第二十七章 相似（单元课件）数学人教版九年级下册

该初中数学单元复习课件系统梳理了相似图形、相似三角形（判定、性质、平行线分线段成比例）、位似图形等核心知识，通过知识结构图将各知识点串联，形成从基础概念到判定应用的完整逻辑脉络，帮助学生构建系统的相似知识体系。 其亮点在于结合新课标核心素养，如用知识框架图培养几何直观与空间观念，分类高频考点（母子型、X型等相似模型）发展推理能力，设计实际测量问题（如建筑物高度计算）强化模型意识。分层练习覆盖基础识别到综合应用，让不同学生巩固提升，教师可直接用于针对性复习教学。

单元复习 第二十七章 相似 人教版 九年级下册 1. 理解相似图形、相似多边形的定义及关系； 2. 掌握相似三角形的定义、判定方法和主要性质； 3. 理解平行线分线段成比例定理及推论； 4. 掌握位似图形的定义、性质及相关坐标变化规律； 5.运用相似三角形解决实际测量问题.（重点） 知识目标 1. 能准确识别相似图形、相似三角形及位似图形，会判断图形相似性； 2. 能运用相似三角形判定与性质、平行线分线段成比例定理解决推理计算问题； 3. 能构建相似模型解决实际问题，体会数学思想并提升综合应用能力； 4. 能按要求画位似图形，运用位似性质解决 坐标相关问题.（难点）​ 能力目标 一、知识结构 二、知识梳理 三、高频考点 四、针对练习 CONTENTS 目录 知识结构 知识梳理 一、 图形的相似 1．相似图形的概念： 形状相同的图形称为相似图形． 相似图形大小不一定相同，与位置也无关． 2．相似多边形的定义与性质： 定义：两个边数相同的多边形，如果它们的 角分别相等，边成比例，那么这两个多边形 叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比． 性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例． 知识梳理 1.成比例线段：对于四条线段a，b，c，d，若=(即ad=bc)，我们就说这四条线段成比例. 2.平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 二、 平行线分线段成比例 符号语言：∵l3∥l4∥l5， ∴ = ， = ， = ， = . 知识梳理 3.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 二、 平行线分线段成比例 知识梳理 1.定义法：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似． 2.平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 3.三边法：三边成比例的两个三角形相似． 4.两边及其夹角法：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 5.两角法：两角分别相等的两个三角形相似． 三、 相似三角形的判定 知识梳理 直角三角形相似的判定方法 　　（1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似． 　　（2）两组直角边成比例的两个直角三角形相似． 　　（3）斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似． 三、 相似三角形的判定 知识梳理 四、 相似三角形的性质 1.对应角相等、对应边成比例 2.对应高、中线、角平分线的比等于相似比 3.周长比等于相似比 4.面积比等于相似比的平方 五、 位似图形 知识梳理 2.位似图形的性质：(1)对应角相等，对应边成比例． (1)位似图形的对应点的连线相交于位似中心； (2)位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上； (3)位似图形上任意一对对应点，到位似中心的距离之比等于相似比. 1.位似多边形的概念：对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形． 五、 位似图形 知识梳理 3.位似图形的坐标规律：一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为 k，那么原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(－kx，－ky)． 注意：用不同方法得到的图形坐标是不同的． 高频考点 一、相似图形 例1 若图中的两个四边形相似，则α＝________，x＝________， y＝________. 100° 针对练习 如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′． （1）α＝　      　 ；（2）求边x＝　     　 ，y＝　       　 ． 一、相似图形 83° 12 16.5 高频考点 一、相似图形 例2 如图，把一个长方形划分成三个全等的小长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形应满足AD：CD=_________ 1∶ 针对练习 一、相似图形 如图，已知矩形ABCD∽矩形DEFC，点D，C分别在线段AE，BF上，若AB＝3，BC＝4，则线段CF的长为_________ 如图，△ABC 中，AB = 9，AC = 6，点 E 在 AB 上且 AE = 3，点 F 在 AC 上，连接 EF，若 △AEF 与 △ABC 相似，则 AF =　　　　. B C A E 【小结】当相似三角形的对应关系不明确时，需分类讨论． 2 或 4.5 解：当△AEF∽△ABC 时， AE∶AB = AF∶AC， 即 3∶9 = AF∶6， 解得 AF = 2； 当△AFE∽△ABC时， AF∶AB = AE∶AC， 即 AF∶9 = 3∶6， 解得 AF = 4.5． 综上所述，AF = 2 或 4.5. 针对练习 一、相似图形 高频考点 二、平行线分线段成比例 例3 如图，l1∥l2∥l3，直线AB，CD与l1，l2，l3分别相交于点A，O，B和点C，O，D．若AO=3，BO=2，CO=3.6，则CD的长是( ____ ) A.2.4 B.3 C.6 D.8 C 针对练习 二、平行线分线段成比例 如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AD：BD=3：2，FC=2，AC=6，求DE和CE的长． 解：∵DE∥BC，∴ = = ， ∵AC=6，∴AE=AC－CE=6－CE， ∴ = ，解得CE=2.4， ∵EF∥AB，∴四边形BDEF是平行四边形， ∴DE=BF，∴BC=DE+CF=DE+2， ∵AD：BD=3：2，∴AD：AB=3：5， ∴ = = ，即 = ，解得DE=3． 高频考点 三、相似三角形的判定 类型一：母子型相似 A型 斜A型 针对练习 三、相似三角形的判定 例4 如图，点D，E分别在△ABC的边BC及其延长线上， 且∠BAC＝∠DAE，∠ACB＝2∠BAD. 求证：AB2＝BD·BE. 证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE. ∵∠ACB＝∠E＋∠CAE＝2∠BAD＝2∠CAE， ∴∠E＝∠CAE＝∠BAD. 又∠B＝∠B.∴△BAD∽△BEA. ∴＝，即AB2＝BD·BE. 针对练习 1.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加下列条件：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD·BC＝DE·AC.其中能判定△ADE与△ACB相似的有(　　) A．1个    B．2个    C．3个    D．4个 三、相似三角形的判定 C 解：当AE= 或4时，△ADE与△ABC相似， 理由是：①当AE= 时， ∵AB=6，D为AB边的中点，∴AD=BD=3， ∵AC=8，∴ = ， = = ， 即 = = ， ∵∠DAE=∠CAB，∴△ADE∽△ACB； 针对练习 三、相似三角形的判定 2.如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，D是AB边的中点，E是AC边上任意一点，当AE=　　　　　　时，△ADE和△ABC相似． ②当AE=4时， ∵AD=3，AB=6，AC=8， ∴ = = ， ∵∠DAE=∠BAC， ∴△ADE∽△ABC， 故答案为： 或4． 针对练习 三、相似三角形的判定 2.如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，D是AB边的中点，E是AC边上任意一点，当AE=　　　　　　时，△ADE和△ABC相似． 或4 高频考点 三、相似三角形的判定 类型二：X型相似 X型 斜X型 高频考点 三、相似三角形的判定 例5 如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点E. (1)求证：△ADE∽△BCE； (2)若AE＝4，CE＝3，BD＝8，求BE的长． （1）证明：由圆周角定理得∠A＝∠B，∠D＝∠C. ∴△ADE∽△BCE. （2）解：由（1）得△ADE∽△BCE. ∴＝，即＝. ∴BE＝2或6. ∴BE的长为2或6. 针对练习 三、相似三角形的判定 1.如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC，AD交于点E，F. 若AB＝4，BC＝5，求  的值． 解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC. ∴∠AFB＝∠FBC. ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠FBC. ∴∠ABF＝∠AFB， ∴AF＝AB＝4. 又AF∥BC， ∴△AEF∽△CEB. ∴＝＝. 针对练习 三、相似三角形的判定 2.如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且∠ACB=90°，AB=6 ，BC=6，CE=3． (1)求CD的长；(2)求证：△CDE∽△BDC． (1)解：∵∠ACB=90°，AB=6 ，BC=6， ∴AC= =12； ∴AE=AC－CE=9， ∵AB∥CD， ∴△CDE∽△ABE； ∴ ， ∴CD= = =2 . 针对练习 三、相似三角形的判定 2.如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且∠ACB=90°，AB=6 ，BC=6，CE=3． (1)求CD的长；(2)求证：△CDE∽△BDC． (2)证明：∵∠ACB=90°，CE=3，BC=6， ∴BE= =3 ， ∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE， ∴ ，∴DE= ，∴BD=4 ， ∵ ， ，∴ ， ∵∠D=∠D，∴△CDE∽△BDC． 高频考点 三、相似三角形的判定 类型三：一线三等角型相似 一般情形 特殊情形(三直角) 高频考点 三、相似三角形的判定 例6 如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°. (1)求证：△ABE∽△DEF； (2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长． (1)证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠A＝∠D＝90°. ∴∠AEB＋∠ABE＝90°. 又∠BEF＝90°， ∴∠AEB＋∠DEF＝90°. ∴∠ABE＝∠DEF. ∴△ABE∽△DEF. 高频考点 三、相似三角形的判定 例6 如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°. (1)求证：△ABE∽△DEF； (2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长． (2)解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD＝4. 又CF＝3FD，∴DF＝1，CF＝3. ∵△ABE∽△DEF， ∴＝，即＝.∴DE＝2. ∵AD∥BC，∴△EDF∽△GCF. ∴＝，即＝. ∴CG＝6.∴BG＝BC＋CG＝4＋6＝10. 针对练习 三、相似三角形的判定 如图，在△ABC中，AC＝AB＝5，BC＝8，点P是BC上一点， BP＝6，点Q是AC上一点，且∠APQ＝∠B，则CQ＝__________. 高频考点 三、相似三角形的判定 类型四：旋转型(手拉手)相似 共顶点旋转，共顶点的角相等 例7 如图，∠1=∠2，从下列条件“①∠B=∠D；②∠C=∠E；③ ；④ .”中选择一个作为添加条件，使△ABC∽△ADE．这个条件可能是( ____ ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 高频考点 三、相似三角形的判定 B (1)证明：∵△CAB∽△CDE， ∴＝， ∠ACB＝∠DCE. ∴＝， ∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB， 即∠ACD＝∠BCE. ∴△CAD∽△CBE. 针对练习 三、相似三角形的判定 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，且△CAB∽△CDE. (1)求证：△CAD∽△CBE；(2)求证：EB⊥AB. 针对练习 三、相似三角形的判定 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，且△CAB∽△CDE. (1)求证：△CAD∽△CBE；(2)求证：EB⊥AB. (2)证明：∵△CAD∽△CBE， ∴∠A＝∠CBE. ∵∠ACB＝90°， ∴∠A＋∠CBA＝90°. ∴∠CBE＋∠CBA＝90°， 即∠DBE＝90°. ∴EB⊥AB. 高频考点 四、相似三角形的性质 例8 如图，在 □ ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE∶EC = 1∶2，连接 AE 交 BD 于点 F，则 △BFE 的面积与 △DFA 的面积之比为 .　　　　　　 1∶9 A B C D E F 思考：上图中，△BFA 的面积与 △DFA 的面积之比为 .　　　　　　 1∶3 【此时△BFA与△DFA高相同，因此面积之比=底之比】　　　 【小结】求面积比时，要注意相似三角形、等高三角形的区别． 针对练习 四、相似三角形的性质 　1.如图，已知△ABC 的面积为 12 cm2，D，E 分别是 AB，C 边的中点，则梯形 DBCE 的面积为___________cm2． 9 针对练习 四、相似三角形的性质 2.如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若，则=_________ 高频考点 五、相似三角形的应用 例9 如图，某人与一座建筑物DE的距离AF＝120m，他站在A处，将自己的食指竖直举在右眼前，闭上左眼，将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住，若此时眼睛到食指的距离AG约为40cm，食指的长约8cm，则该建筑物的高度约是　　 m． 24 解：由题意得：40cm＝0.4m，8cm＝0.08m， AG⊥BC，AF⊥DE， ∵BC∥DE， ∴∠ABC＝∠ADE，∠ACB＝∠AED， ∴△ABC∽△ADE，∴BC：DE＝AG：AF， ∴0.08：DE＝0.4：120，∴DE＝24m． 故答案为：24． 针对练习 五、相似三角形的应用 在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图MN为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛AB，透过透镜后呈的像为CD．光路图如图所示：经过焦点的光线AE，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线AO汇聚于C点．若焦距OF＝4，物距OB＝6，小蜡烛的高度AB＝1，那么像CD与透镜MN之间的距离CE的长为　　 ． 12 高频考点 五、相似三角形的应用 例10 如图，明珠大厦的顶部建有一直径为16m的“明珠”，它的西面45m处有一高16m的小型建筑CD，人站在CD的西面附近无法看到“明珠”的外貌，如果向西走到点F处，可以开始看到“明珠”的顶端B；若想看到“明珠”的全貌，必须往西至少再走12m，求大厦主体建筑的高度AE（不含顶部的“明珠”部分的高度） 解：设AE＝x，∵CD∥AE，∴△CDF∽△AFB， ∴FC : FA=CD : AB，即FC : (FC+45)=16 : (16+x)， ∴FC=，∵CD∥AB，∴△GCD∽△GAE， ∴GC : GA=CD : AE， 即（12+）:（12++45）=16：x， 解得：x＝40，（负值舍去）， ∴AE＝40. 答：大厦主体建筑的高度是40米． 针对练习 五、相似三角形的应用 如图，强强同学为了测量学校一座高楼OE的高度，在操场上的点A处放一面平面镜，从点A处沿OA方向移动1m到达点B处（即AB＝1m），恰好在平面镜中看到高楼的顶部点E的像；强强从点B处沿OB方向移动3m到达点C处（即BC＝3m），测得∠OCE＝45°．强强同学的眼睛距地面的高度FB为1.5m，已知点O，A，B，C在同一水平线上，EO⊥OC，FB⊥OC．求高楼OE的高度．（平面镜的大小忽略不计） 解：由题意知：∠BAF＝∠OAE， ∵FB⊥OC，EO⊥OC，∴∠ABF＝∠AOE＝90°， ∴△BAF∽△OAE，∴OA : AB=OE : FB， 即OA : 1=OE : 1.5，∴OE＝1.5OA， ∵EO⊥OC，∠OCE＝45°，∴OE＝OC， ∴1.5OA＝OA+3+1，解得OA＝8， ∴OE＝1.5OA＝12（m），答：高楼OE的高度为12m． 高频考点 六、位似图形的作图 例11 如图，下面的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 O 和 △ABC 的顶点均为小正方形的顶点． (1) 在图中△ABC 内部作△A′B′C′，使△A′B′C′ 和△ABC 位似， 且位似中心为点 O，位似比为 2 : 3. A B C O A′ B′ C′ 解：如图所示. (2) 线段 AA′ 的长度是 . 针对练习 六、位似图形的作图 如图，在坐标系中，正方形网格的边长为 1，已知△ABC 和点 M(1，2)． （1）以点 M 为位似中心，相似比为 2，在第一象限内画出△ABC 的位似图形△A′B′C′； （2）写出△A′B′C′ 的各顶点坐标． A′ B′ C′ 解：（1）如图所示． （2）A′(3，6)，B′(5，2)，C′(11，4)． 一套在手，备课无忧！ 人教版 九年级下册 谢谢观看 $