又，则，即， 检验：当时，有， 又定义域为，故为奇函数，符合要求； 故，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由在上单调递增，则， 则对恒成立， 即对恒成立， 令，则当时，，符合要求； 当时，为关于的一次函数， 则有，解得或； 综上所述：实数的取值范围为或或. 19. 定义在上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界. （1）判断函数，是否是有界函数并说明理由； （2）已知函数，若函数在上是以5为上界的有界函数，求实数的取值范围； （3）若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由. 【答案】（1）是有界函数，理由为： ，由，则， 当且仅当时，等号成立，则， 故恒成立，即该函数是有界函数； （2） （3）存在，当时，；当时， 【解析】 【分析】（1）结合定义，借助对勾函数性质计算即可得； （2）由题意可将原问题转化为对任意恒成立，在分类讨论并计算即可得； （3）结合换元法可得，再结合定义，分类讨论与的大小关系即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可得对任意恒成立， 令，则，即有对任意恒成立， 即对任意恒成立， 当时，有， 由对勾函数性质可得在上单调递减，故有； 当，有， 由在上单调递增，故； 综上所述：； 【小问3详解】 ，令，则， 令，由，则在上单调递减， 则，故， 故函数在区间上存在上界， 当，即，整理得， 又，即时，； 当，即，整理得， 又，即时，； 故存在，且当时，； 当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $