精品解析：江苏省连云港市东海县2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

2025～2026学年第一学期期中考试 高二数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若经过，两点的直线的倾斜角为，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线斜率公式先计算斜率，再由斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】由题意有：， 故选：C. 2. 设抛物线：的焦点为，点在上，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意有：抛物线 ：的准线方程为：， 利用抛物线的定义有：， 故选：B. 3. 圆：与圆：公切线的条数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】计算圆心距，利用圆心距与半径的关系，判断两圆的位置关系，进而求解. 详解】由圆：，所以圆心，半径， 又由圆：得，所以圆心，半径， 所以，， 所以， 所以圆与圆外切，所以圆与圆有3条公切线， 故选：C. 4. 已知离心率为的椭圆与双曲线的焦点相同，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意设椭圆的方程为：，利用离心率为得，进而得，利用椭圆与双曲线的焦点相同即可求解. 【详解】由题意设椭圆的方程为：， 所以，又， 又由椭圆与双曲线的焦点相同， 所以， 所以， 所以椭圆的方程为：， 故选：A. 5. 直线被圆截得的弦长小于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程得圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式结合弦长公式即可求解. 【详解】由题意有：， 所以圆心为，半径为， 由圆心到直线的距离为， 设直线与圆相交与两点， 所以， 所以， 所以，即， 故选：B. 6. 已知、为双曲线（，）上关于坐标原点对称的两点，点为双曲线的右焦点，且，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为，则，再由已知可得四边形为矩形，则可得，然后求解离心率的表达式，推出范围，即可得到选项 【详解】如图，设在右支上， 设双曲线的左焦点为，则，且， 所以由双曲线的对称性可得四边形为矩形， 所以， 因为，， 所以， 因为， 所以， 所以， 故选：A 7. 已知椭圆的左顶点为，动点与点的距离是它与坐标原点距离的倍，则与椭圆上点的距离最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据列等式得到动点的轨迹方程，然后结合几何知识得到当在延长线于圆的交点时距离最大，然后计算的最大值即可. 【详解】 由题意得，设， ，即，所以， 整理得， 所以动点在圆心，半径的圆上， 由题意可知，与椭圆上点距离最大时，椭圆上的点要在圆外，设这个点为， 此时最大值 ，所以当最大时最大， 设，则，， 所以当时最大，为， 所以. 故选：D. 8. 已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，，为上两点，．则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线方程设坐标，然后根据列等式得到，最后利用抛物线定义和基本不等式求最小值. 【详解】设，， 因为，所以， 由题意知，则，整理得， 由抛物线的定义得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】设与直线平行的直线方程为，，然后由平行直线间的距离公式可得答案. 【详解】由题意，设与直线平行的直线方程为，， 由两平行直线间的距离公式可得，解得或， 故所求直线方程为或． 故选：AC 10. 已知圆：，直线：（），则下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 点为圆上一动点，则到直线距离的最大值为5 C. 当时，圆上恰有两个点到直线的距离都等于 D. 直线上存在点，使过点所作的圆的两条切线相互垂直，则 【答案】AD 【解析】 【分析】将直线方程变形求解定点判断A；先求出圆心到直线的距离，然后求解范围，利用直线与圆的位置关系求解距离范围判断B；利用圆心到直线的距离判断C；设，由圆的性质得，即，根据判别式法求得参数范围即可判断D. 【详解】对于A，直线，即， 由解得，所以直线恒过定点，A正确； 对于B，圆的圆心为，半径为2， 圆心到直线的距离为， 当时，，当时，，所以， 则圆上一动点到直线距离的最大值，故B错误； 对于C，当时，， 圆心到直线的距离为， 因为，所以圆上恰有4个点到直线的距离都等于，所以C错误； 对于D，设，因为过点所作的圆的两条切线相互垂直， 所以由圆的性质可知两切点与两点形成正方形，且边长为2， 则，平方化简得， 根据点P的存在性可知方程有解， 所以，整理得，解得， 即，所以D正确. 故选：AD 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上异于顶点的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为、，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 内切圆的圆心在直线上 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：借助双曲线定义与焦距长度计算即可得；对B：设出点，表示出、后，利用余弦定理计算即可得；对C：结合B中所得计算即可得；对D：利用内切圆中切线长性质结合双曲线定义与焦距长度计算即可得. 【详解】对A：由双曲线定义可得，则， 则，又， 则，故A正确； 对B：设，则，即， 双曲线渐近线为，则， 由对称性，不妨设在上，在， 则，， 有， 由，则， 则， 故，由点不在顶点上，故不能取等，即，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：设内切圆圆心为，与、、的切点分别为、、， 由切线长定理可得、、， 又，， 即， 则， 则， 又，故，即内切圆的圆心在直线上，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 点关于直线：的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标为，由题意得到求解即可. 【详解】设点的坐标为， 由题意可得：，解得：， 即对称点的坐标为， 故答案为： 13. 过点与圆相切的直线方程为______________ 【答案】 【解析】 【详解】点满足圆的方程，所以点为切点， 圆的圆心为(0,0)，切点和圆心连线的斜率为：， 所以切线斜率为-1. 方程：. 故答案为. 14. 已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点，在椭圆上．若，则______ 【答案】 【解析】 【分析】由得，设，，得，，利用椭圆的定义得，，最后利用余弦定理求解，进而求解. 【详解】由题意有：，， 由，所以，设，， 所以，， 由椭圆的定义有：， 所以，， 在中，由余弦定理有①， 在中，由余弦定理有②， 由①②解得：，所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点坐标分别为、、． （1）求的边上的高所在的直线方程． （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1）根据高线性质，结合互相垂直直线的斜率关系，结合直线点斜式方程进行求解即可； （2）根据点到直线距离公式、两点间距离公式、三角形面积公式进行求解即可. 小问1详解】 ∵，， ∴AB的斜率， ∴AB边高线斜率，又， ∴AB边上的高线方程为， 【小问2详解】 直线AB的方程为，即， 顶点C到直线AB的距离为， 又， ∴的面积. 16. 已知圆：（为实数）． （1）若直线被圆截得的弦长为，求的值； （2）若过点的圆与圆相切于点，求圆的标准方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆的方程得到圆心坐标，然后利用距离公式得到圆心到直线的距离，再利用勾股定理得到半径，最后列方程求即可； （2）根据相切得到圆心在直线上，在的中垂线上，然后联立方程得到圆心坐标，再计算半径，写标准方程即可. 【小问1详解】 由题意得圆：（为实数）． 圆的圆心，则到直线的距离， 所以圆的半径，则，解得. 【小问2详解】 因为圆与圆相切， 所以圆的圆心在直线上，直线的方程为①， 因为圆与圆相切于点，所以为圆上的点，圆圆心在的中垂线上， ，中点坐标为，所以的中垂线方程为②， 联立①②得，所以圆圆心为，半径， 所以圆得标准方程为. 17. 已知双曲线（，）的左焦点到渐近线的距离为，焦距为4，右顶点为，为上一点，且直线的斜率为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线与双曲线相切于点，求证：平分． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式求得，又由，进而求解； （2）由直线的斜率为求点的坐标，设直线的方程为：，与双曲线联立，由求出，进而求出点，利用向量的夹角公式即可得证. 【小问1详解】 由题意有：，双曲线的渐近线方程为：，即， 由点到直线的距离为：，即， 又焦距，即， 所以， 所以， 所以双曲线的标准方程为：； 【小问2详解】 由（1）有：，设点， 由，所以，即， 设直线的方程为：，即， 由，即， 所以， 即，又，解得， 所以直线的方程为：， 所以，解得，所以， 所以， 所以， ， 所以，又， 所以，即平分. 18. 在直角坐标系中，椭圆的左，右顶点分别为，点为椭圆上异于的一个动点，直线分别与直线相交于两点，以为直径的圆与轴交于两点．直线与直线斜率分别记为，． （1）求证：为定值； （2）求四边形面积的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2）12 【解析】 【分析】（1）设，写出直线的方程，令，求得，计算直线的斜率，利用点在椭圆上，代入化简计算即得定值； （2）与（1）同法求得，设以为直径的圆的圆心为点，易得，求出和，利用弦长公式推理求得，写出四边形的面积表达式，设椭圆的参数方程，代入化简得，再将理解为动点与定点所在直线的斜率，即经过的直线与以圆心为原点的单位圆有公共点时的斜率，数形结合求得，即可求得四边形面积的最小值. 【小问1详解】 设，易得，则直线的方程为， 令，可得，则得，， 因是椭圆上异于的一个动点，故，即 ， 则为定值. 【小问2详解】 因直线的方程为，令，可得， 设以为直径的圆的圆心为点，则其坐标为，设交轴于点， 连接，则，， 故 ， 因，则，（*） 因点在椭圆上，则可设， 代入（*），可得， 不妨设，则可将其理解为动点与定点所在直线的斜率， 又动点在以原点为圆心的单位圆上， 由圆心到直线的距离，解得， 依题意，需使，即，从而， 即四边形面积的最小值为. 19. 在直角坐标系中，点到直线的距离比到点的距离大1，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过的直线交曲线于两点，过与直线垂直的直线交曲线于，两点，其中在轴上方，，分别为，的中点． 求证：（ⅰ）直线过定点； （ⅱ）直线，的交点在定直线上． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合抛物线的定义即可求解； （2）（ⅰ）分别联立直线与抛物线、直线与抛物线方程得到点，的坐标，从而得到直线的方程，即可得到直线过定点；（ⅱ）联立直线与的方程得到，即可求证； 【小问1详解】 因为直线和距离为1， 由题意点到直线的距离与到点的距离相等， 由抛物线的定义可得动点的轨迹方程为： 【小问2详解】 设，，，， （ⅰ）设直线的方程为，的方程为，因为直线与直线垂直，所以， 联立得， 则，，，， 所以， 同理可得 当时，：， 即 ， 因为，所以直线的方程为， 故当时，，此时过定点， 当时，由得，此时直线的方程为，同样经过点， 所以直线过定点，该定点为. （ⅱ）由抛物线方程得，， 则：， 同理可得：， 联立得， 即， 由，同理， 故， 所以， 即直线，的交点在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第一学期期中考试 高二数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若经过，两点的直线的倾斜角为，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 2. 设抛物线：的焦点为，点在上，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 圆：与圆：公切线条数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知离心率为的椭圆与双曲线的焦点相同，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 直线被圆截得的弦长小于，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 6. 已知、为双曲线（，）上关于坐标原点对称的两点，点为双曲线的右焦点，且，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左顶点为，动点与点的距离是它与坐标原点距离的倍，则与椭圆上点的距离最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，，为上两点，．则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆：，直线：（），则下列结论正确的是（ ） A 直线恒过定点 B. 点为圆上一动点，则到直线距离的最大值为5 C. 当时，圆上恰有两个点到直线的距离都等于 D. 直线上存在点，使过点所作的圆的两条切线相互垂直，则 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上异于顶点的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为、，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 内切圆的圆心在直线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 点关于直线：的对称点的坐标为______． 13. 过点与圆相切的直线方程为______________ 14. 已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点，在椭圆上．若，则______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点坐标分别为、、． （1）求的边上的高所在的直线方程． （2）求的面积． 16. 已知圆：（实数）． （1）若直线被圆截得的弦长为，求的值； （2）若过点的圆与圆相切于点，求圆的标准方程． 17. 已知双曲线（，）的左焦点到渐近线的距离为，焦距为4，右顶点为，为上一点，且直线的斜率为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线与双曲线相切于点，求证：平分． 18. 在直角坐标系中，椭圆的左，右顶点分别为，点为椭圆上异于的一个动点，直线分别与直线相交于两点，以为直径的圆与轴交于两点．直线与直线斜率分别记为，． （1）求证：为定值； （2）求四边形面积的最小值． 19. 在直角坐标系中，点到直线的距离比到点的距离大1，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过的直线交曲线于两点，过与直线垂直的直线交曲线于，两点，其中在轴上方，，分别为，的中点． 求证：（ⅰ）直线过定点； （ⅱ）直线，的交点在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $