专题04 锐角三角函数5考点（期末真题汇编，湖南专用）九年级数学上学期湘教版

学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专题04锐角三角函数 考点01正弦和余弦 考点02正切 考点03特殊角三角函数值的混合运算 考点04解直角三角形 考点05解直角三角形的应用 考点01 正弦和余弦 1.(24-25九上·湖南张家界桑植县·期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25,AC=7,则sinB 等于() 25 7 B 7 A.24 B.31 7 C.25 4 24 D.25 2.(24-25九上湖南衡阳衡东县·期末)在△ABC中，∠C=90°，BC=2,SinA= 2 则边AB的长是( A.2 B.13 C.3 D.5 3.(24-25九上·湖南株洲渌口区、芦淞区·期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6,AB=8,则sinA 的值为() B. 5-3 c 4 D. 4.(24-25九·湖南岳阳·期末)如右图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,AB=10,则cosA=(() B 1/18 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 B.3 e D 5.(24-25九上·湖南常德初中联盟校·期末)如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是直角边AC上一点， MN⊥AB于点N,AN=3,AM=4,则sinB的值为() A M B □ 3 A. 4 B. 7 D. 4 6.(24-25九上·湖南湘潭·期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,AC=4,则cosB=(() 3 A. 3 B. 5 C.3 D.4 7.(24-25九上·湖南郴州期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4,AB=5,则sinA等于() B A.4 B.3 3 c.3 4 D.5 8425充上南商用帝宁男在△8C市，A.∠C率是锐角：sC-引空-smA-0 则∠B的度数为() A.30° B.60° C.90° D.120° g.425水阳在△ABC中，若cosA号HR3-tnB=0,则LCE○ 0.24-25九上湖南永州新田县期末在△ABC中，∠C=90,若tanA=专，则sinA=( 2/18 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 2425九上湖南益阳期末如图，在Rt△ABC中，∠C=90,sinA=,BC=3,则AB=元 B 3 12.(24-25九湖南岳阳·期末)在矩形ABCD中，AD=3,AB=1,如图，以点D为圆心，以合适的长为 半径作弧，分别交边CD,对角线BD于点E,F:分别以E,F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧 在∠BDC内交于点N,作射线DN交BC于M点.则sin∠BDM的值为_ A D E /M 13.(24-25九上·湖南怀化五县六校联考·期末)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90° A (I)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作△ACD,使得△ACD是以AC为底的等腰三角形，且点D在 AB延长线上.（不写作法，保留作图痕迹） (2)在(1)的条件下，己知：AB=3,BC=4,求△ACD的底边上的高及sin∠DCB的值. 目目 考点02 正切 1.(24-25九上·湖南永州冷水滩区·期末)下列三角函数值是有理数的是() A.sin30° B.cos45° C.sin60 D.tan30 2.(24-25九上·湖南邵阳洞口思源中学·期末)△ABC中，若∠C>90°，∠A=30°，下列各式成立的是 () 3/18 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A.sin B=- 2 B.cosA=1 C.tan A=3 D.snA=号 3.(24-25九上·湖南永州新田县·期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=4,则tanB的值 为() B g昌 c D. 3 4.(24-25九上湖南衡阳城区初中联考·期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,AC=2,则tanA的 值是() 4.2 B. 25 c.2 D.2 5.(24-25九上·湖南常德澧县·期末)将Rt△ABC的斜边和直角边都扩大到原来的n倍，那么锐角A的三角 函数值() A.都扩大到原来的n倍 B.都缩小到原来的 n C.没有变化 D.只有tanA发生变化 6.(24-25九上·湖南岳阳云溪区云溪十校联考·期末)如图，在直角坐标系中，点A坐标是8,12，则tana的 值是() B. e号 D.73 12 7.(24-25九上·湖南怀化期末)如图，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点上，则 4/18 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 tan∠ABC 的值为()B A B.3 c 4 D.5 8.(24-25九上·湖南益阳·期末)如图，在6×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，A,B,C均在 格点（小正方形的顶点）上，则tan∠ACB的值为() A.1 B月 C. D.25 5 5 9.2425九上湖南永州蓝山县期未在Rt△ABC中，已知∠C=90°，sinA-子，则amB的值是一 10.(24-25九上·湖南衡阳常宁·期末)如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=10,点E在DC上，将矩形 ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么tan∠EFC=元一· F D 11.(24-25九上·湖南湘潭·期末)如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，顶点A,B分别在反比例函数 y=x>0与y=-3x<0的图象上，则∠BAO的正切值为_. 5/18 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 12.(24-25九上·湖南长沙开福区青竹湖湘一外国语学校·期末)如图，正方形ABCD中，AB=12,点E在 边CD上，且am∠DAE=号将△ADE沿AEx对折至△AFE,延长EF交边BC于点C,连接AC、CF. D (1)求证：△ABG≌△AFG: (2)求tan∠FCE的值. 考点03 特殊角三角函数值的混合运算 1.24-25九上湖南期末)计算：3tan30-1 +V8cos45°+(1-tan60°2 C0s60° 2.计算：tan60cot30+tan45° cot45°+2sin450+2c0s60°-1. 3.24-25九上湖南湘西士家族苗族龙山县红岩溪镇初级中学期末计算：一5-4sn60+12+-3 。2425九上调商菱底第中2期末计红尽3-2-π+2024'+2sn604号 5.(24-25九上·湖南常德桃源县文昌中学·期末)计算：2cos260+sin30°tan45°-sin235°-cos235° 6.(24-25九上·湖南永州祁阳·期末)计算：m-1)°+3-1+2sin45°-V8-2c0s30° 6/18 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 7.(24-25九上湖南衡阳常宁.期末)计算：27-3tan30°+3-π°+cos60°1 8.(24-25九上·湖南常德临澧县·期末)计算：-12025-2sin45°+tan60°-10 9.(24-25九上湖南益阳·期末)计算：2cos45°-1-2V2sin30°+-22 10.(24-25九·湖南岳阳·期末)计算：（π+3°-2cos30°+-tan60+-12025 11.(24-25九上-湖南湘潭·期末)计算：-12024+2cos30°+2024-π0-2tan45° 目目 考点04 解直角三角形 1.(24-25九上·湖南株洲炎陵县·期末)Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=10, cosA= 4 则AC的长为 () A.5 B.6 C.7 D.8 2.24-25九上·湖南衡阳船山实验中学期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=3 则sinA的值是 () 3 c 5 D.3 3.(24-25九上湖南郴州期未如图，在R△ABC中，∠C=90,c0SA=号，BC=5,则AB的长为 3 () 4 B A.2 B.3 c D.3V5 7/18 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 4.23-24九上湖南永州蓝山县期末如图在菱形ABCD中，DE⊥AB,cosA=3,BE=2,则an∠DBE 5 的值() B A. B.2 c 5 2 D. 2 5 5.(24-25九上·湖南怀化五县六校联考·期末)已知直角三角形纸片ABC的两直角边长分别是6,8，现将 △ABC按如图所示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE,则cOs∠CBE的值是() 6 8 B A.5 V7 24 B. C.25 3 D.3 6.(24-25九上·湖南常德桃源县文昌中学·期末)阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦 值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题.余弦 定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,则三角形中任意一边的平 方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍.用公式可描述为： a2=b2+c2-2bccos A b2=a2+c2-2accos B c2=a2+b2-2abcosC 现已知在△ABC中，AB=2,AC=6,∠B=60°，则BC等于() A.1+13 B.1+33. C.33 D.23 7.在△ABC中，∠A为钝角，若AB=10,AC=27,∠B=30°，则△ABC的面积等于一 8.2425九上湖南岳阳平江县期末在△ABC中，∠C=90,若anA=号.则snA=。 4 9.24-25九：湖南岳阳：期末)如图，直线OP过点3，t,且tana=3则t=6一， 8/18 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 10.(24-25九上·湖南衡阳常宁·期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC,垂足为D.给出 下列四个结论：①sina=sinB;②sinB=sinC;③sinB=cosC;④sina=sinB.其中错误的结论有_一 11.(24-25九上·湖南永州蓝山县·期末)阅读与思考. 请仔细阅读并完成相应的任务. 利用我们所学习的三角函数的相关知识可以解决许多关于三角形边长、角度、面积等问题.如图，在锐角 △ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,bC,过点B作BH⊥AC于点H,则co5A=A=AH, BA c 即AH=c·cosA,于是CH=b-C·CosA.在Rt△ABH中，BH=AB2-AH,在Rt△BHC中， BH2=BC2-CH2,∴.c2-c2cos2A=a2-b-c.cosA2,整理得a2=b2+c2-2 bc.cos A. B b 任务： (1)b2=元： ②已知△ABC中.∠A.∠B,∠C所对边分别是a,b,ca=55,b=2,co0sC=5, 求c. 5 (3)已知△ABC中，∠A,∠B,∠C所对边分别是a,b,c,a=6,b=1+V3,c=2,求∠C的度数. 12.(24-25九上·湖南永州冷水滩区·期末)我们定义：在△ABC内有一点P,连接PA,PB,PC,在所得 9/18 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 的△ACP,△ABP,△BCP中，有且只有两个三角形相似，则称点P为△ABC的相似心. 图1 图2 (1)如图1，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点在格点上，若点P为△ABC 的相似心，则下列结论正确的是() A.△BAP~△ACPB.△BAP~△BCPC.△BPC一△CPA (2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,P是Rt△ABC内一点，且 ∠APB=∠BPC=135°， ①求证：点P是Rt△ABC的相似心： ②求tan∠PAC的值 13.(24-25九上·湖南衡阳衡东县·期末)已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形， ∠ACB=90°，点A,C的坐标分别为A-6,0,C2,0,tan∠BAC=3 41 (I)求过点A,B的直线的函数表达式： (2)若动点P从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿CA方向 以每秒1个单位长度向点A运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动.连接PQ,设运动的时间 为t秒，问是否存在这样的时间t,使得△APQ与△ABC相似？若存在，请求出t的值：若不存在，请说 明理由. 目目 考点05 解直角三角形的应用 10/18 专题04 锐角三角函数 考点01 正弦和余弦 考点02 正切 考点03 特殊角三角函数值的混合运算 考点04 解直角三角形 考点05 解直角三角形的应用 地 城 考点01 正弦和余弦 1．(24-25九上·湖南张家界桑植县·期末)如图，在中，，，，则等于（   ）         A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，正弦值的计算方法，掌握以上知识是解题的关键． 再根据正弦的计算方法求解． 【详解】解：． 故选：C． 2．(24-25九上·湖南衡阳衡东县·期末)在中，，则边的长是（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，熟记正弦的定义和勾股定理是解题的关键．根据求出即可． 【详解】解：在中，，，， ∴． 故选：C． 3．(24-25九上·湖南株洲渌口区、芦淞区·期末)在中，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正弦的定义，先利用勾股定理计算出的长，然后根据正弦的定义即可求解． 在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比． 【详解】解：，，， ． 故选：A． 4．(24-25九·湖南岳阳·期末)如右图，中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边与斜边的比叫做的余弦是解题的关键．根据余弦的定义计算即可． 【详解】解：中，， ∴， 故选：D． 5．(24-25九上·湖南常德初中联盟校·期末)如图所示，在中，是直角边上一点，于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性质，根据解直角三角形、相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6．(24-25九上·湖南湘潭·期末)在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，余弦值的计算，掌握余弦的计算方法是解题的关键． 根据题意运用勾股定理可得，由即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， 故选：A ． 7．(24-25九上·湖南郴州·期末)在中，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练的掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据锐角三角函数的定义即可解答． 【详解】解：在中，， ． 故选：D． 8．(24-25九上·湖南衡阳常宁·期末)在中，、都是锐角，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，非负数的性质，三角形内角和定理等知识．由题意得，，即，由、都是锐角，可得，然后利用三角形内角和定理求解即可，熟练掌握特殊角的三角函数值，非负数的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得， 、都是锐角， ， ， ， 故选：B． 9．(24-25九上·湖南永州祁阳·期末)在中，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理等知识点，求得的度数是解题的关键． 先根据非负数的性质以及特殊角的三角函数求得的度数，然后运用三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 10．(24-25九上·湖南永州新田县·期末)在中，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是解直角三角形，其中涉及三角函数、勾股定理知识，解题关键是熟练掌握并应用锐角三角函数中正弦、正切的边角关系． 先根据三角函数正切定义求得，设，，利用勾股定理计算得，再根据三角函数正弦定义计算即可完成求解． 【详解】解：由条件可知， 设，则，其中， ∴ ∴ 故答案为：． 11．(24-25九上·湖南益阳·期末)如图，在中，，，，则 ． 【答案】9 【分析】此题考查了正弦的定义，根据正弦的定义得到，则． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴， 故答案为：9 12．(24-25九·湖南岳阳·期末)在矩形中，，，如图，以点D为圆心，以合适的长为半径作弧，分别交边，对角线于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】根据角平分线的画法得出平分，根据矩形的四个角都是直角得出，根据特殊角的三角函数值求出，根据角平分线的定义得出，根据特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：根据题意可得平分， ∵四边形是矩形，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴． 故答案为： ． 13．(24-25九上·湖南怀化五县六校联考·期末)如图，在中， (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作，使得是以为底的等腰三角形，且点D在延长线上．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，已知：，求的底边上的高及的值． 【答案】(1)见详解 (2)边上的高为， 【分析】（1）作得垂直平分线与得延长线交于点D，连接即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，设，根据勾股定理及线段的和差得出，，，建立方程求解即可得出，运用等面积法求出边上的高，然后根据正弦的概念即可得出答案． 本题考查了作垂直平分线、等腰三角形的性质、勾股定理以及求一个角的正弦值，熟练掌握性质定理和概念是解题的关键． 【详解】（1）解：是以为底的等腰三角形，如图所示： ； （2）解：∵是以为底的等腰三角形， ， 设， ， ，，， ， 解得 即， 即， 则边上的高， 则边上的高， ， 故答案为：． 地 城 考点02 正切 1．(24-25九上·湖南永州冷水滩区·期末)下列三角函数值是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，有理数．熟练掌握特殊角的三角函数值，有理数是解题的关键； 分别求出各选项中特殊角的三角函数值，然后进行判断即可． 【详解】解： A、，是有理数，故符合题意； B、，是无理数，故不符合题意； C、，是无理数，故不符合题意； D、，是无理数，故不符合题意； 故选：A 2．(24-25九上·湖南邵阳洞口思源中学·期末)中，若，，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，求出然后根据，的三角函数值逐项判断解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，，，， 故选：D． 3．(24-25九上·湖南永州新田县·期末)如图，在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求锐角三角函数，熟知在中，，锐角A的对边a与邻边b的比叫做的正切是解题的关键． 根据锐角的正切函数的定义解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故选：D． 4．(24-25九上·湖南衡阳城区初中联考·期末)在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，再根据正切的定义求出的值． 【详解】解：在中，，，， ， ， 故选：C ． 5．(24-25九上·湖南常德澧县·期末)将的斜边和直角边都扩大到原来的倍，那么锐角的三角函数值（   ） A．都扩大到原来的倍 B．都缩小到原来的 C．没有变化 D．只有发生变化 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角形函数值的知识点，解题的关键理解锐角三角函数的概念． 根据锐角三角函数的概念：锐角的各个三角函数值等于锐角所在直角三角形的边的比值，求解即可． 【详解】解：∵锐角的各个三角函数值等于锐角所在直角三角形的边的比值， ∴的斜边和直角边都扩大到原来的倍，锐角的三角函数值不变， 故选：C． 6．(24-25九上·湖南岳阳云溪区云溪十校联考·期末)如图，在直角坐标系中，点A坐标是，则的值是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点作轴于，在直角三角形中，根据三角函数的定义求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴于，    ∵点A坐标是， ∴ ∴， 故选：B 【点睛】本题主要考查了坐标和图形的性质，三角函数的定义等知识点，解决此题的关键是熟练运用相关知识点． 7．(24-25九上·湖南怀化·期末)如图，每个小正方形的边长均为的顶点均在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形，在直角三角形中，一个角的正切值等于对边比邻边，据此进行计算即可． 【详解】解：如图，过点A作交的延长线于点D， ∴ ． 故选D． 8．(24-25九上·湖南益阳·期末)如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，，，均在格点（小正方形的顶点）上，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正切函数的定义，在中利用正切函数的定义即可求解． 【详解】解：如图，在中，，， 则． 故选：B． 9．(24-25九上·湖南永州蓝山县·期末)在中，已知，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一个锐角的正弦与正切值，解题关键是理解正弦与正切的定义．先设出三角形的三边，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴可设，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．(24-25九上·湖南衡阳常宁·期末)如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么 ． 【答案】/0.75 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，三角函数，先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到，进一步得到的长，再根据正切函数的定义即可求解，熟练利用勾股定理列方程是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 由题意可得：，， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得，， ， ， 故答案为：． 11．(24-25九上·湖南湘潭·期末)如图，中，，顶点，分别在反比例函数与的图象上，则的正切值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，反比例函数几何意义，正切的定义，解题的关键在于理解相似三角形面积比等于相似比的平方．过点作轴于点，过点作轴于点，证明，再根据相似三角形性质，反比例函数几何意义结合正切的定义求解，即可解题． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， 顶点，分别在反比例函数与的图象上， ，， ， 故答案为：． 12．(24-25九上·湖南长沙开福区青竹湖湘一外国语学校·期末)如图，正方形中，，点在边上，且，将沿对折至，延长交边于点，连接、． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】此题属于四边形的综合题．考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识；注意折叠中的对应关系，注意掌握方程思想的应用是解此题的关键． （1）根据翻折变换的性质和正方形的性质可用HL证； （2）设，用表示出、，然后在直角中，根据勾股定理列方程并解出方程求出，，，作出，垂足为，运用相似三角形的知识求出、，即可求出的值． 【详解】（1）在正方形D中，，， ∵将沿对折至， ∴，，， ∴，， 在和中， ∵， ∴； （2）∵正方形中，， ， ∴，，， 根据题意知，， 由（1）知， ∴，不妨设，则， 在中，根据勾股定理，得， 解得， ∴；，， 作，垂足为， ∵，， ∴， ∴，即，解得， 设，则， ∴，即，解得， ∴ ． 地 城 考点03 特殊角三角函数值的混合运算 1．(24-25九上·湖南·期末)计算： 【答案】 【分析】考查了特殊角的三角函数值，实数的加减法，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 代入特殊角的三角函数值即可． 【详解】解：原式 ． 2．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算，牢记特殊角的函数值成为解题的关键． 先根据特殊角的三角函数化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 3．(24-25九上·湖南湘西土家族苗族龙山县红岩溪镇初级中学·期末)计算： 【答案】2 【分析】本题主要考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解并运用二次根式、绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识进行计算求解．先计算二次根式、绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，最后计算加减． 【详解】解：原式 ． 4．(24-25九上·湖南娄底第二中学·期末)计算： 【答案】5 【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据实数的性质，零指数幂和负整数指数幂的意义，以及特殊角的三角函数值化简，再根据实数的运算数序计算即可．熟练掌握实数的性质，零指数幂和负整数指数幂的意义，以及特殊角的三角函数值是解答本题的关键． 【详解】              ． 5．(24-25九上·湖南常德桃源县文昌中学·期末)计算： 【答案】0 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，同角三角函数关系，熟练掌握特殊角三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值以及同角三角函数关系进行计算即可． 【详解】解： 6．(24-25九上·湖南永州祁阳·期末)计算： 【答案】 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握零指数幂与特殊角的三角函数值是解本题的关键． 先计算乘方及绝对值运算，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 7．(24-25九上·湖南衡阳常宁·期末)计算： 【答案】 【分析】此题考查了实数的运算，三角函数，零指数幂，负整数指数幂，先计算各项的值，再加减即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：， ， ． 8．(24-25九上·湖南常德临澧县·期末)计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角三角函数值：先计算乘方，零指数幂，代入特殊角三角函数值，再计算二次根式乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 9．(24-25九上·湖南益阳·期末)计算： 【答案】3 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算乘方，再合并即可． 【详解】解： ． ． 10．(24-25九·湖南岳阳·期末)计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值，是解题的关键．根据零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解： ． 11．(24-25九上·湖南湘潭·期末)计算： 【答案】 【分析】本题主要考查实数的运算，零指数幂以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 地 城 考点04 解直角三角形 1．(24-25九上·湖南株洲炎陵县·期末)中，，若， ，则的长为（     ） A． B． C． D．8 【答案】D 【分析】本题考查利用余弦求线段长度，解题的关键是判断斜边及邻边．根据直角三角形余弦定义即可求值． 【详解】解：由题意得， ， ∴ ， 故选D． 2．(24-25九上·湖南衡阳船山实验中学·期末)在中，，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形， 根据正切的定义先表示出，再根据勾股定理求出，然后根据正弦的定义解答即可． 【详解】如图，在中，， 设，根据勾股定理，得 ， ∴． 故选：B． 3．(24-25九上·湖南郴州·期末)如图，在中，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 设，，由勾股定理得出，解方程可得出答案． 【详解】解：，， ， 设，， ， ， 解得（负值舍去）， ． 故答案为：D． 4．(23-24九上·湖南永州蓝山县·期末)如图在菱形中，，则的值（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，以及三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，菱形四边相等．首先设菱形边长为，则，根据三角函数定义可得，再解即可得到的值，然后利用勾股定理计算出的长，然后在根据正切定义可得的值． 【详解】解：设菱形边长为， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 5．(24-25九上·湖南怀化五县六校联考·期末)已知直角三角形纸片的两直角边长分别是，，现将按如图所示那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角函数的求值，熟悉勾股定理和灵活运用三角函数是解题关键．根据勾股定理求出的长，利用，求出的长，进而求出，再用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：在直角中， 根据勾股定理得， 由折叠得，， 在直角中， ， ， 勾股定理得， ， 故选：C． 6．(24-25九上·湖南常德桃源县文昌中学·期末)阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为： 现已知在中，，， ，则等于（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，新定义，解题关键是理解新定义．把，， ，代入，得到关于a的方程，求解即可． 【详解】解：∵，， ，， ∴ 即 化简整理得： 解得：，（舍去）， 即， 故选：B． 7．在中，为钝角，若，，，则的面积等于 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查解直角三角形、勾股定理、含30度直角三角形的性质等知识点，熟练掌握三角函数并运用分类讨论思想是解题的关键． 如图：作交（或延长线）于点D，分位于异侧和同侧两种情况，先在中求得的值，再在中利用勾股定理求得的长，继而就两种情况分别求出的长，再根据三角形的面积公式求解可得． 【详解】解：作交（或延长线）于点D， ①如图1，当位于异侧时， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当位于的同侧时， 由①知，，，， ∴， ∴． 综上，的面积是或． 故答案为或． 8．(24-25九上·湖南岳阳平江县·期末)在中，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是解直角三角形，其中涉及三角函数、勾股定理知识，解题关键是熟练掌握并应用锐角三角函数中正弦、正切的边角关系．先根据三角函数正切定义求得，设，，利用勾股定理计算得，再根据三角函数正弦定义计算即可完成求解． 【详解】解：中，， 即， 设，，其中， ∴， ∴， 故答案为：． 9．(24-25九·湖南岳阳·期末)如图，直线过点，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数的定义，过作轴于点，由，则，，然后根据正切的定义即可求解，掌握三角函数的有关定义是解题的关键． 【详解】解：过作轴于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．(24-25九上·湖南衡阳常宁·期末)如图，在中，，，垂足为．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中错误的结论有 ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查锐角的三角函数，根据，，可得，，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系． 【详解】解：，， ，，， ，， ，故①正确；，故②正确； 在中，， ，故③正确； 不一定等于， 不一定成立，故④错误； 故答案为：①②③． 11．(24-25九上·湖南永州蓝山县·期末)阅读与思考． 请仔细阅读并完成相应的任务． 利用我们所学习的三角函数的相关知识可以解决许多关于三角形边长、角度、面积等问题．如图，在锐角中，，，的对边分别是，过点作于点，则，即，于是．在中，，在中，，，整理得． 任务： (1)______； (2)已知中，，，所对边分别是，，，，求． (3)已知中，，，所对边分别是，，，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合题意，得，即可作答． （2）把，，分别代入进行计算，解得，即可作答． （3）依题意，得，则，即可作答． 本题考查了新定义，解直角三角形的相关计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得：， ，，， ，即， 解得：，（舍去）， ； （3）解：由（2）可得：， ，，， ， ． 12．(24-25九上·湖南永州冷水滩区·期末)我们定义：在内有一点，连接，，，在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的相似心． (1)如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若点为的相似心，则下列结论正确的是（   ） A．   B．   C． (2)如图2，在中，，，是内一点，且． ①求证：点是的相似心； ②求的值． 【答案】(1)A (2)①见解析；② 【分析】（1）取格点、，连接、、、，则，，由勾股定理求得，，则，而，即可证明，求得，由，，可知与不相似，与不相似，于是得到问题的答案． （2）①由，，得，由，求得，由，，可知与不相似，与不相似，推导出，进而证明，然后问题可求证． ②因为，所以，由相似三角形的性质得，则，所以，然后问题可求解． 【详解】（1）解：如图1，取格点、，连接、、、， ∵在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1， ∴，，， ，， ，， ∴， ∴， ， ∴与中的最大角，与中的最大角， ∴与不相似，与不相似， 故答案为：A． （2）解：①证明：如图2，∵，， ， ∵， ∴， ∴与中的最大角，与中的最大角， ∴与不相似，与不相似， ， ∴， ∴， ∴点是的相似心． ②解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴的值为． 【点睛】此题重点考查勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质、新定义问题的求角等知识与方法，适当选择相似三角形的判定定理证明图1中的及图2中的是解题的关键． 13．(24-25九上·湖南衡阳衡东县·期末)已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点的坐标分别为． (1)求过点的直线的函数表达式； (2)若动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿方向以每秒1个单位长度向点A运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．连接，设运动的时间为t秒，问是否存在这样的时间t，使得与相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，秒或秒 【分析】（1）根据题意可得，结合三角函数得，可知点B坐标，利用待定系数法即可求得直线的函数表达式； （2）依题意得：，分类讨论当和分别求解即可． 【详解】（1）解： 点， ，又 ， 点坐标为， 设过点的直线的函数表达式为：， 则，解得 直线的函数表达式为：； （2）解：存在．理由如下： 依题意得： ①当时， ，即 解得：； ②当时， ，即 解得： 综上，存在这样的时间，当秒或秒时，使得与相似． 地 城 考点05 解直角三角形的应用 1．(24-25九上·湖南邵阳洞口思源中学·期末)如图所示，乐乐想测对面杆子的高度，他离杆子的距离为，在点他仰视杆顶，测得仰角为，他沿向杆走近了到达点，再次测得仰角为，乐乐高度为，则杆的高度为（　   ），已知． A． B． C．3.6 D．4.6 【答案】B 【分析】通过设未知数，利用三角函数关系建立方程，求出相关线段长度，进而求得杆高．本题主要考查了三角函数在实际测量中的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：设米． ∵在中，， ∴米． ∵米， ∴米． ∵在中，，， ∴，即． ∵解方程， ∴， ， ， ， ． ∵米， ∴（米）． 故选：B． 2．(24-25九上·湖南衡阳常宁·期末)某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图所示，在建筑物旁边有一高度为8米的小楼房，琪琪同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（、在同一平面内，、在同一水平面上），则需测量的建筑物的高为（   ） A．米 B．米 C．米 D．12米 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，设过点A的水平线于交于点E，在中，用表示，在中，用表示，再利用列方程即可求出． 【详解】解：设过点A的水平线于交于点E，如图， 由题意知：四边形是矩形，米，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 解得：米， 故选：C． 3．(24-25九上·湖南邵阳洞口思源中学·期末)有一大坝横断面如图所示，斜面AB的坡比是，当他从坝底A点沿着斜坡方向向上前进了米时，他在垂直方向升高了 米． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：，，从而设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：根据题意可得：，， 设米，则米， 在中，， ， 解得：或 舍去 米 故答案为：． 4．(24-25九上·湖南益阳·期末)一座大堤的横截面如图所示，高，坡面的坡度为，则斜坡的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．根据坡度求得，求得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：依题意，，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．(24-25九上·湖南怀化·期末)如图，一楼房后有一假山，其斜面坡度为，山坡坡面上点处有一休息亭，测得假山坡脚与楼房水平距离米，与亭子距离米，小丽从休息亭点测得楼顶点的仰角为，则楼房的高为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，理解图示，掌握斜面坡度为，得到是解题的关键． 根据题意得到，，根据含角的直角三角形的性质得到的值，由此得到的值，再根据即可求解． 【详解】解：在Rt中， ， ， ，， ∵，即， ∴四边形是矩形， ∴， 在Rt中，， ， （米）． 6．(24-25九上·湖南邵阳洞口思源中学·期末)如图，一艘海警船位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A处，接到一报警，一走私船正从灯塔P出发以40海里每小时的速度沿南偏东30°方向逃走，海警船立马沿正南方快速追击，于B点追上走私船，问海警船多长时间追上走私船，追击速度是多少？ 【答案】2小时；（海里/小时） 【分析】先计算海里，再计算（海里）， 从而得到时间为，（海里），求得海警船的运动路程，故海警船的追击速度为：（海里/小时）． 本题考查了方向角的应用，解直角三角形，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， 故， ∵， ∴（海里）， ∵，， ∴， ∴（海里）， ∴，（海里）， ∴（海里）， ∴海警船的追击速度为：（海里/小时）． 7．(24-25九上·湖南岳阳平江县·期末)为加强我市创建文明卫生城市宣传力度，需要在甲楼A处到E处悬挂一幅宣传条幅，在乙楼顶部D点测得条幅顶端A点的仰角为，条幅底端E点的俯角为，若甲、乙两楼的水平距离为21米，求条幅的长约是多少米．（结果精确到米，） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作，然后分别求出米，米，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：过点作，如图所示： 在中，米，， 米， 在中，米，， 米， （米）． 答：条幅的长约是33.1米． 8．(24-25九上·湖南永州冷水滩区·期末)周末，九年级学生王明和李亮两人到朝阳公园荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，荡秋千的起始位置为，最高点为，点距离地面为，秋千位于时，安全链与铅垂线夹角为，安全链． (1)求点到地面的距离； (2)当王明用力将李亮从处推出后到最高点处，此时，求点到地面的距离．（参考数据：，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意得，把数值代入，求出，故，即可作答． （2）过点作，求出，在中，，再把数值代入进行计算，得出，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵安全链与铅垂线夹角为， ∴ 过点作 在中，， ， ∴， ， 点到地面的距离为； （2）解：过点作， ， ， 在中，， ， ， ， 由（1）得， ， 点到地面的距离为． 9．(24-25九上·湖南张家界桑植县·期末)如图，为了修建桑龙高速公路跨澧水河的贺龙大桥，需要利用数学方法测量贺龙大桥的长度．飞机上的测量人员在处测得，两点的俯角分别为和．若飞机离地面的高度为，且点 D，A，B在同一水平直线上，试求贺龙大桥长度．(结果精确到1m ，参考数据： 【答案】贺龙大桥约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是熟练运用特殊角的三角函数值． 在和中，利用锐角三角函数，用表示出、的长，然后计算出的长． 【详解】解：如图所示， ， ， ， 在中， ， （米）， 在中， ， （米）， （米）． 答：贺龙大桥约为米． 10．(24-25九上·湖南永州道县·期末)已知渔政执法船在长江某水域巡航时，从A出发以30千米/时的速度向正南方向行驶，在A处观测到码头C位于船的南偏东37°，2小时候到达B处，这时观察到码头C位于船的北偏东45°方向，若此时渔政执法船返回码头C，需要多少时间？ （结果精确到，参考数据，，，）． 【答案】渔政执法船返回码头C，需要1.2小时 【分析】本题考查了解直角三角形-方向角问题、一元一次方程的应用等知识点，正确的作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． 如图：过C作于D，易得（千米/时）、、；设，解直角三角形可得、，然后根据列一元一次方程求得x，进而求得，最后求出航行时间即可． 【详解】解：如图：过C作于D， 由题意得，（千米/时），，， 设， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ，解得：， （千米）， （小时）． 答：渔政执法船返回码头C，需要1.2小时． 11．(24-25九上·湖南永州祁阳·期末)自2024年10月29日起，巴中恩阳机场开通了到无锡的新航线，进一步方便了广大市民．如图，市民甲在处看见飞机的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机的仰角为，已知甲、乙两市民的距离米，铅垂高度米（点E，G，C，B在同一水平线上，结果保留根号）． (1)求斜坡的坡比； (2)求飞机此时距离地面的高度． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键． （1）利用勾股定理求出米，再根据斜坡的坡比求解即可； （2）过点作于点，证明米，，，设米，在中，根据三角函数的定义列方程，并求解即得答案． 【详解】（1）解：在中，米，米 由勾股定理得：（米）， ∴斜坡的坡比． （2）解：过点作于点，如图， ，，， ∴， 四边形是矩形， 米，， ，， 是等腰直角三角形， ， 设米，则米， 米， ， ， 解得， 米， 答：飞机距离地面的高度为米． 12．(24-25九上·湖南永州新田县·期末)莽山多奇峰，假期某一天，天气晴好，热爱户外运动的胡老师到莽山公园爬山．有一段山的形状如图①，爬山路线示意图如图②，胡老师从山脚A出发，沿走400米到点，再沿到山顶点，已知山高为384米，，，交的延长线于点，，．（图中所有点均在同一平面内） (1)求的长； (2)求胡老师从山脚A点到达山顶点共走了多少米？（结果精确到1米）．（参考数据：，，） 【答案】(1)的长为200米 (2)胡老师从山脚A点到达山顶点的路程约为639米 【分析】本题考查了解直角三角形应用．熟练掌握含30度的直角三角形的性质，矩形的判定和性质，正弦函数，是解题的关键． （1）在中，根据，可得，即可求解； （2）根据，，得出，再根据四边形是矩形，结合即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， 故的长为200米； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴． 故胡老师从山脚A点到达山顶点的路程约为639米． 13．(24-25九上·湖南衡阳衡东县·期末)如图1是我们衡阳市的地标建筑——“首峰之眼”摩天轮．图2是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，MN是摩天轮垂直地面的直径，小颖想利用数学知识实地测量该摩天轮的高度，她在A处测得摩天轮顶端M的仰角为，接着沿水平方向向左行走90米到达点B，再沿着坡度的斜坡走了20米到达点C，最后再沿水平方向向左行走31米到达摩天轮最低点N处（A，B，C，M，N均在同一平面内）． (1)求点C到AB的距离； (2)求摩天轮的高度．（结果精确到1米）（参考数据：，，） 【答案】(1)12米 (2)88米 【分析】此题考查了解直角三角形的应用． （1）过点作，垂足为．在中，，设，得到，解得，则米．米； （2）延长交于点，证明四边形是矩形．则米，米．得到米，在中，由得到，即可求出摩天轮的高度． 【详解】（1）解：过点作，垂足为． 在中， 设 解得 则米．米． 答：点到的距离是12米． （2）延长交于点， ∵，由题意知， 四边形是矩形． 米，米． （米） 在中， ∵， （米）． （米）． 14．(24-25九上·湖南衡阳常宁·期末)暑假期间，小亮与小明相约到某旅游风景区登山．需要登顶高的山峰，由山底处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处，已知点，，，，在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）． (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． （1）根据直角三角形的边角关系求出，进而求出即可； （2）利用直角三角形的边角关系，求出的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 需要登顶高的山峰，由山底处先步行到达处，，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为， ，，，， 在中，，， ， ； 答：登山缆车上升的高度为； （2）解：在中，，， ， 从山底处到达山顶处需要的时间， 答：从山底处到达山顶处大约需要． 15．(24-25九上·湖南株洲渌口区、芦淞区·期末)为了同学们的身体健康，学校需要做到经常开窗通风．如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边上的点A处，另一端B在边上滑动，如图2为某一位置从上往下看的平面图，测得此时，长为．（结果精确到，参考数据：，，，，） (1)求固定点到窗框的距离； (2)若测得，求的长度． 【答案】(1)固定点到窗框的距离约为 (2)的长度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． （1）过点作于点，在中，利用正弦的定义求解即可得； （2）过点作于点，在中，利用正弦的定义求解即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 在中，，， 则， 答：固定点到窗框的距离约为． （2）解：如图，过点作于点， 由（1）已得：， 在中，， 答：的长度约为． 16．(24-25九上·湖南长沙雅礼集团·期末)坐落于长沙橘子洲头的毛泽东青年艺术雕塑，以1925年青年时期毛泽东形象为艺术原型，突出表现伟人青年时代胸怀大志、风华正茂的气概，该雕塑通过伟人文化为名洲增色，是红色之洲的代表作．我校数学社团的同学对该雕塑的高度进行了测量，如图，他们在处仰望雕塑顶部，测得仰角为，再往雕塑的方向前进至B处，测得仰角为．（参考数据：） (1)求证：； (2)若学生的身高忽略不计，求该雕塑的高度．（结果精确到） 【答案】(1)见解析 (2)该雕塑的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，等腰三角形的判定，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据题意可得：，，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】（1）证明：由题意可知，，， ， ， ； （2）解：由题意可知，， ， 由（1）可知，， 在中，， ， 即该雕塑的高度约为． 17．(24-25九上·湖南长沙长郡集团·期末)2024年9月30日是我国第十一个烈士纪念日，为弘扬革命传统精神，某校组织学生前往湖南烈士公园缅怀革命先烈，大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，于是想利用刚学的知识计算纪念碑的通高（碑顶到水平地面的距离）．他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为，在B点处测得碑顶D的仰角为，已知，测角仪的高度是（A，B，C在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高．（，结果保留一位小数） 【答案】烈士纪念碑的通高约为 【分析】此题考查了解直角三角形的应用、三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握三角函数的应用是解题关键．先求出，，证明，证明，在中，，即可求出烈士纪念碑的通高． 【详解】解：由题意得：，， ，，， 是的外角， ， ， ， 在中，， ， 答：烈士纪念碑的通高约为． 18．(24-25九上·湖南怀化·期末)某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某景区山的高度 测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等 模型抽象 如图，是山脚的水平线，山的高垂直于水平线于点． 测量过程与数据信息 ①在山脚处测出山顶的仰角，山坡的坡角； ②沿着山坡前进到达处； ③在处测出山顶的仰角． 注：图中所有点均在同一平面内． （参考数据：，，，，，） 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： (1)求坡面的水平距离和垂直距离； (2)求山的高． 【答案】(1)坡面的水平距离和垂直距离分别是和 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及解直角三角形、矩形性质等知识，数形结合，选择恰当的三角函数列式求解是解决问题的关键． （1）在中，由正弦函数、余弦函数定义列式求解即可得到答案； （2）延长交于点，如图所示，由矩形性质得到相关线段长，在中，由正切函数定义列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，，，， ，， ；； 答：坡面的水平距离和垂直距离分别是和； （2）解：延长交于点，如图所示： 则四边形是矩形， 设， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ，即， 解得 ， 答：山的高度为． 19．(24-25九上·湖南娄底第二中学·期末)某红外线体温检测仪设备说明书中的部分内容如下所示． 设备名称 红外线体温检测仪 测温区域示意图 设备需安装在垂直于水平面的墙面上． ①水平面；②竖直墙面；③设备安装位置； ④的长是设备安装高度；⑤的长是测温区域的宽度． 技术参数 设备测温过程中释放的红外线是直线传播，它与水平面的夹角称为探测角． 探测最小角： 探测最大角： (1)如果该设备的安装高度为时，请求出图中线段的长度；（结果精确到） (2)如果学校要求测温区域的宽度为时，请求出该设备的安装高度．（结果精确到）（参考数据：，，，，， 【答案】(1)线段的长度约为 (2)该设备的安装高度约为 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据正切的定义求出； （2）设的长为，根据正切的定义分别用表示出、，根据题意列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解：在中，，， 则， 答：线段的长度约为； （2）解：设的长为， 在中，， 则 在中，， 则 由题意得：， 解得：， 答：该设备的安装高度约为． 20．(24-25九·湖南岳阳·期末)某校数学活动小组在老师指导下，进行了一次项目式学习： 项目主题 测量观光塔的高度 参与人员 数学活动小组成员 测量工具 皮尺、测角仪、计算器 数据记录 测量方案设计图 活动过程 步骤1 从B点测得塔顶N的仰角 步骤2 从B点后退到C点（M、B、C共线） 步骤3 从C点测得塔顶N的仰角 步骤4 测角仪离水平地面的高度 问题解决 求观光塔的高度（运用计算器可得：，，） 【答案】15米 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．延长交于点E，则，先证明四边形与四边形均是矩形，可得，，设，在中，，在中，，列出方程，再求解即可． 【详解】解：延长交于点E，则， ∵，，，， ∴四边形与四边形均是矩形， ∴，， 设， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：该观光塔的高度约为15米． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $