精品解析：江苏省苏州市吴中区三校联考2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

江苏省苏州市吴中区三校联考2025-2026学年九年级上册期中 数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答案框内．） 1. 方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别为（ ） A. 6，2，9 B. 2，，9 C. 2，， D. ，6， 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般式，根据一元二次方程的标准形式求解即可． 【详解】∵方程， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 故选：B． 2. 将方程配方后，原方程变为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查配方法，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，配方即可． 【详解】解： ∴； 故选C． 3. 如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． 4. 若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（ ） A. 1，4 B. 1， C. 2， D. 3，0 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查解一元二次方程及方程根的性质，根据题意得出方程的两根互为相反数，然后列式求解即可． 【详解】解：由题意知，方程的两根互为相反数， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 5. 如图，是的直径，弦，若的度数是，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，等边对等角，由得，再由圆周角定理得，最后由等边对等角即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 6. 如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（ ） A. 2.3 B. 2.4 C. 2.5 D. 2.6 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：在△ABC中，∵AB=5，BC=3，AC=4，∴AC2+BC2=32+42=52=AB2， ∴∠C=90°，如图：设切点为D，连接CD，∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB， ∵S△ABC=AC×BC=AB×CD，∴AC×BC=AB×CD，即CD===， ∴⊙C的半径为，故选B． 考点：圆的切线的性质；勾股定理． 7. 如图，的半径都是1，顺次连接这些圆心得到五边形，则图中的阴影部分的面积之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角和以及扇形的面积公式．解决本题的关键是把阴影部分当成一个扇形的面积来求，圆心角为五边形的内角和． 首先求得五边形的内角和，然后利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：五边形的内角和是：， 则阴影部分面积之和是：， 故选：B． 8. 近年来，中国旅游业呈现快速复苏与高质量发展态势．据统计，某旅游景点2022年游客量约为200万人次，2024年游客量达到450万人次．设该旅游景点游客量的年平均增长率为x，则可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率，根据2022年游客量约为200万人次，2024年游客量达到450万人次，进行列方程，即可作答． 【详解】解：某旅游景点2022年游客量约为200万人次，2024年游客量达到450万人次．设该旅游景点游客量的年平均增长率为x， ∴ 故选：B 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9. 已知是一元二次方程的一个实数根，求的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解．由题意易得，然后整体代入求解即可． 【详解】解：由题意得：，即， ∴； 故答案为：． 10. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最大整数值是______． 【答案】0 【解析】 【分析】由于关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可知，据此进行计算即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 整理得，， 解得． ∴的最大整数值是0． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 11. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为___________． 【答案】40°##40度 【解析】 【分析】首先利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，然后利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB=90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余求得答案即可． 【详解】解：∵四边形ABCD内接与⊙O，∠ADC=130°， ∴∠B=180°-∠ADC=180°-130°=50°， ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠CAB=90°-∠B=90°-50°=40°， 故答案为：40°． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补． 12. 直角三角形的两直角边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形外接圆的性质，难度不大，注意直角三角形的斜边是其外接圆的直径是解题的关键. 由直角三角形的两直角边长分别为6，8，利用勾股定理可求得其斜边；又由直角三角形的斜边是其外接圆的直径，即可求得答案． 【详解】∵直角三角形的两直角边长分别为6，8， ∴斜边长为： ∴这个三角形的外接圆半径是， 故答案为5． 13. 圆锥的底面半径为，高为，则圆锥侧面展开图扇形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键；由题意易得圆锥的母线长，然后问题可求解． 【详解】解：由题意可知：圆锥的母线长为， ∴圆锥的侧面展开图扇形的面积为； 故答案为． 14. 已知扇形的半径为4，弧长为，则该扇形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用扇形面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵扇形的半径为4，弧长为， ∴扇形的面积是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查计算扇形的面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，，，过A，D两点的与边相切于点E，则的半径为___． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理、矩形的性质以及勾股定理．首先连接，并反向延长交于点F，连接，由在矩形中，过A，D两点的与边相切于点E，易得四边形是矩形，由垂径定理可求得的长，然后设的半径为x，则，利用勾股定理即可得：，继而求得答案． 【详解】解：连接，并反向延长交于点F，连接， ∵是切线， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 设的半径为x，则， 在中，， 则， 解得：， ∴的半径为． 故答案为：． 16. 如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点，过 点P作PM⊥AB于M，PN⊥CD于N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周从点D逆时针方向运动到点C的过程中，当∠QCN度数取最大值时，线段CQ的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用矩形的性质得出OQ= MN=OP=1，再利用当CQ与此圆相切时，∠QCN最大，此时，在直角三角形CQ′O中，通过勾股定理求得答案． 【详解】解：连接OQ， ∵MN=OP（矩形对角线相等），⊙O的半径为2， ∴OQ=MN=OP=1， ∴点Q的运动轨迹是以O为圆心，1为半径的圆，当CQ与此圆相切时，∠QCN最大， 则tan∠QCN的最大值， 此时，在直角三角形CQ′O中， ∠CQ′O=90°，OQ′=1，CO=2， ∴CQ′=，即线段CQ的长为． 故答案为． 三、解答题（本大题共11小题，满分82分） 17. 用适当方法解下列方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：移项，得 配方，得 即 开平方，得 ∴，； 【小问2详解】 解：原方程化为 ∴或， ∴，； 【小问3详解】 解：，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问4详解】 解：原方程化为，即， ∴或， ∴，． 18. 如图，是半圆的直径，和是它的两条切线，切点分别为，平分． （1）求证：是半圆的切线． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，过作，垂足为， ∵与半圆相切于点， ∴， ∵平分， ∴， ∴是半圆的半径， ∴是半圆的切线； （2）． 【解析】 【分析】（）过作，垂足为，再由角平分线的性质得到，从而可知是半圆的切线； （）由切线长定理可知，，再由线段和差可求得的长； 本题主要考查了切线的性质和判定、切线长定理的应用，掌握切线的性质和判定、切线长定理是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是半圆的两条切线，切点分别为， ∴， ∵， ∴， ∵是半圆的两条切线，切点分别为， ∴． 19. ⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）． （1）如图1，AC=BC； （2）如图2，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC． 【答案】（1）如图1，直径CD为所求； （2）如图2，弦AD为所求． 【解析】 【分析】（1）过点C作直径CD，由于AC=BC，弧AC=弧BC，根据垂径定理的推理得CD垂直平分AB，所以CD将△ABC分成面积相等的两部分； （2）连结PO并延长交BC于E，过点A、E作弦AD，由于直线l与⊙O相切于点P，根据切线的性质得OP⊥l，而l∥BC，则PE⊥BC，根据垂径定理得BE=CE，所以弦AE将△ABC分成面积相等的两部分． 【详解】略 20. 如图，矩形空地的长为30米，宽为20米，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为150平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？ 【答案】人行通道的宽度是5米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用两块矩形的面积之和为150平方米得出等式是解题关键． 设人行通道的宽度为x米，将两个绿地平移到一起，然后用含x的式子表示绿地的长与宽，最后依据面积为150平方米列方程求解即可． 【详解】解：设人行通道的宽度为米， ， 又， ， 由题意知：， ， 即， 解得：（舍去），， 答：人行通道的宽度是5米． 21. 如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N． （1）点N是线段BC的中点吗？为什么？ （2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径． 【答案】（1）是， 理由如下： ∵AD与小圆相切于点M ∴ON⊥AD 又∵ADBC ∴ON⊥BC ∴点N是线段BC的中点 （2）7cm 【解析】 【详解】解：（1） 略 （2）连接OB，设小圆的半径为r， 则ON=r+5，OB=r+6，且BN=5 在Rt△OBN中： 5²+(r+5)²= (r+6)² 解得：r=7 cm ∴小圆的半径为7cm 22. 已知关于的一元二次方程，其中，，分别是三边的长． （1）若该方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； （2）若是等边三角形，请求出该方程的实数根． 【答案】（1）是直角三角形， 理由如下：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，等边三角形的性质，因式分解法解一元二次方程等，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意可知根的判别式的值为0，继而再根据勾股定理的逆定理进行求解即可； （2）根据等边三角形的性质可得，继而可将方程化简，再利用因式分解法进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当是等边三角形时，， 原方程可化为， ∴， ∴， 解得：，． 23. （1）引入： 如图1，直线为的弦，，交于点P，且，直线是否与相切，为什么？ （2）引申： 如图2，记（1）中的切线为直线l，在（1）的条件下，将切线l向下平移，设平移后的直线l与的延长线相交于点，与的延长线相交于点E，与的延长线相交于点，找出图2中与相等的线段，并说明理由． 【答案】（1）相切；（2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、切线的判定，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和切线的判定是解答的关键． （1）由，易得，然后由等腰三角形的性质可得，，等量代换可得，即，由切线的判定可得出结论； （2）由（1）可得，等量代换可得∠，由，，易得，得出结论． 【详解】解：（1）相切， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵为半径， ∴与相切； （2），理由： ∵，，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 24. 某商场销售一批衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元．为回馈顾客，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若每件衬衫降价5元，商场可售出多少件？ （2）若商场每天的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】（1）30件；（2）每件衬衫应降价10元或20元 【解析】 【分析】（1）根据“每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件”直接计算即可得出答案； （2）设每件衬衫应降价x元，商场每天要获利润1200元，可列方程求解． 【详解】解：（1）∵每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件， ∴每件衬衫降价5元，可售出20+5×2＝30（件）； （2）设每件衬衫应降价x元，据题意得： （40﹣x）（20+2x）＝1200， 解得：x＝10或x＝20． 答：每件衬衫应降价10元或20元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，准确抓住题目中的相等关系，列出方程是解题的关键． 25. 如图所示，中，．点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； （3）如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，与相似． 【答案】（1）经过2秒或4秒，的面积等于； （2） 解：∵的面积， 根据题意得， 整理得， ∵， ∴此方程无实数根， ∴线段不能将分成面积相等的两部分；； （3）经过秒或2.4秒时，与相似． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及相似三角形的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用； （1）设经过秒，的面积等于，利用三角形面积公式列出方程求解即可； （2）根据面积之间的等量关系得到关于的一元二次方程，利用根的判别式即可求解； （3）设经过秒时，与相似，分①时，②当时，两种情况进行讨论即可求解． 【小问1详解】 解：设运动时间为秒，由题意得，，， ∵的面积等于， ∴， 整理得， 解得，， 故经过2秒或4秒，的面积等于； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设经过秒时，与相似， ①时， ∴， ∴， ∴， ②当时， ∴， ∴， ∴， 综上所述，经过秒或2.4秒时，与相似． 26. 已知⊙O的半径为2，∠AOB=120°． （1）点O到弦AB的距离为　　；． （2）若点P为优弧AB上一动点（点P不与A、B重合），设∠ABP=α，将△ABP沿BP折叠，得到A点的对称点为A′； ①若∠α=30°，试判断点A′与⊙O的位置关系； ②若BA′与⊙O相切于B点，求BP的长； ③若线段BA′与优弧APB只有一个公共点，直接写出α的取值范围． 【答案】（1）1；（2）①点A′在⊙O上；②；③0°＜α＜30°或60°≤α＜120° 【解析】 【分析】（1）如图，作辅助线；证明∠AOC=60°，得到OC=1． （2）①证明∠PAB=90°，得到PB是⊙O的直径；证明∠PA′B=90°，即可解决问题． ②证明∠A′BP=∠ABP=60°；借助∠APB=60°，得到△PAB为正三角形，求出AB的长即可解决问题． ③直接写出α的取值范围即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，过点O作OC⊥AB于点C； ∵OA=OB， 则∠AOC=∠BOC=×120°=60°， ∵OA=2， ∴OC=1． 故答案为1． （2）①∵∠AOB=120° ∴∠APB=∠AOB=60°， ∵∠PBA=30°， ∴∠PAB=90°， ∴PB是⊙O的直径， 由翻折可知：∠PA′B=90°， ∴点A′在⊙O上． ②由翻折可知∠A′BP=∠ABP， ∵BA′与⊙O相切， ∴∠OBA′=90°， ∴∠ABA′=120°， ∴∠A′BP=∠ABP=60°； ∵∠APB=60°， ∴△PAB为正三角形， ∴BP=AB； ∵OC⊥AB， ∴AC=BC；而OA=2，OC=1， ∴AC=， ∴BP=AB=2． ③α的取值范围为0°＜α＜30°或60°≤α＜120°． 【点睛】该题主要考查了翻折变换、垂径定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换、垂径定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答． 27. 已知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点，联结DG． （1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求△MFC的面积； （2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果） 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）运用ASA证明△求出FD的长再运用三角形面积公式即可得到答案； （2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，代入相关数值即可求出函数关系式； （3）分点在矩形内部和外部两种情况求解即可． 【详解】解（1）过M作MH⊥DC，垂足为H，如图1 易得四边形ADHM是正方形， ∵ 又∠FED=∠MEA ∴△ ∴ ∵ ∴∠FHM=∠CHM=90°，∠HCM+∠HMC=90° ∵， ∴∠FMH+∠HMC=90° ∴∠FMH=∠HCM ∴△FMH∽△MCH ∴ ∴， ∴ （2）过M作MH⊥DC，过G点作GP⊥DC，垂足分别为H，P，如图2， ∵， ∴， ∵MH⊥DC， ∴∠MHF=∠MHC=90°，∠HMC+∠HCM=90° ∵∠FMC=90°， ∴∠FMH+∠HMC=90° ∴∠FMH=∠HCM ∴ ∴，即， ∴ ∴，， ∴ ∴ 由可得 ∴定义域为 （3）点在矩形内部时,延长DG交AB于J，联结AG，AF，如图 ∵ ∵ ∴， ∵， ∴ ∴∠ ∵∠ ∴∠ ∴∠ ∴垂直平分 ∴ ∵ ∴ 点在矩形外部时，延长DG交BA延长线于L，联结DM，如图 ∵， ∴， ∴ ∵∠，∠FMC为直角， ∴，垂直平分 ∴，， ∴ 综上，或 【点睛】收费题主要考查了三角形全等的判定与性质、垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理和性质是解答此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省苏州市吴中区三校联考2025-2026学年九年级上册期中 数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答案框内．） 1. 方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别为（ ） A. 6，2，9 B. 2，，9 C. 2，， D. ，6， 2. 将方程配方后，原方程变为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A. B. C. D. 4. 若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（ ） A. 1，4 B. 1， C. 2， D. 3，0 5. 如图，是的直径，弦，若的度数是，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（ ） A. 2.3 B. 2.4 C. 2.5 D. 2.6 7. 如图，的半径都是1，顺次连接这些圆心得到五边形，则图中的阴影部分的面积之和为（ ） A. B. C. D. 8. 近年来，中国旅游业呈现快速复苏与高质量发展态势．据统计，某旅游景点2022年游客量约为200万人次，2024年游客量达到450万人次．设该旅游景点游客量的年平均增长率为x，则可列出方程（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9. 已知是一元二次方程的一个实数根，求的值为______． 10. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最大整数值是______． 11. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为___________． 12. 直角三角形的两直角边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于__________． 13. 圆锥的底面半径为，高为，则圆锥侧面展开图扇形的面积为______． 14. 已知扇形的半径为4，弧长为，则该扇形的面积为________． 15. 如图，在矩形中，，，过A，D两点的与边相切于点E，则的半径为___． 16. 如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点，过 点P作PM⊥AB于M，PN⊥CD于N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周从点D逆时针方向运动到点C的过程中，当∠QCN度数取最大值时，线段CQ的长为_______． 三、解答题（本大题共11小题，满分82分） 17. 用适当方法解下列方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 如图，是半圆的直径，和是它的两条切线，切点分别为，平分． （1）求证：是半圆的切线． （2）若，，求的长． 19. ⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）． （1）如图1，AC=BC； （2）如图2，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC． 20. 如图，矩形空地的长为30米，宽为20米，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为150平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？ 21. 如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N． （1）点N是线段BC的中点吗？为什么？ （2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径． 22. 已知关于的一元二次方程，其中，，分别是三边的长． （1）若该方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； （2）若是等边三角形，请求出该方程的实数根． 23. （1）引入： 如图1，直线为的弦，，交于点P，且，直线是否与相切，为什么？ （2）引申： 如图2，记（1）中的切线为直线l，在（1）的条件下，将切线l向下平移，设平移后的直线l与的延长线相交于点，与的延长线相交于点E，与的延长线相交于点，找出图2中与相等的线段，并说明理由． 24. 某商场销售一批衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元．为回馈顾客，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若每件衬衫降价5元，商场可售出多少件？ （2）若商场每天的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元？ 25. 如图所示，中，．点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； （3）如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，与相似． 26. 已知⊙O的半径为2，∠AOB=120°． （1）点O到弦AB的距离为　　；． （2）若点P为优弧AB上一动点（点P不与A、B重合），设∠ABP=α，将△ABP沿BP折叠，得到A点的对称点为A′； ①若∠α=30°，试判断点A′与⊙O的位置关系； ②若BA′与⊙O相切于B点，求BP的长； ③若线段BA′与优弧APB只有一个公共点，直接写出α的取值范围． 27. 已知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点，联结DG． （1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求△MFC的面积； （2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $