精品解析：江苏省连云港市东海县2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

2025～2026学年第一学期期中考试 高二数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知离心率为的椭圆与双曲线的焦点相同，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意设椭圆的方程为：，利用离心率为得，进而得，利用椭圆与双曲线的焦点相同即可求解. 【详解】由题意设椭圆的方程为：， 所以，又， 又由椭圆与双曲线的焦点相同， 所以， 所以， 所以椭圆的方程为：， 故选：A. 2. 直线被圆截得的弦长小于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程得圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式结合弦长公式即可求解. 【详解】由题意有：， 所以圆心为，半径为， 由圆心到直线的距离为， 设直线与圆相交与两点， 所以， 所以， 所以，即， 故选：B. 3. 已知椭圆的左顶点为，动点与点的距离是它与坐标原点距离的倍，则与椭圆上点的距离最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据列等式得到动点的轨迹方程，然后结合几何知识得到当在延长线于圆的交点时距离最大，然后计算的最大值即可. 【详解】 由题意得，设， ，即，所以， 整理得， 所以动点在圆心，半径的圆上， 由题意可知，与椭圆上点距离最大时，椭圆上的点要在圆外，设这个点为， 此时最大值 ，所以当最大时最大， 设，则，， 所以当时最大，为， 所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 4. 下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】设与直线平行的直线方程为，，然后由平行直线间的距离公式可得答案. 【详解】由题意，设与直线平行的直线方程为，， 由两平行直线间的距离公式可得，解得或， 故所求直线方程为或． 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 5. 过点与圆相切的直线方程为______________ 【答案】 【解析】 【详解】点满足圆的方程，所以点为切点， 圆的圆心为(0,0)，切点和圆心连线的斜率为：， 所以切线斜率为-1. 方程为：. 故答案为. 6. 已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点，在椭圆上．若，则______ 【答案】 【解析】 【分析】由得，设，，得，，利用椭圆的定义得，，最后利用余弦定理求解，进而求解. 【详解】由题意有：，， 由，所以，设，， 所以，， 由椭圆的定义有：， 所以，， 在中，由余弦定理有①， 在中，由余弦定理有②， 由①②解得：，所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 7. 已知双曲线（，）的左焦点到渐近线的距离为，焦距为4，右顶点为，为上一点，且直线的斜率为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线与双曲线相切于点，求证：平分． 【答案】（1） （2） 由（1）有：，设点， 由，所以，即， 设直线的方程为：，即， 由，即， 所以， 即，又，解得， 所以直线的方程为：， 所以，解得，所以， 所以， 所以， ， 所以，又， 所以，即平分. 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式求得，又由，进而求解； （2）由直线的斜率为求点的坐标，设直线的方程为：，与双曲线联立，由求出，进而求出点，利用向量的夹角公式即可得证. 【小问1详解】 由题意有：，双曲线的渐近线方程为：，即， 由点到直线的距离为：，即， 又焦距，即， 所以， 所以， 所以双曲线的标准方程为：； 【小问2详解】 略 8. 在直角坐标系中，点到直线的距离比到点的距离大1，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过的直线交曲线于两点，过与直线垂直的直线交曲线于，两点，其中在轴上方，，分别为，的中点． 求证：（ⅰ）直线过定点； （ⅱ）直线，的交点在定直线上． 【答案】（1） （2） 设，，，， （ⅰ）设直线的方程为，的方程为，因为直线与直线垂直，所以， 联立得， 则，，，， 所以， 同理可得 当时，：， 即 ， 因为，所以直线的方程为， 故当时，，此时过定点， 当时，由得，此时直线的方程为，同样经过点， 所以直线过定点，该定点为. （ⅱ）由抛物线方程得，， 则：， 同理可得：， 联立得， 即， 由，同理， 故， 所以， 即直线，的交点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）结合抛物线的定义即可求解； （2）（ⅰ）分别联立直线与抛物线、直线与抛物线方程得到点，的坐标，从而得到直线的方程，即可得到直线过定点；（ⅱ）联立直线与的方程得到，即可求证； 【小问1详解】 因为直线和距离为1， 由题意点到直线的距离与到点的距离相等， 由抛物线的定义可得动点的轨迹方程为： 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第一学期期中考试 高二数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知离心率为的椭圆与双曲线的焦点相同，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 直线被圆截得的弦长小于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆的左顶点为，动点与点的距离是它与坐标原点距离的倍，则与椭圆上点的距离最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 4. 下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 5. 过点与圆相切的直线方程为______________ 6. 已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点，在椭圆上．若，则______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 7. 已知双曲线（，）的左焦点到渐近线的距离为，焦距为4，右顶点为，为上一点，且直线的斜率为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线与双曲线相切于点，求证：平分． 8. 在直角坐标系中，点到直线的距离比到点的距离大1，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过的直线交曲线于两点，过与直线垂直的直线交曲线于，两点，其中在轴上方，，分别为，的中点． 求证：（ⅰ）直线过定点； （ⅱ）直线，的交点在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $