精品解析：贵州省贵阳市南湖实验中学2025-2026学年高二上学期期中检测数学试题

贵阳市南湖实验中学2025-2026第一学期11月 高二数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将试卷和答题卡一并收回.满分150分，考试时长：120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题给出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由补集运算即可求解. 【详解】由，集合， 可得：， 故选：B 2. 已知，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先对z进行变形化简，再结合复数和复平面的概念即可得到答案． 【详解】由，得，可得在复平面内对应的点为，位于第二象限． 故选：B． 3. 已知向量满足，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：B 4. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据余弦定理求出，再结合正弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理得，，即， 所以. 故选：A. 5. “”是“直线与圆相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与圆相切求出，进而结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由圆，圆心为，半径为2， 由直线与圆相切， 则，解得， 所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 已知，是椭圆的两个焦点，点在上且，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的定义和得到，结合，由余弦定理得，进而得到正弦值，利用三角形面积公式求出答案. 【详解】由椭圆，可得，所以， 由椭圆的定义可得， 故，又， 则由余弦定理得， 故， 故. 故选：C. 7. 在中，，平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理计算可得外接圆的半径，进而可得三棱锥外接球的半径，再根据球的表面积公式计算即可. 【详解】由已知得，作下图， 设外接圆的半径为， 已知，，. 根据正弦定理可得，解得 . 因为平面，所以三棱锥外接球的球心到平面的距离=1， 所以外接球半径. 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：C 8. 如图，已知圆锥的轴截面是正三角形，是底面圆的直径，点在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过角度关系求出特定角的大小，然后建立空间直角坐标系，确定各点坐标，进而得到异面直线对应向量的坐标，最后利用向量的夹角公式求出异面直线所成角的余弦值. 【详解】，且，所以， 连接，则平面， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设圆的半径为，则、、、， ，， 设异面直线与所成的角为， 则：， 因此异面直线与所成角的余弦值为． 故选：A． 二、多选题（每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分，共18分） 9. 已知动直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 圆的圆心坐标为 C. 直线与圆的相交弦的最小值为 D. 直线与圆的相交弦的最大值为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐一判断即可. 【详解】对于A，直线，即， 令，得，即直线过定点，故A正确； 对于B，圆，即，圆心坐标为，故B错误； 对于C，因为，所以直线所过定点在圆的内部，不妨设直线过定点为， 当直线与圆的相交弦的最小时，与相交弦垂直， 又因为，所以相交弦的最小为，故C正确； 对于D，直线与圆的相交弦的最大值为圆直径4，故D正确. 故选：ACD 10. 记的内角的对边分别为，已知，则（ ） A. B. C. 的外接圆的周长为 D. 为钝角三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理解三角形即可得到有关结论. 【详解】由正弦定理可得：，故A错误； 由余弦定理可得：，化简得，解得，故B正确; 由正弦定理可得：,所以的外接圆的周长为,故C正确; 因为，所以角为最大角，由余弦定理有，所以角为锐角，所以为锐角三角形，故D错误. 故选：BC. 11. 函数的部分图象如图所示，，是的2个零点，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的最小值为 C. 当取最小值时，的最大值为 D. 若在区间上至少有10个零点，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题考查三角函数的图象与性质，可先根据函数图象求出函数的表达式，再根据三角函数的性质逐一分析选项即可。 【详解】由图象知，，则，根据周期公式，可得. 又因为函数的最大值为3，最小值为，所以 当时，取得最小值，即，解得. . A：根据余弦函数的对称中心公式，令可得的对称中心为， 当时，对称中心为，所以的图象关于点对称，故A正确。 B：因为是的两个零点，令，则， 所以或，解得，或， 根据题意，取，，所以， 当时，，故其相邻零点的最小间距为，故B正确. C：当取最小值时，， 不妨设，所以，则= 所以的最大值为，故C错误. D：令，则， 所以或，解得，或， 所以在上的10个零点依次为：，，，，. 由在区间上至少有10个零点，则 故的最小值为，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛： 的解析式的确定： （1）由最值确定； （2）由周期确定； （3）由图象上的特殊点确定. 提醒：根据“五点法”中的零点求时，一般先根据图象的升降分清零点的类型. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若直线与直线平行，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】由两直线平行，列出方程求解后，再排除两直线重合的情况，即可得答案. 【详解】由， 得， 解得或， 当时， 与重合，不满足题意； 当时，符合题意. 故答案为： 13. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为_______m. 【答案】 【解析】 【分析】在中由正弦定理可求得，进而即可求解树的高度. 【详解】在中，，，， ， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以树的高度为. 故答案为：. 14. 已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为______________. 【答案】 【解析】 【分析】连接，，根据椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，再利用椭圆定义得到，，在中，由余弦定理可得，即可求得. 【详解】解：设是椭圆的右焦点，连接，， 由对称性可知：，，则四边形为平行四边形， 则，即，且， 因为，则，， 在中，由余弦定理可得， 即，解得，所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 四、解答题（本答题共77分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 15. 已知圆，直线. （1）判断直线与圆C的位置关系； （2）求该圆过点的切线方程. 【答案】（1）相交 （2）和 【解析】 【分析】（1）根据圆的方程求出圆心和半径，结合圆心到直线的距离与半径的大小关系判断； （2）讨论斜率情况，结合相切的等量关系可求答案. 【小问1详解】 圆，圆心，半径， 因为直线，所以圆心C到直线l的距离为， 因为，即，所以直线与圆C相交. 【小问2详解】 若切线没有斜率，则方程为. 圆心C到直线的距离为，满足条件； 若切线有斜率，设其值为，切线方程为，即， ，解得；此时，切线方程为； 综上所述，该圆过点的切线方程和. 16. 在中，，. （1）求； （2）若，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角可得，进而求出. （2）利用同角公式及已知求出，再利用余弦定理及三角形面积公式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理边角，得， 而，则，又，所以. 【小问2详解】 在中，由，得，由（1）知， 由，得，解得， 由余弦定理，得，则， 所以的面积. 17. 如图，在三棱锥中，底面，，是的中点. （1）求证：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 因为底面，平面 所以，又因为， ，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理及判定定理即可证明 （2）利用线面角的向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作平面的垂直，并以该直线为轴， 以为原点，以所在直线为轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的法向量为， 则， 取，则， 设与平面所成角为， . 18. 记的内角的对边分别为，已知． （1）证明：； （2）记的中点为，若，且，求的周长． 【答案】（1） 设的外接圆半径为， 由正弦定理，得， 所以，，， 所以 ， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，故； （2） 【解析】 【分析】（1）应用正弦边角关系及三角恒等变换、三角形内角和性质化简已知条件为，即可证； （2）应用余弦定理及，进而得，结合已知（1）结论求边长，即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）及已知有，又， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 显然有，则， 整理得，即，又， 所以，从而， 的周长为. 19. 已知椭圆方程短轴长为，离心率为． （1）求的方程； （2）过的右焦点的直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的离心率为，列出方程，求得的值，即可求解； （2）设的方程为，联立方程组，设，，利用弦长公式和点到直线的距离公式，求得和，结合（为坐标原点）的面积为，列出方程求得的值，即可求解. 【小问1详解】 题意可知，椭圆的短轴长为， ∴，．又因为离心率为，可得， 解得，所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 由椭圆，可得，则右焦点为， 由题意知，直线的斜率不为零，设的方程为， 联立方程组，整理得到， 可得， 设，，则，， 所以 ， 又由点到直线的距离， 故的面积， 解得或（舍），所以， 所以l的方程为或， 即直线l的方程为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市南湖实验中学2025-2026第一学期11月 高二数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将试卷和答题卡一并收回.满分150分，考试时长：120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题给出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量满足，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 12 4. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 5. “”是“直线与圆相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，是椭圆的两个焦点，点在上且，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 10 7. 在中，，平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知圆锥的轴截面是正三角形，是底面圆的直径，点在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分，共18分） 9. 已知动直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 圆的圆心坐标为 C. 直线与圆的相交弦的最小值为 D. 直线与圆的相交弦的最大值为4 10. 记的内角的对边分别为，已知，则（ ） A. B. C. 的外接圆的周长为 D. 为钝角三角形 11. 函数的部分图象如图所示，，是的2个零点，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的最小值为 C. 当取最小值时，的最大值为 D. 若在区间上至少有10个零点，则的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若直线与直线平行，则实数__________. 13. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为_______m. 14. 已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为______________. 四、解答题（本答题共77分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 15. 已知圆，直线. （1）判断直线与圆C的位置关系； （2）求该圆过点的切线方程. 16. 在中，，. （1）求； （2）若，求的面积. 17. 如图，在三棱锥中，底面，，是的中点. （1）求证：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值. 18. 记的内角的对边分别为，已知． （1）证明：； （2）记的中点为，若，且，求的周长． 19. 已知椭圆方程短轴长为，离心率为． （1）求的方程； （2）过的右焦点的直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $