专题03 图形的相似6考点（期末真题汇编，湖南专用）九年级数学上学期湘教版

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03图形的相似 考点01比例线段 考点02平行线分线段成比例 考点03相似图形 考点04相似三角形的判定与性质 考点05相似三角形的应用 考点06位似 目目 考点01 比例线段 1.(23-24九上湖南常德五校联考·期中)下列四组线段中，是成比例线段的是（) A.4cm,3cm,4cm,5cm B.10cm,16cm,5cm,8cm C.2cm,4cm,6cm,8cm D.9cm,8cm,15cm,10cm 2.(24-25九上湖南永州新田县·期末)若线段a,b,c,d是成比例线段，且a=1cm,b=2cm,c=4cm, 则d=() A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm 3.2425九上额南邵阳洞口思源中学期末已知，品。=号那么的值为〈） A.君 B.9 c. D. 4.(24-25九上湖南娄底双峰县·期末)已知a,b,c,d是比例线段.若a=5cm,b=4cm,d=8cm,求c的 值() A.4cm B.2.5cm C.8cm D.10cm 5.(24-25九上湖南永州冷水滩区期末)如图，线段AB上的一点P把AB分割为两条线段PA,PB,当满足 器时，则称点P是线段AB的黄金分制点，主持人在养台上主持节目时，站在黄金分制点上，观众看上去感觉 最好，若舞台长18米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上(BP的长 为x米)，则x满足的方程是() A B 1/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.(18-x)2=18x B.x2=18(18-x) C.x(18-x)=182 D.(18-x)2=18x2 6.(24-25九上湖南永州祁阳·期末)己知xy=ab(α，b,x,y均不为零)，则把它改写成比例式后，正确 () A.言=日 B.= c.=8 D.言=9 7.(24-25九湖南岳阳期末)已知号=号，下列结论中，正确的是() A.3p=2q B.pq=6 C.p+q=5 D.2p=3q 8.(2425九上溅南常德初中联盟校期末)已知。-子那么分的值为(） A. B.昌 c. D. 9.(24-25九上湖南娄底第二中学期末)如图，正五角星图案中，若点N是线段BE的黄金分割点，且 BE=2,则BN的长为() A.5-1 B.5+1 C.5-1 D.V5+1 2 10,(24-25九上·湖南湘潭·期末)两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现如图，点P将一条线段AB分割 成长、短两条线段AP、PB,若较短线段与较长线段的长度之比等于较长线段的长度与全长之比，这种分割 称为黄金分割，这个点P叫做线段AB的黄金分割点，主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观 众看上去感觉最好.若舞台AB长20米，主持人从舞台一侧B进入，设她至少走x米(BP的长为x米)时恰好 站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是() A P B A.(20-x)2=20x B.x2=20(20-x) C.x(20-x)=202 D.20x2=20-x 1.Q425九上潮南衡阳衡东县期末)如果。=手那么分=一 12.②425九上潮南永州祁阳期末已知后=号则+书= a 5 2/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.(24-25九上湖南永州道县期末已知51是黄金分割值，点C是线段AB的黄金分割点，且AB=4,AC>BC, 2 则BC的长是 14.(Q425九上潮南湘潭期末在△ABC和△DEF中，器-能-是-台若DE=7cm,EP=5m,PD=8 cm,则△ABC的周长是cm 15.(24-25九上湖南娄底双峰县期末)在生物研究当中，植物学家发现：某些植物在抽枝吐叶时，如果从 这些植物的顶端往下看，当相邻两片叶子之间的夹角恰好将水平面360°分成1：0.618的两部分时，植物的这 种生长已被证实对于叶片的通风和采光最为有利（如图所示）·则相邻两片叶子之间的夹角 是 ·(结果保留一位小数) 目目 考点02 平行线分线段成比例 1.(23-24九上湖南衡阳城区期末)如图，若l1Ⅱ21l3,则下列各式错误的是() D F A.E-器 B.2-8 c.能- D.8-胎 2.(24-25九上湖南株洲炎陵县·期末)如图，直线aIbⅡc,如AB=2,BC=3,EF=1.5,则DF的值为 () A D E F 3/17 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.0.4 B.2.5 C.4 D.4.5 3.(24-25九上·湖南长沙明德教育集团期末)如图，直线L1Il2l3,直线AC和DF被L1,l2,l3所截， AB=2,BC=4,EF=6,则DE的长为（) A D B —13 A.12 B.4 C.3 D.8 4.(24-25九上湖南湘潭·期末)如图，已知ABICDIEF,BD:DF=1:2,AC=3,线段AE的长为() A/B E A,6 B.9 C.12 D.15 5.(24-25九上·湖南衡阳衡东县·期末)如图，△ABC中，DEIBC,EFUAB,下列比例关系错误的是() D B F A.品= B.FC=EC c品- D.- 6.(24-25九上·湖南衡阳常宁.期末)如图，直线allbllc,直线m,n与这三条直线分别交于点A,B,C和点D, E,F.若AB=2,BC=3,DE=3,则EF的长为· mn E 7.(2425九上湖南益阳·期末)如图，已知AB ICD II EF,AC=2,BD:DF=1:3,则CE= 4/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 目目 考点03 相似图形 1.(24-25九上湖南永州祁阳期末)下列图形一定相似的是(） A,两个平行四边形 B,两个矩形 C,两个等腰三角形 D,两个等边三角形 2.(24-25九上湖南娄底双峰县·期末)如图，已知两个四边形相似，则可以确定《= x= 8 4 450P 450D 135 4 120° 3.(23-24九上·湖南永州零陵区期末)若两个相似多边形的周长分别为6cm和9cm,若较小多边形的面积为8 cm2,则较大多边形的面积为cm2 4.(23-24九上·湖南娄底双峰县·期末)如图，在矩形ABCD中，AB=1,CB=2,连接AC,以对角线AC为边， 按逆时针方向作矩形ACC1B1,使矩形ACC1B1相似于矩形ABCD;再连接AC1,以对角线AC1为边，按逆时针 方向作矩形AC1C2B2,使矩形AC1C2B2相似于矩形ACC1B1；按照此规律作下去.若矩形ABCD的面积记作 S1,矩形ACC1B1的面积记S2,矩形AC1C2B2的面积记作S3,,则S2023的值为 5/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点04 相似三角形的判定与性质 1.(24-25九上·湖南永州新田县期末)已知△ABC一△DEF,若∠A=40°，∠E=60°，则∠F的度数为() A.55 B.60 C.65° D.80° 2.(24-25九上·湖南永州祁阳·期末)如图，在△ABC中，D,E分别是边AB,AC上的点，且DE II BC,若△ADE 的面积与△ABC的面积比为4：9，则DB:AD=() D E B A.1:2 B.2:1 C.13 D.23 3.2425九上湖南永州新田县期末如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，且福-2=则S△ADE :S四边形BCED的值为() A D A.13 B.9:49 C.9:40 D.19 4.(24-25九上湖南衡阳衡东县·期末)如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于 点H,若AB=9,CE=3,则DH的长为() A.2 B.3 C.2 D. 5.(24-25九上湖南永州祁阳·期末)如图，正方形ABCD中，E为BC中点，连接AE,DF⊥AE于点F,连接 CR,FG1CF交AD于点G,下列结论：①CF=CD,②△DCF-△AGf,③器=号④△AGF为正三角形， 6/17 而学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 其中正确结论有() B E A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.(24-25九上·湖南衡阳耒阳·期末)如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角 三角形ADE,CD与BE,AE分别交于点P,M.对于以下结论：①△BAE一△CAD;②MP.MD=MAME;③ ∠CPB=45°.其中正确的个数有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 7,(24-25九上湖南永州新田县·期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，斜边上的高AD交BC于点D,若 BD=9,CD=6,则AD的长度等于 8.(24-25九上·湖南邵阳洞口思源中学期末)如图所示，一正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AE平 分∠DAC交BD于点F,若CE=4,则线段OF的长为· E 9.(24-25九上·湖南长沙雅礼集团期末)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E,过点E作EF⊥BC 于点F,AC=10,∠CAB=90°，按以下步骤作图：分别以点A,F为圆心，大于AF的长为半径作弧，两弧 7/17 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 交于点P,Q,作直线PQ,若点B,E在直线PQ上，且AEEC=2:3,则BC的长为· 10.(24-25九上·湖南永州祁阳期末)如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”， 它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD点P,Q分别在AE,CG上， 满足PF NAB I HQ,若EH=2PE,则%- ⊙ 11.(24-25九上·湖南衡阳常宁.期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD1AB于D. (I)求证：△ABC一△ACD; (2)若AC=6,AD=4,求AB的长. 12.(24-25九上·湖南永州冷水滩区·期末)如图，在△ABC中，D是边AB上一点，∠BDC=∠BCA. (I)求证：△BDC一△BCA; (2)若BC=3,AB=6,△BCD的面积为5，求△ABC的面积， 13,(24-25九上·湖南衡阳衡东县·期末)如图，在矩形ABCD中，已知AD>AB.在边AD上取点E,连结 CE.过点E作EF⊥CE,与边AB的延长线交于点F. 8/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D (I)证明：△AEF一△DCE. (2)若AB=4,AD=14,DE=8,求线段AF的长. 14.(24-25九上湖南邵阳洞口思源中学期末)如图，矩形ABCD中，AB=40,BC=20,点P为AB边上一 动点，DP交AC于点O. B (I)求证：△APO~△CD0; (2)点P从点A出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒，试问：当t为何值时， DP⊥AC? 15.(24-25九上湖南永州新田县期末)综合与实践如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》 时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”，如图2，在 △ABC中，∠A=90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,作DE1AB交AB的延长线于点E, 朱实 朱实 黄实 朱实 朱实 B 图1 图2 图3 (I)【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是 (2)【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F,若AB=1,AC=3,求△BDF的面积； (③)【拓展延伸】在(2)的条件下，连接CE咬BD于点N,则器= 目目 考点05 相似三角形的应用 1,(23-24九上湖南衡阳祁东县期末)如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记 9/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 为点A,再在河的这一边选点B和点C,使得AB⊥BC,然后再在河岸上选点E,使得EC⊥BC,设BC与AE 交于点D,测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，那么这条河的大致宽度是() A.120米 B.100米 C.75米 D.25米 2.(23-24九上·湖南岳阳岳阳楼区·期末)大约在2400年前，墨子与其弟子做了历史上第1个小孔成像的实 验，如图1.并在《墨经》中记载：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如图2所示的小孔成像实验中， 若物距为20cm,像距为30cm,蜡烛火焰倒立的像的高度是12cm,则蜡烛火焰的高度是（) 图1 图2 A.6cm B.8cm C.9cm D.10cm 3.(24-25九上湖南常德初中联盟校期末)《九章算术》是我国古代数学的经典著作，里面的大量数学问题 充分体现了我国古代人的聪明智慧.《九章算术》中有一个问题专门记载了一种测量古井水面以上部分深 度的办法，如图所示，在井口A处立一垂直于井口的木杆AB,从木杆的顶端B观测井水水岸D,视线BD与 井口的直径CA交于点E,若测得AB=1米，AC=2米，AE=0.5米，则水面以上深度CD为() B D A.4米 B.3米 C.3.2米 D.3.4米 4.(23-24九上·湖南娄底双峰县·期末)如图所示，某同学用如下方法测量数学楼AB的高度，在水平地面上放 一面平面镜，镜子与教学楼的距离EA=21m,当他与镜子的距离CE=2.5m时，他刚好能从镜子中看到教 10/17 专题03 图形的相似 考点01 比例线段 考点02 平行线分线段成比例 考点03 相似图形 考点04 相似三角形的判定与性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 地 城 考点01 比例线段 1．(23-24九上·湖南常德五校联考·期中)下列四组线段中，是成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了成比例线段，深刻理解成比例线段的概念是解题的关键：在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据成比例线段的概念，通常情况下，让最小的和最大的相乘，另外两条也相乘，看它们的积是否相等即可判断它们是否成比例．按照成比例线段的判断方法逐项分析判断即可． 【详解】A.，∴四条线段不成比例，故不符合题意； B.，∴四条线段成比例，故符合题意； C.，∴四条线段不成比例，故不符合题意； D.，∴四条线段不成比例，故不符合题意； 故选择：B 2．(24-25九上·湖南永州新田县·期末)若线段，，，是成比例线段，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了成比例线段，理解成比例线段的定义和性质是解题关键．根据题意可得，然后代入数值并求解，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，线段，，，是成比例线段，且，，， 则有，即， 解得． 故选：D． 3．(24-25九上·湖南邵阳洞口思源中学·期末)已知，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 4．(24-25九上·湖南娄底双峰县·期末)已知a，b，c，d是比例线段．若，求c的值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了成比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义．由a、b、c、d四条线段是成比例的线段，根据成比例线段的定义计算即可． 【详解】解∶因为a，b，c，d是成比例线段，， 可得：， 故选：D． 5．(24-25九上·湖南永州冷水滩区·期末)如图，线段上的一点把分割为两条线段，，当满足时，则称点是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割，掌握相关知识是解决问题的关键．的长为米，则长为米，根据列方程即可． 【详解】解：的长为米，则长为米， 根据得： ， ∴． 故选：A． 6．(24-25九上·湖南永州祁阳·期末)已知（a，b，x，y均不为零），则把它改写成比例式后，正确（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例性质，两外项之积等于内项之积，解答即可． 本题考查了比例性质，是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 只有得到，其余都不成立， 故选：D． 7．(24-25九·湖南岳阳·期末)已知，下列结论中，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质：内项之积等于外项之积，是解此题的关键．根据比例的性质分别判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴只有选项A符合题意． 故选：A． 8．(24-25九上·湖南常德初中联盟校·期末)已知，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查比例的性质，根据可得，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 整理得，， ∴， 故选：B． 9．(24-25九上·湖南娄底第二中学·期末)如图，正五角星图案中，若点是线段的黄金分割点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割的比值是解题的关键． 根据黄金分割点的定义得到，代入数据即可得出的长度． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且， ∴，即 ∴． 故选：C． 10．(24-25九上·湖南湘潭·期末)两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，点将一条线段分割成长、短两条线段、，若较短线段与较长线段的长度之比等于较长线段的长度与全长之比，这种分割称为黄金分割，这个点叫做线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走米（的长为米）时恰好站在舞台的黄金分割点上，则满足的方程是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键．根据题意得到，则即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，点是的黄金分割点，且， ，故， ， 故， 故选A． 11．(24-25九上·湖南衡阳衡东县·期末)如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质解答即可求解，掌握比例的性质是解题的关键 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．(24-25九上·湖南永州祁阳·期末)已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质．由可设，代入计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴可设， ∴ 故答案为：． 13．(24-25九上·湖南永州道县·期末)已知是黄金分割值，点是线段的黄金分割点，且，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是黄金分割，根据黄金比值是计算即可．正确记忆将线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割是解题关键． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ， 故答案为：． 14．(24-25九上·湖南湘潭·期末)在和中，，若，，，则的周长是 ． 【答案】25 【分析】本题考查了比的性质，利用比的性质求出，，，即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴，，， ∴的周长是， 故答案为：． 15．(24-25九上·湖南娄底双峰县·期末)在生物研究当中，植物学家发现：某些植物在抽枝吐叶时，如果从这些植物的顶端往下看，当相邻两片叶子之间的夹角恰好将水平面分成的两部分时．植物的这种生长已被证实对于叶片的通风和采光最为有利（如图所示）．则相邻两片叶子之间的夹角是 ．（结果保留一位小数） 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质．根据邻两片叶子之间的夹角恰好将水平面分成的两部分，列式计算即可． 【详解】解：根据题意，相邻两片叶子之间的夹角是： 故答案为：． 地 城 考点02 平行线分线段成比例 1．(23-24九上·湖南衡阳城区·期末)如图，若，则下列各式错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由平行判断成比例的线段，解题关键是正确列出比例式． 根据由平行判断成比例的线段，正确列出比例式，再对四个式子逐一作出判断． 【详解】解：∵， ∴，，， 不能推得，故A、B、C正确，D错误， 故选：D． 2．(24-25九上·湖南株洲炎陵县·期末)如图，直线 ，如，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握定理内容并熟练应用是关键；由平行线分线段成比例定理得，即可求解． 【详解】解：∵ ，，， ∴，， ∴； 故选：B． 3．(24-25九上·湖南长沙明德教育集团·期末)如图，直线，直线和被，，所截，，则的长为（   ） A．12 B．4 C．3 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出的比例式是解此题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【详解】解：直线， ， ∵， ， ， 故选C． 4．(24-25九上·湖南湘潭·期末)如图，已知，，，线段的长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，求出，即可求解． 【详解】解：∵, ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．(24-25九上·湖南衡阳衡东县·期末)如图，中，，，下列比例关系错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行线分线段成比例定理相似三角形的判定定理，在解答时寻找对应线段是关键．根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵， ∴，选项A正确，不符合题意； ∵， ∴， 即，选项B正确，不符合题意； ∵，， ∴，选项C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，选项D错误，符合题意． 故选：D． 6．(24-25九上·湖南衡阳常宁·期末)如图，直线，直线，与这三条直线分别交于点，，和点，，．若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到，代入数据即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， 即， ， 故答案为：． 7．(24-25九上·湖南益阳·期末)如图，已知，，，则 ． 【答案】6 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，代入数值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴ ∴ 故答案为；6 地 城 考点03 相似图形 1．(24-25九上·湖南永州祁阳·期末)下列图形一定相似的是（   ） A．两个平行四边形 B．两个矩形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑． 根据相似图形的定义，边对应成比例，角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答． 【详解】解：A、两个平行四边形边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误； B、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误； C、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误； D、两个等边三角形，形状相同，大小不一定相同，符合相似的定义，故本选项正确． 故选：D． 2．(24-25九上·湖南娄底双峰县·期末)如图，已知两个四边形相似，则可以确定 ， ． 【答案】 /度 【分析】本题主要考查了相似图形的性质，熟知相似图形对应边成比例，对应角相等是解题的关键．根据相似图形对应边成比例，对应角相等进行求解即可． 【详解】解：∵两个四边形相似， ∴， ∴， 故答案为：，． 3．(23-24九上·湖南永州零陵区·期末)若两个相似多边形的周长分别为和，若较小多边形的面积为，则较大多边形的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质：相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：若两个相似多边形的周长分别为和， 两个相似多边形的周长比是， 两个相似多边形的相似比是， 两个相似多边形的面积比是， 较小多边形的面积为， ∴较大多边形的面积为． 故答案为：． 4．(23-24九上·湖南娄底双峰县·期末)如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去. 若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质.解题的关键是根据已知和矩形的性质可分别求得，再利用相似多边形的性质可发现规律. 【详解】∵四边形是矩形， ， ， ∵按逆时针方向作矩形的相似矩形， ∴矩形的边长和矩形的边长的比为， ∴矩形的面积和矩形的面积的比, 故答案为：. 地 城 考点04 相似三角形的判定与性质 1．(24-25九上·湖南永州新田县·期末)已知，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的对应角相等得到，再根据三角形内角和求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．(24-25九上·湖南永州祁阳·期末)如图，在中，D，E分别是边AB，AC上的点，且，若的面积与的面积比为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质．解题关键掌握两个相似三角形的面积之比是边长之比的平方． 由，得，根据相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵的面积与的面积比为， ∴， ∴， ∴ 故选：A. 3．(24-25九上·湖南永州新田县·期末)如图，在中，点，分别在边，上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解此题的关键．易证，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，继而求得答案． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴， 故选C. 4．(24-25九上·湖南衡阳衡东县·期末)如图，正方形的顶点在正方形的边上，与交于点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意得出，，，，得到，可证，得到，计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ，，，， ，， ， ， ， ， 故选：D ． 5．(24-25九上·湖南永州祁阳·期末)如图，正方形中，为中点，连接，于点，连接，交于点，下列结论：①；②；③；④为正三角形，其中正确结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 过点C作于点M，可证得，可得，再证明，可得，故①正确；分别证得，，可得，即G为中点，再根据，可得，故②正确；设，则， 分别求出，，进一步即可判断③和④． 【详解】解：如图，过点C作于点M， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即G为中点， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，故②正确； 设，则， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，不是等边三角形，故③错误，④错误； 综上可知，①②正确，③④错误， 故选：B 6．(24-25九上·湖南衡阳耒阳·期末)如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形与分别交于点．对于以下结论：①；②；③．其中正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判断，等腰直角三角形的性质，理解等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质是解答关键． ①由等腰直角和等腰直角三边份数关系可证；②通过等积式倒推可知，证明即可；③根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：，是等腰直角三角形， ，， ． ∵， ∴， ∴， 所以①正确； ∵， ∴． ∵， ∴， ， ∴， 所以②正确； 设与相交于， 则． ∵， ∴， ∴． 是等腰直角三角形， ， ， 所以③正确． 综上所述，正确的有3个． 故选：D. 7．(24-25九上·湖南永州新田县·期末)如图，在中，，斜边上的高交于点，若，，则的长度等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，则，即，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：解：由题意知，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，或（舍去）， 故答案为：． 8．(24-25九上·湖南邵阳洞口思源中学·期末)如图所示，一正方形的对角线与相交于点，平分交于点，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、角平分线性质来求解．通过作辅助线构造相似三角形，利用正方形边长与对角线的关系、角平分线性质以及相似三角形的对应边成比例关系求解线段长度．过点作交的延长线于点，设，根据正方形的性质可得，，根据平分和，可得，，，进而可得求得，再根据求得，即可得到． 【详解】解：过点作交的延长线于点，如图所示： 四边形是正方形， 设，，， 在中，由勾股定理得：， ， 平分， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 9．(24-25九上·湖南长沙雅礼集团·期末)如图，在四边形中，对角线与交于点，过点作于点，，，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，作直线，若点，在直线上，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，．由题意得，，则，由勾股定理得．证明，可得，代入求出的值即可． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， 点，在直线上， ，． ，， ，， ． ， ． 在中，由勾股定理得，． ，， ， ，即， ． 故答案为：． 10．(24-25九上·湖南永州祁阳·期末)如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形点分别在，上，满足，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判断和性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 设，则，设，则，，证明，得出比例线段求出，从而可求得求出，再证明得到，进而得到，，再推出，进而得解． 【详解】解：设，则，设，则， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 解得， 设与交于点， 由全等可知， ， ，， ， ， ， ∴， ， ， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 11．(24-25九上·湖南衡阳常宁·期末)如图，在中，，于． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用“两角对应相等，两个三角形相似”证出． （1）由两直角相等结合，即可证出； （2）根据相似三角形的性质即可求出的长． 【详解】（1）证明：，于， ． ， ； （2）解：， ，即， ． 12．(24-25九上·湖南永州冷水滩区·期末)如图，在中，是边上一点，． (1)求证：； (2)若，，的面积为5，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质等知识﹒ （1）根据“有两个角相等的两三角形相似”即可证明； （2）根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”得到，即可求出． 【详解】（1）解：，， （2）解：，， ， ． 13．(24-25九上·湖南衡阳衡东县·期末)如图，在矩形中，已知．在边上取点，连结．过点作，与边的延长线交于点． (1)证明：． (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据矩形得到，利用同角的余角相等证明，即可证明相似； （2）根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形 ， 。 ， ， ； （2）解：四边形是矩形 由（1）知： 即： ． 14．(24-25九上·湖南邵阳洞口思源中学·期末)如图，矩形中，，点P为边上一动点，交于点O．    (1)求证：； (2)点P从点A出发沿边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒，试问：当t为何值时，？ 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）根据平行线的性质，得到等角，证明； （2）证明解答即可． 本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，, 故 ， 又， 故， 故， ， 解得． 15．(24-25九上·湖南永州新田县·期末)综合与实践：如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是__________； (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； (3)【拓展延伸】在（2）的条件下，连接交于点，则_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可求解； （2）根据（1）的方法证明，进而证明，求得，则，然后根据三角形的面积公式，即可求解； （3）过点作于点，证明得出，证明，设，则，代入比例式，得出，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵且， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵且， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， 即：， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴． 地 城 考点05 相似三角形的应用 1．(23-24九上·湖南衡阳祁东县·期末)如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得，然后再在河岸上选点E，使得，设与交于点D，测得米，米，米，那么这条河的大致宽度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故选：B． 2．(23-24九上·湖南岳阳岳阳楼区·期末)大约在2400年前，墨子与其弟子做了历史上第1个小孔成像的实验，如图1．并在《墨经》中记载：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，记住相似三角形对应高的比等于相似比．直接利用相似三角形的对应边成比例解答． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形对应高的比等于相似比得到：． 解得． 即蜡烛火焰的高度是， 故选：B． 3．(24-25九上·湖南常德初中联盟校·期末)《九章算术》是我国古代数学的经典著作，里面的大量数学问题充分体现了我国古代人的聪明智慧．《九章算术》中有一个问题专门记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口A处立一垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观测井水水岸，视线与井口的直径交于点，若测得米，米，米，则水面以上深度为（    ） A．4米 B．3米 C．3.2米 D．3.4米 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据已知可得米，再根据题意可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：∵米，米， ∴（米）， 由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：米， 故选：B． 4．(23-24九上·湖南娄底双峰县·期末)如图所示，某同学用如下方法测量数学楼的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离，当他与镜子的距离时，他刚好能从镜子中看到教学楼顶端，已知他眼睛距地面的高度为，则救学楼的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先根据题意得出 ，再由相似三角形的对应边成比例计算是解题的关键． 【详解】解:依据题意,得 ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴，即， ∴ ， 故选A． 5．(24-25九上·湖南株洲炎陵县·期末)在综合实践课上，孔明同学设计了如图测量河塘宽的方案：在河塘外选一点，连接，，测得，，延长，分别到，两点，使，，有测得，则河塘宽 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的应用；由题意得，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， 即，且， ∴， ∴， ∴ 即河塘宽； 故答案为：． 6．(24-25九上·湖南娄底双峰县·期末)如图，某宣传栏后面处植有与宣传栏平行的6棵树，即，且相邻两棵树干之间的间隔均为．一人站在宣传栏前面的点A处正好看到两端的树干，其余的4棵树均被宣传栏挡住．已知，求得宣传栏的长（不计宣传栏的厚度）为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形性质的应用——植树问题．解题时关键是熟练掌握相似的三角形的判定和性质，树的棵数与间隔数的关系．根据，得到，根据题意求得，再根据相似三角形的相似比等于对应高的比即可求解宣传栏的长度， 【详解】解：如图，设的延长线交于点G，   ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 根据题意：， ∴， ∴， 故答案为：． 7．(23-24九上·湖南邵阳·期末)如图，是平面镜，光线从A点出发经上点O反射后照射到B点，若入射角为，反射角为（反射角等于入射角），于点C，于点D，且，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正切等知识点，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．先根据平行线的判定与性质可得，，从而可得，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得的长，然后根据正切的定义即可得． 【详解】解：如图， 由题意得：， 又， ， ， 同理可得：， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 8．如图，小明把手臂水平向前伸直，手持直尺竖直放置，瞄准直尺的两端，，不断调整站立的位置，在点处恰好能看到铁塔的顶部和底部．设小明的手臂长，直尺长，点到铁塔底部的距离，求铁塔的高度． 【答案】铁塔的高度为． 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，审清题意、正确构建相似三角形成为解题的关键． 如图：作于H，交EF于P，则，，证明，然后利用相似比计算出即可． 【详解】解：如图：作于H，交EF于P，则，， ∵， ∴， ∴，即，解得：． 答：铁塔的高度为． 9．(24-25九上·广东佛山德区镇街联考·期中)顺德华侨城景区，目前已经成为广佛地区最受欢迎的景区之一，其中顺德眼摩天轮更加成为热门打卡点．某实践小组欲测量顺德眼的高度，过程见下表． 主题 打卡顺德文旅地标，测量“顺德眼”的高度 测量方案及示意图    测量步骤 步骤1：把长为3米的标杆垂直立于地面点处，顺德眼最高点和标杆顶端确定的直线交水平线于点，测得米． 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点处，最高点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米．（以上数据均为近似值） 根据表格信息，求顺德眼的大致高度． 【答案】米 【分析】此题考查相似三角形的应用和解分式方程，关键是根据相似三角形的判定和性质得出边的大小解答．证明和得到对应边成比例，列方程解决即可． 【详解】解：，， ， ， 同理：， ， ， ， 米，米，米， ， 米， 经检验，是原方程的解， ， 米， 飞虹塔的大致高度是99米． 地 城 考点06 位似 1．(24-25九上·湖南永州冷水滩区·期末)下列图形中是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似图形的识别，对应点连线交于一点的两个相似图形是位似图形，据此求解即可． 【详解】解：A、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； B、对应点连线交于一点，且两个三角形是相似三角形，是位似图形，符合题意； C、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； D、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； 故选：B． 2．(24-25九上·湖南张家界桑植县·期末)如图， 与是位似图形，点是位似中心，若，且的面积为1，则的面积为 （   ） A．2 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题涉及位似图形的概念和性质，位似图形是特殊的相似图形，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题关键． 先根据已知的对应点到位似中心的距离之比得出相似比，再根据相似三角形面积比与相似比的关系求出的面积． 【详解】解： 与是位似图形， ，， ， ∵， ， 的面积为1， ． 故选：B． 3．(24-25九上·湖南衡阳常宁·期末)如图，已知与位似，位似中心为，且的面积与的面积之比是，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求两个位似图形的相似比，相似三角形的判定与性质综合等知识点，根据位似图形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，进而可证得，于是可得，即可得出答案，熟练掌握位似图形的性质以及相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解： 与位似，位似中心为， ，， 的面积与的面积之比是， 与的相似比是， 即， ， ， ， 故选：A． 4．(24-25九上·湖南益阳·期末)如图，与位似，点为位似中心，点在边上．若，，则等于（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要查了位似图形性质，相似三角形的判定和性质．根据位似图形性质，相似三角形的判定证明，得到，则，即可解题． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心， ，， ，， ， ∵， ， ， ∴ ∵， ． 故选：C． 5．(24-25九上·湖南永州新田县·期末)如图，已知与位似，且与的周长之比为，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，正确求出对应的位似比是解题的关键． 根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，即可求得答案． 【详解】解：∵与位似，且与的周长之比为， ∴与的位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 故选：B． 6．(24-25九上·湖南怀化·期末)如图，在平面直角坐标系中，，，以坐标原点为位似中心，位似比为2，将在第一象限内放大，则点的对应点坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据位似图形的性质进行解答即可． 【详解】以坐标原点为位似中心，将在第一象限内放大2倍， ，即． 故选A． 7．(24-25九·湖南岳阳·期末)在平面直角坐标系内，的顶点分别为，，，以点为位似中心，在第一象限作与位似，如图，位似比为，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换，根据题意可得点的坐标等于点的横纵坐标，据此即可求解，掌握点的坐标的位似变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心，位似比为，， ∴点的坐标等于点的横纵坐标， ∴， 故选：． 8．(24-25九上·湖南衡阳八中教育集团初中校·期末)如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，的面积为，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形判定与性质，利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比相似比的平方，解题的关键是理解题意，灵活运用相似三角形的性质． 【详解】解：∵和位似， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为． 故答案为：． 9．(24-25九上·湖南邵阳洞口思源中学·期末)如图所示，四边形与四边形位似，位似中心为点O，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据题意可得位似比为，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形与四边形位似，位似中心为点O， ∴， 故答案为：． 10．(24-25九上·湖南岳阳云溪区云溪十校联考·期末)在平面直角坐标系中，已知、两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为，把线段缩小后得到线段，则的长度等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理和位似变换的知识，先根据勾股定理算出，再根据对应线段成比例计算即可． 【详解】解：∵、， ∴， 又相似比为， ∴， ∴． 故答案为． 11．(24-25九上·湖南常德初中联盟校·期末)如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，且与位似，原点O是位似中心，则与的面积比为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据已知点的坐标得出 是解题关键． 根据位似图形的性质得出的长，进而得出 ，然后相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【详解】解：∵与位似，原点O是位似中心，，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 12．(24-25九上·湖南衡阳城区初中联考·期末)如图，与位似，位似中心为点，且，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查位似图形及其性质．先求出两个三角形的相似比，再根据面积之比等于相似比的平方，即可得出答案． 【详解】解： ， ， 与是位似图形， ，， ， ， 故答案为：． 13．(24-25九上·湖南株洲攸县·期末)在平面直角坐标系中，已知点，以坐标原点为位似中心，将放大为原图形的2倍，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 根据位似变换的定义，即可得到答案． 【详解】解：以坐标原点为位似中心，将放大为原图形的倍，点的坐标为， ∴点的对应点的坐标是或， 即或． 故答案为：或 ． 14．(24-25九上·湖南娄底双峰县·期末)在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．以坐标原点O为位似中心，将放大，记所得三角形为，若点A的对应点的纵坐标为，求点的横坐标为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查位似图形的对应点，关键在于原点的位似图形，要注意方向和扩大的倍数． 【详解】解：∵三个顶点的坐标分别为．以原点为位似中心，将这个三角形放大后点A的对应点的纵坐标为，即， ∴点的横坐标为． 故答案为：． 15．(24-25九上·湖南岳阳平江县·期末)如图，在平面直角坐标系中，以为位似中心，将边长为的等边三角形作次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，经第二次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，经第三次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，…，按此规律，经第次变换后，所得等边三角形的顶点的坐标为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换、点的坐标变换规律．首先根据变换的规律依次计算出点、、的坐标，从中找出坐标变换的规律，根据规律得到的值即可． 【详解】解：第一次变换后，点的坐标为， 第二次变换后，点的坐标为， 第三次变换后，点的坐标为， ， 第次变换后，点的坐标为， 等边三角形的顶点的坐标为， ， 解得：． 故答案为： ． 16．(24-25九上·湖南郴州·期末)如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出以原点为位似中心，将在第一象限内放大2倍的； (2)分别写出三个点的坐标； (3)设与的面积分别为求的值 【答案】(1)图见解析 (2)，，， (3) 【分析】本题主要考查了位似图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）连接原点与各个顶点，并将各连线延长倍后，得到，，，连接各端点即可得到． （2）令各个顶点横纵横坐标分别乘，即可得到的三个顶点坐标． （3）根据位似比的平方是面积比，即可得出结果． 【详解】（1）解：如图：即为所求， （2）解：∵三个顶点的坐标分别为，，，是以原点为位似中心，将在第一象限内放大2倍得到的， ∴的三个点的坐标分别为，，， （3）解：∵是以原点为位似中心，将在第一象限内放大2倍得到的， ∴与的位似比是， ∴与的面积比为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $