第4章 锐角三角函数（知识清单）数学湘教版九年级上册

第四章 锐角三角函数 1.正弦定义：在直角三角形中,我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的 ， 记作 ， 符号表示： 2.余弦定义：在直角三角形中，我们把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的 ，记作 ，即 符号表示： 常见公式：cosα=sin（90°-α）；sinα=cos（90°-α） 3.正切的定义：在直角三角形中，我们把锐角α的对边与邻边的比叫作角α的 ，记作 符号表示： 4.特殊锐角的三角函数值，如下表 α 30° 45° 60° Sinα Cosα Tanα 我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为角α的 。 常见公式：, 5.在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素。像这样，我们把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形。 图示 已知条件 解法 两边 两直角边 ，求c；求A； B=90°-A 斜边与直角边（a、c） 求b；求A； B=90°-A 一边和一锐角 直角边与锐角 一锐角与它的邻边 （∠A与b） B=90°-A；； 一锐角与它的对边 （∠A与a） B=90°-A；； 斜边与锐角（∠A与c） B=90°-A；， 一、混淆三角函数定义 错误表现：分不清正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）对应的边比关系。 正确方法： sinθ= ；cosθ= ；tanθ= 示例：若∠A的对边为3，斜边为5，则sinA=，而非邻边比斜边。 【典例1】(24-25九上·海南省海口市海南华侨中学·期中)如图，在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【典例2】(24-25九上·山东省济南市莱芜区陈毅中学·期中)如图所示，在中，，于点，，，的值为（   ） A． B． C． D． 【典例3】(24-25九上·黑龙江省哈尔滨市南岗区·期中)如图，在正方形中，E 是边的中点，将沿直线翻折，点A落在点F 处， 连接，那么的正切值是（   ） A．2 B． C． D． 二、忽视直角三角形的隐含条件 错误表现：忽略勾股定理或两锐角互余（和为90°）。 关键点： 勾股定理：a² + b² = c²（c为斜边）。 角度关系：若∠A=30°，则∠B=60°。 【典例1】(24-25九上·江苏省苏州市苏州工业园区星海实验初级中学·期中)如图，在中，于，设，则的值为（   ） A． B． C． D． 【典例2】(24-25九上·山东省济南市莱芜区陈毅中学·期中)如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【典例3】(24-25九上·浙江省绍兴市柯桥区·期中)如图，在中，，，于点，，若，分别为，的中点，则的长是（　　） A． B． C． D． 三、多解问题漏解 场景：已知两边但未明确直角边或斜边时。 示例：已知两边为3和4： 若3和4为直角边，斜边5； 若3为直角边、4为斜边，另一直角边。 【典例1】(24-25九上·黑龙江省哈尔滨市第一一三中学·期中)在中，若，，，则的长度为 ． 【典例2】(24-25九上·黑龙江省哈尔滨市风华中学·期中)四边形是正方形，对角线与相交于点O，点P在上，若，，则的长为 ． 【典例3】(24-25九上·重庆市第一中学校·期中)在中，则边的长为 ． 四、计算过程中的近似误差 错误场景：在计算解直角三角形的实际应用时，没注意到题目是让保留根号还是保留小数。 建议： 中间步骤保留根号或分数（如、），避免过早四舍五入。 最终结果按题目要求保留小数位数。 【典例1】(24-25九上·吉林省长春高新技术产业开发区慧谷学校·期中)如图①是一款手机支架，当手机支架打开时如图②所示，其中，，，求的长．（结果精确到；参考数据：，，） 【典例2】(24-25九上·安徽省阜阳市临泉县长官中学·期中)小海和小亮两人相约一起去参观革命烈士纪念馆．已知小海家B在小亮家A的北偏西方向上，．两人到达革命烈士纪念馆C处后，发现小亮家A在革命烈士纪念馆C的南偏西方向上，小海家B在革命烈士纪念馆C的南偏西方向上．求小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离．（结果保留1位小数；参考数据：） 【典例3】(24-25九上·湖南省长沙市长郡梅溪湖中学·期中)2022年11月29日，搭载神舟十五号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．运载火箭从发射点O处发射，当火箭到达A处时，在地面雷达站C处测得点A的仰角为，在地面雷达站B处测得点A的仰角为．已知，O、B、C三点在同一条直线上，求B、C两个雷达站之间的距离（结果保留根号）． 重难点01 求角的正弦值、余弦值或正切值 【典例1】(25-26九上·河北石家庄第十七中学·期中)如图，为等腰三角形，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】(25-26九上·山东济宁第十五中学·期中)如图，在中，，于点，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】(24-25九下·江苏苏州外国语实验学校宿迁分校·期中)如图，在中，，点D为的中点，于点E，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】(24-25九上·辽宁大连第十四中学·期中)在中，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 重难点02 利用正弦值、余弦值或正切值求边长 【典例2】(24-25九上·重庆巴渝学校·期中)如图，在中，，，则的长为（   ） A． B．3 C．8 D．10 【变式2-1】(24-25九上·福建泉州实验中学·期中)三角函数，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】(24-25九上·江苏苏州高新区·期中)已知，则锐角A的取值范围是（　　） A． B． C． D． 重难点03 互余两角的三角函数值 【典例3】(24-25九下·上海普陀区·期中)在中，，已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】(23-24九上·江苏常州武进区武进区前黄实验学校·期中)如图，在中，，，于点，，若，分别为，的中点，则 ． 【变式3-2】(24-25九上·黑龙江哈尔滨虹桥初级中学校·期中)已知，，D为中点，点E为中点，，若，则 ． 重难点04 锐角三角函数与网格问题 【典例4】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】(24-25九下·云南文山文山第二学区·期中)在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（　　） A．2 B． C． D． 【变式4-2】(24-25九上·辽宁鞍山铁西区·期中)如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D．3 重难点05 特殊三角函数值混合运算 【典例5】(23-24九上·广东揭阳揭西县兴贤实验学校·期中)计算： 【变式5-1】(24-25九下·福建漳州漳浦县·期中)计算： 【变式5-2】(24-25九上·山东烟台福山区臧家庄中学·期中)计算： 重难点06 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 【典例6】若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 【变式6-1】在ABC中， ，则ABC一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式6-2】中，均为锐角，且，则的形状是 ． 重难点07 解直角三角形求线段长度 【典例7】如图，在中，，，，则的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【变式7-1】(24-25九上·江苏苏州苏州工业园区星港，东沙湖，景城三校·期中)如图，在直角三角形中，，，求的长． （    ） A．米 B．25米 C．米 D．50米 【变式7-2】(24-25八下·福建福州台江区·期中)如图，在中，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】(24-25九下·甘肃平凉庄浪县集团校·期中)如图，菱形的对角线与相交于点O，E为的中点，连接，，，则（    ） A．4 B． C．2 D． 重难点08 解直角三角形综合 【典例8】(24-25九上·江苏苏州苏州工业园区星港，东沙湖，景城三校·期中)如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，已知，． (1)求的长； (2)求的值． 【变式8-1】(23-24八上·宁夏银川第四中学·期中)如图，已知与互相垂直．经测量得，，，． (1)求出的长（结果保留根号）； (2)求出的长． 【变式8-2】(24-25九下·宁夏吴忠第六中学·期中)如图，在四边形中，对角线，相交于点，，． (1)求证：； (2)点E在边上，满足．若，，求CE的长及的值． 重难点09 解直角三角实际应用之仰角俯角问题 【典例9】小华想利用所学知识测量自家对面的两栋楼与的高度差．如图所示，她站在自家阳台上发现，在阳台的点处恰好可经过楼的顶端看到楼的底端，即点，，在同一直线上．此时，测得点的俯角，点的仰角，并测得，．已知，，，，点，，在同一水平直线上．求楼与的高度差．（参考数据：，，，，，） 【变式9-1】如图，地面上小山的两侧有A、B两地，为了测量A、B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与成角的方向，以每分钟的速度直线飞行，8分钟后到达C处，此时热气球上的人测得与成角，请你用测得的数据求A，B两地的距离长．（取1.7，取0.3，取0.9，取0.4，取0.9，取0.3，取2.7．） 【变式9-2】(2025·河北省邯郸市·模拟)如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为，，，点B到地面的距离为 (1)求斜坡l的坡角的度数； (2)求点M与点N的高度差． 重难点10 解直角三角实际应用之方位角问题 【典例10】(24-25九上·山东威海经开区（五四制）·期中)在东西方向的海岸线上有一长为的码头（如图），在码头西端的正西处有一观察站．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于的北偏西30°，且与相距的处；经过小时分钟，又测得该轮船位于的北偏东60°，且与相距 的处． (1)求该轮船航行的速度； (2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头靠岸？请说明理由． 【变式10-1】(24-25九上·海南海口海南华侨中学·期中)如图，在一条笔直的海岸线上有A、B两个观测站，A在的正东方向．有一艘船从A处沿北偏西方向出发，以每小时40海里速度行驶半小时到达P处，从B处测得小船在它的北偏东的方向上． (1)求的距离；（结果保留根号） (2)小船沿射线的方向继续航行一段时间后，到达点处，此时，从测得小船在北偏西的方向．求的距离．（结果保留根号） 【变式10-2】(23-24八上·河南安阳第十中学、七中、十一中等十校联考·期中)如图，某快艇由西向东航行，在处测得灯塔的方位是北偏东，又继续航行10海里，在处测得灯塔的方位是北偏东， (1)此时快艇与灯塔的距离是多少海里． (2)若把“灯塔”改为“小岛”，小岛点方圆海里内有暗礁，如果快艇继续向东航行，请问快艇有没有触礁的危险？请说明理由． 重难点11 解直角三角实际应用之坡度坡比问题 【典例11】(24-25九上·辽宁鞍山铁西区·期中)如图，某大楼正前方有一栋小楼，小明从大楼顶端A测得小楼顶端E的俯角为，小楼底端D到大楼前梯坎的底端C有80米，梯坎长65米．梯坎的坡度，求大楼的高度（结果精确到1米，参考数据：，，，） 【变式11-1】(2025九下·陕西省西安市·期中)如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度)的山坡，点、点与点在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底处测得楼顶的仰角为，然后沿坡面上行了20米到达点处，此时在处测得楼顶的仰角为．求楼的高度．(溅角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，，，，) 【变式11-2】(24-25九下·江西抚州高新技术产业开发区·期中)数学实践活动不仅可以增强学生的动手能力，还能加深他们对数学知识的理解．某数学兴趣小组开展了测量旗杆高度的实践活动，如图，斜坡的坡度，，在点处测得旗杆顶部的仰角为，在点处测得旗杆顶部的仰角为． (1)求点离水平地面的高度； (2)求旗杆的高度（结果保留根号）． 重难点12 解直角三角实际应用之跨学科问题 【典例12】如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，） 【变式12-1】(24-25九上·福建莆田哲理中学·)我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角， 代表折射角）． 观察实验：为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在处，加水至处，光斑左移至处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，为法线，测得， ，（参考数据： ） (1)求入射角的度数； (2)若光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离． 【变式12-2】(24-25下·广东佛山三水区·期中)综合与实践 【教材重现】北师大版九年级下册教科书第9页例2：如图1，一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差（结果精确到），图2是该情境建模后的图形．（本题不用解答） 实际上，当秋千向两边摆动时，由于受摩擦力等其他因素的影响，两边摆动的角度一定不相同．某兴趣小组去到公园进行实地探究，测量了若干数据．请解答下列问题： (1)如图3，秋千没摆动时，秋千的踏板离地面是，将它往左拉，此时踏板离地面，求秋千链子的长度； (2)如图4，在（1）的条件下，释放踏板，测得秋千摆动到右侧时与竖直方向的夹角为，求秋千踏板在B、D处的高度差．（参考数据：，，，结果精确到） 重难点13 解直角三角实际应用之其他问题 【典例13】(24-25九下·江苏盐城初级中学（康居路）·期中)消防车是消防救援的主要装备，图1是某种云梯消防车，图2是其侧面示意图，点、、在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆（长度可以变化），点，，在同一水平线上，与地面平行，其中可伸缩，云梯的最大长度为15米，套管的长度不变． (1)在某种工作状态下测得，，，米，求的长． (2)如图3，先将云梯伸长到最大长度15米，再将从增加到某一角度时，若云梯顶端的铅直高度升高了3米，求增加的度数．（参考数据：，，） 【变式13-1】(2025·江西省南昌市·一模)“垃圾入桶，保护环境，从我做起”，图1是一种摇盖垃圾桶的实物图，图2是其侧面示意图，其盖子可整体绕点A所在的轴旋转．现测得，，，，． (1)如图3，将整体绕点A逆时针旋转角，当时，求的度数． (2)求点A到CD的距离．（结果精确到，参考数据，，） 【变式13-2】(24-25九下·湖南长沙一中集团·期中)2025年长沙将再增一座跨江大桥，长沙兴联路大桥目前已完成合龙全线贯通，建成通车后将大大缩短湘江两岸通行时间．兴联路大桥区域交通简化示意图如图所示，线段表示湘江北路，长度，线段表示三汊矶大桥，长度，线段表示潇湘北路，长度，折线段表示兴联路大桥跨江部分，，．根据以上数据解决下列问题： (1)计算兴联路大桥跨江部分线段的长度；（结果精确到，参考数据） (2)兴联路大桥通车前，从A地驾车前往D地，需绕行三汊矶大桥，按路线行驶，平均速度约为，通车后可以直接沿兴联路大桥按路线行驶，平均速度约为，试利用（1）中的数据估计兴联路大桥通车后从A地到D地可节约多少分钟？（） 重难点14 解直角三角实际应用之素材问题 【典例14】(2025九·甘肃省兰州市·一模)西固金城公园9D玻璃栈桥是我省最长的9D特效玻璃桥，数学实践小组在研学时提出问题：玻璃栈桥正下方地面某一标志物到桥面的距离约为多少？ 实践小组利用已学知识和工具测量数据解决问题，具体研究方案如下： 问题 玻璃栈桥正下方地面某一标志物到桥面的距离约为多少？ 工具 皮尺、测领器等测量工具 图形 说明 根据实际问题画出示意图（如上图），为测得玻璃栈桥正下方地面某一标志物C到桥面的距离，小组成员首先借助测倾器在桥面上寻得一观测点A，使得，然后利用皮尺在桥面上寻得离A点的另一观测点B，利用测倾器测量的度数，最后求得标志物C到桥面的距离． 数据 ，，． 根据上述信息，请你帮助实践小组求出标志物C到桥面的距离．（结果精确到1m）（参考数据：，，） 【变式14-1】(24-25九上·上海新北郊初级中学·期中)根据以下素材，探索完成任务：，结果精确到0.1cm） 素材1：如图1是上海地铁里常见的一组通道闸机，当乘客扫码或刷卡后，闸机两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图2是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和扇形是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，，半径，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为． 素材2：小磊同学要携带如图3的长方体行李箱进站．（单位：） 问题解决 任务1 确定宽度 求闸机通道的宽度，即与之间的距离． 任务2 确定高度 若点B、E到地面的距离均为，求点A到地面的距离． 任务3 能否通过 小磊同学的行李箱是否可以通过闸机？请说明理由． 【变式14-2】(2025·安徽省合肥市·一模)项目式学习 项目背景 2025年3月21日，神舟十九号航天员蔡旭哲在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装置及舱外辅助设施安装、舱外设备设施巡检等任务．某学校机器人兴趣小组在详细研究了空间站机械臂的结构设计、工作原理和运动控制方式后，绘制了处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图．为了更好地理解此时手臂机器人的工作范围，小组需完成两个任务． 图示及说明 如图所示，是垂直于工作台的移动基座，为机械臂，，． 任务1 求机械臂端点到工作台的距离的长；（结果精确到） 任务2 求的长．（结果精确到） 参考数据 1 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 锐角三角函数 1.正弦定义：在直角三角形中,我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦， 记作sinα， 符号表示： 2.余弦定义：在直角三角形中，我们把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦，记作cosα，即 符号表示： 常见公式：cosα=sin（90°-α）；sinα=cos（90°-α） 3.正切的定义：在直角三角形中，我们把锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切，记作tanα 符号表示： 4.特殊锐角的三角函数值，如下表 α 30° 45° 60° Sinα Cosα Tanα 1 我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为角α的锐角三角函数。 常见公式：, 5.在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素。像这样，我们把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形。 图示 已知条件 解法 两边 两直角边 ，求c；求A； B=90°-A 斜边与直角边（a、c） 求b；求A； B=90°-A 一边和一锐角 直角边与锐角 一锐角与它的邻边 （∠A与b） B=90°-A；； 一锐角与它的对边 （∠A与a） B=90°-A；； 斜边与锐角（∠A与c） B=90°-A；， 一、混淆三角函数定义 错误表现：分不清正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）对应的边比关系。 正确方法： sinθ= ；cosθ= ；tanθ= 示例：若∠A的对边为3，斜边为5，则sinA=，而非邻边比斜边。 【典例1】(24-25九上·海南省海口市海南华侨中学·期中)如图，在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，过点A作于点D，先根据等腰三角形的性质得，再由勾股定理得，再根据三角函数的意义求出答案． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． 故选：A． 【典例2】(24-25九上·山东省济南市莱芜区陈毅中学·期中)如图所示，在中，，于点，，，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余角的性质证明，根据勾股定理，利用余弦的定义计算即可． 本题考查了余角的性质，勾股定理，余弦的定义，熟练掌握定义和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【典例3】(24-25九上·黑龙江省哈尔滨市南岗区·期中)如图，在正方形中，E 是边的中点，将沿直线翻折，点A落在点F 处， 连接，那么的正切值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠可得，再根据三角形的外角性质及折叠的性质得到，进而可得，求解即可． 本题考查了三角形的外角性质，折叠的性质及正方形的性质，解直角三角形． 【详解】解：由折叠可得 正方形中，E是边的中点， ∴ ， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：A． 二、忽视直角三角形的隐含条件 错误表现：忽略勾股定理或两锐角互余（和为90°）。 关键点： 勾股定理：a² + b² = c²（c为斜边）。 角度关系：若∠A=30°，则∠B=60°。 【典例1】(24-25九上·江苏省苏州市苏州工业园区星海实验初级中学·期中)如图，在中，于，设，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，求角的余弦值，先利用勾股定理求出的长，进而求出的值，再证明即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【典例2】(24-25九上·山东省济南市莱芜区陈毅中学·期中)如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点C作于点D，在中，利用勾股定理求得线段的长，再按照正弦函数的定义计算即可． 本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点C作于点D， 根据题意，得， 在中，根据勾股定理，得 ， ∴， 故选：D． 【典例3】(24-25九上·浙江省绍兴市柯桥区·期中)如图，在中，，，于点，，若，分别为，的中点，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形的性质(在直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半)以及三角形中位线定理(三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半)；利用在两个直角三角形中的关系求出的长度，进而得到的长度，最后根据中位线定理求出的长． 【详解】解：∵ ， ∴， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：C． 三、多解问题漏解 场景：已知两边但未明确直角边或斜边时。 示例：已知两边为3和4： 若3和4为直角边，斜边5； 若3为直角边、4为斜边，另一直角边。 【典例1】(24-25九上·黑龙江省哈尔滨市第一一三中学·期中)在中，若，，，则的长度为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了勾股定理及解直角三角形，分类讨论是解题关键．过点作于，分点在上和点在延长线上两种情况，解直角三角形求出，，利用勾股定理求出，进而求出的长度即可． 【详解】解：如图，过点作于，点有两种位置情况： ①当点在线段上时， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ②当点在线段延长线上时， 同理可得：，， ∴． 故答案为：或 【典例2】(24-25九上·黑龙江省哈尔滨市风华中学·期中)四边形是正方形，对角线与相交于点O，点P在上，若，，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握正方形的性质． 先根据正方形的性质得到，然后解求出，再分两种情况讨论，根据正切的定义求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点在线段上时，， ∴， ∴； 当点在线段延长线上时，同理可得， ∴的长为或． 故答案为：或． 【典例3】(24-25九上·重庆市第一中学校·期中)在中，则边的长为 ． 【答案】3或5 【分析】本题考查了勾股定理，解非直角三角形问题，根据题意，将非直角三角形转化为直角三角形，分类讨论求解是解决问题的关键． 根据解直角三角形的方法，在中，，则得到，由，，确定，分两种情况讨论即可得到答案． 【详解】解：在中，， ， 在中，，，， ， 分两种情况讨论： ①，设，如图所示： 在中，，，， 则， 在中，，，， 则， ； ②，令，如图所示： 在中，，，， 则， 在中，，，， 则， ； 综上所述，的长为或， 故答案为：3或5． 四、计算过程中的近似误差 错误场景：在计算解直角三角形的实际应用时，没注意到题目是让保留根号还是保留小数。 建议： 中间步骤保留根号或分数（如、），避免过早四舍五入。 最终结果按题目要求保留小数位数。 【典例1】(24-25九上·吉林省长春高新技术产业开发区慧谷学校·期中)如图①是一款手机支架，当手机支架打开时如图②所示，其中，，，求的长．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确构造直角三角形进行求解． 过点作于点，可得是等腰直角三角形，再解求出，再由求解． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 答：的长为． 【典例2】(24-25九上·安徽省阜阳市临泉县长官中学·期中)小海和小亮两人相约一起去参观革命烈士纪念馆．已知小海家B在小亮家A的北偏西方向上，．两人到达革命烈士纪念馆C处后，发现小亮家A在革命烈士纪念馆C的南偏西方向上，小海家B在革命烈士纪念馆C的南偏西方向上．求小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离．（结果保留1位小数；参考数据：） 【答案】小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是作辅助线构建直角三角形，解直角三角形求解． 过点作，先解求出，再解求出，最后由即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为. 由题意，得， . 在中，， ∴， . 在中，， ∴. 答：小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离约为． 【典例3】(24-25九上·湖南省长沙市长郡梅溪湖中学·期中)2022年11月29日，搭载神舟十五号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．运载火箭从发射点O处发射，当火箭到达A处时，在地面雷达站C处测得点A的仰角为，在地面雷达站B处测得点A的仰角为．已知，O、B、C三点在同一条直线上，求B、C两个雷达站之间的距离（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角问题；先由，得、的长度，再由得，最后由得出结果. 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴. 答：B、C两个雷达站之间的距离为. 重难点01 求角的正弦值、余弦值或正切值 【典例1】(25-26九上·河北石家庄第十七中学·期中)如图，为等腰三角形，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用和等腰三角形的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 过点A作于点D，过点B作于点E，根据勾股定理求出的长，再通过三角形面积公式进行表示求解即可． 【详解】解：过点A作于点D，过点B作于点E， ∵， ∴是边上的中线， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 故选C． 【变式1-1】(25-26九上·山东济宁第十五中学·期中)如图，在中，，于点，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数．先由勾股定理求出的长，再由，可得的长，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴． 故选：B 【变式1-2】(24-25九下·江苏苏州外国语实验学校宿迁分校·期中)如图，在中，，点D为的中点，于点E，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形及直角三角形斜边上的中线，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及正切的定义是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，进一步得出，令，再用m表示出的长即可解决问题． 【详解】解：由题知，令，则， ∴， ∵，且点D为的中点， ∴， ∴ 在中， ∵， ∴ 在中， ， 所以 故选：A． 【变式1-3】(24-25九上·辽宁大连第十四中学·期中)在中，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理．先利用勾股定理计算出，然后根据三角函数的定义对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， ． 故选项D符合题意． 故选：D． 重难点02 利用正弦值、余弦值或正切值求边长 【典例2】(24-25九上·重庆巴渝学校·期中)如图，在中，，，则的长为（   ） A． B．3 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先根据正弦的定义求出的长，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2-1】(24-25九上·福建泉州实验中学·期中)三角函数，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：和都小于1，大于1，故最大；只需比较和，又，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较解答即可． 【详解】根据锐角三角函数的概念，知． 又∵，正弦值随着角的增大而增大， ∴， ∴， 故选C ． 【点睛】本题考查锐角三角函数．掌握锐角三角函数的性质是解题关键． 【变式2-2】(24-25九上·江苏苏州高新区·期中)已知，则锐角A的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先把所有的三角函数都化成余弦函数，然后利用余弦函数的增减性即可求解． 【详解】解： 故选：C． 【点睛】本题主要考查了余弦函数的增减性及互余三角函数之间的关系，尤其余弦函数的增减性容易出错． 重难点03 互余两角的三角函数值 【典例3】(24-25九下·上海普陀区·期中)在中，，已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用互余两角的三角函数关系求解，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了互余两角的三角函数关系，解题关键是掌握一个角的正弦值等于它的余角的余弦值． 【变式3-1】(23-24九上·江苏常州武进区武进区前黄实验学校·期中)如图，在中，，，于点，，若，分别为，的中点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等角对等边，余弦，中位线．熟练掌握等角对等边，余弦，中位线是解题的关键． 由三角形内角和得，，则，，由题意得是的中位线，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，， ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】(24-25九上·黑龙江哈尔滨虹桥初级中学校·期中)已知，，D为中点，点E为中点，，若，则 ． 【答案】 【分析】如图，连接、， 则，，，设，则，可得，即，由勾股定理得，，即，可求满足要求的解为，则，，如图，作于，则四边形是矩形，，，，由勾股定理得，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵，D为中点，点E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，即， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， 如图，作于，则四边形是矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了中位线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，正切，矩形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握中位线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，正切，矩形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 重难点04 锐角三角函数与网格问题 【典例4】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图：连接， 由题意得：， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 在中，，， ∴， 故选：A． 【变式4-1】(24-25九下·云南文山文山第二学区·期中)在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理与格点问题，勾股定理的逆定理，正切的定义等．利用格点和勾股定理求出各边长，利用勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再利用余弦函数的定义即可求出的值即可． 【详解】解：连接， ，，， ， 是直角三角形，， ， 故选：D． 【变式4-2】(24-25九上·辽宁鞍山铁西区·期中)如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．取格点，连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图，取格点，连接， 由题意得：， ， ， ，， 即， 是直角三角形， ， ． 故选：C． 重难点05 特殊三角函数值混合运算 【典例5】(23-24九上·广东揭阳揭西县兴贤实验学校·期中)计算： 【答案】1 【分析】本题主要考查特殊三角函数值及零次幂，熟练掌握特殊三角函数值及零次幂是解题的关键；因此此题可根据特殊三角函数值及零次幂进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 【变式5-1】(24-25九下·福建漳州漳浦县·期中)计算： 【答案】 【分析】先分别计算乘方、绝对值、零次幂以及三角函数值，再进行加减运算得出结果．本题主要考查了有理数的乘方、绝对值的性质、零指数幂、特殊角的三角函数值，熟练掌握这些知识是解题的关键． 【详解】解： 【变式5-2】(24-25九上·山东烟台福山区臧家庄中学·期中)计算： 【答案】 【分析】先计算特殊角的三角函数值，再分别计算二次根式乘法与减法运算、去绝对值、负整数指数幂运算，最后根据分数的减法运算求解即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查实数混合运算，涉及特殊角的三角函数值、二次根式混合运算、去绝对值、负整数指数幂运算等知识．熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握实数混合运算法则是解决问题的关键． 重难点06 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 【典例6】若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 【答案】A 【分析】由已知可得，，从而可得，进而可得的形状． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查平方的非负性，绝对值的非负性，直角三角形的判定，特殊角的三角函数值． 【变式6-1】在ABC中， ，则ABC一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得，，从而得，，根据特殊角度三角函数的性质，得，；根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ABC一定是等腰直角三角形 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、三角函数的性质，从而完成求解． 【变式6-2】中，均为锐角，且，则的形状是 ． 【答案】等边三角形 【分析】先根据绝对值的非负性、偶次方的非负性可得，再根据特殊角的三角函数值求出的度数，然后根据等边三角形的判定即可得． 【详解】由绝对值的非负性、偶次方的非负性得：， 解得， 在中，均为锐角， ， 是等边三角形， 故答案为：等边三角形． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性、偶次方的非负性、特殊角的三角函数值等知识点，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 重难点07 解直角三角形求线段长度 【典例7】如图，在中，，，，则的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形及勾股定理，熟知余弦的定义及勾股定理是解题的关键． 根据余弦的定义得出与的关系，再结合长及勾股定理即可解决问题． 【详解】解：在中， ， ∴． 根据勾股定理得， ， 又∵， ∴， 解得（舍负）． 故选：D． 【变式7-1】(24-25九上·江苏苏州苏州工业园区星港，东沙湖，景城三校·期中)如图，在直角三角形中，，，求的长． （    ） A．米 B．25米 C．米 D．50米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，特殊角的三角函数值，等角对等边，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．先利用外角的性质推出，得出，再利用解直角三角形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式7-2】(24-25八下·福建福州台江区·期中)如图，在中，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理，作交的延长线于，求出是等腰直角三角形，结合勾股定理得出，从而得出，再利用勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式7-3】(24-25九下·甘肃平凉庄浪县集团校·期中)如图，菱形的对角线与相交于点O，E为的中点，连接，，，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，解直角三角形，由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E为的中点，， ∴， 故选：C． 重难点08 解直角三角形综合 【典例8】(24-25九上·江苏苏州苏州工业园区星港，东沙湖，景城三校·期中)如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，已知，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是根据题意求出与的长度． （1）设，由于，所以，再由勾股定理列出方程即可求出的值，再根据角平分线的性质即可求解； （2）设，根据全等三角形的判定和性质及可求出，然后根据正切的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：设， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴的长为； （2）解：设， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， ∴， ∴． 【变式8-1】(23-24八上·宁夏银川第四中学·期中)如图，已知与互相垂直．经测量得，，，． (1)求出的长（结果保留根号）； (2)求出的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用特殊角的三角函数值解直角三角形，矩形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． （1）过点作交的延长线于点，于点，解可求得，，解可求得，由，可以求得； （2）易证四边形为正方形，则，在 中，根据勾股定理即可求得，由，即可求得． 【详解】（1）解：过点作交的延长线于点，于点，则，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴四边形为矩形． 又∵， ∴， ∴矩形为正方形， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 【变式8-2】(24-25九下·宁夏吴忠第六中学·期中)如图，在四边形中，对角线，相交于点，，． (1)求证：； (2)点E在边上，满足．若，，求CE的长及的值． 【答案】(1)见解析 (2)CE的长为5，的值为3 【分析】本题考查全等三角形的性质及判定、勾股定理，解直角三角形，平行四边形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）通过证明，利用全等三角形对应边相等得出； （2）作于点，由，求得，接着证明四边形是平行四边形，得到的长度，则，再证明，则，求得，由，求得． 【详解】（1）证明：在和中， ， 。 ． （2）作于点，则 ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，， ，， CE的长为5，的值为3． 重难点09 解直角三角实际应用之仰角俯角问题 【典例9】小华想利用所学知识测量自家对面的两栋楼与的高度差．如图所示，她站在自家阳台上发现，在阳台的点处恰好可经过楼的顶端看到楼的底端，即点，，在同一直线上．此时，测得点的俯角，点的仰角，并测得，．已知，，，，点，，在同一水平直线上．求楼与的高度差．（参考数据：，，，，，） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握正切的定义是解题的关键．过点作于，过点作于，根据正切的定义分别求出，，计算即可． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于， ，，， 得矩形，矩形， ，， 在中，，， 则， ， 在中，，， 则， ， ， 在中，，， 则， ， ， 答：楼与的高度差约为． 【变式9-1】如图，地面上小山的两侧有A、B两地，为了测量A、B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与成角的方向，以每分钟的速度直线飞行，8分钟后到达C处，此时热气球上的人测得与成角，请你用测得的数据求A，B两地的距离长．（取1.7，取0.3，取0.9，取0.4，取0.9，取0.3，取2.7．） 【答案】长为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． 过点C作交延长线于点M，通过解得到和的长度，通过解得到的长度，则． 【详解】解：过点C作交延长线于点M， 由题意得：（m）， 在中， ∵， ∴（m）， ∴（m）， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （m）， 因此A，B两地的距离长为． 【变式9-2】(2025·河北省邯郸市·模拟)如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为，，，点B到地面的距离为 (1)求斜坡l的坡角的度数； (2)求点M与点N的高度差． 【答案】(1) (2)点M与点N的高度差为 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角函数（正弦、正切）的应用及解直角三角形的知识点，关键在于通过作辅助线构造直角三角形，利用已知条件和三角函数关系计算未知量，特别是正确识别和应用俯角、坡角等概念，以及灵活运用三角函数解决实际问题的能力． （1）通过作辅助线构造直角三角形，利用已知的点B到地面距离和长度，根据三角函数正弦值求出的度数； （2）先分别求出和的长度，再通过两者相减得到点M与点N的高度差． 【详解】（1）解：过B作于E， 在中， ，， ， ， ， 答：斜坡l的坡角的度数为； （2）过点B作于F，则，， ， ， ，， ， ， ， 答：点M与点N的高度差为． 重难点10 解直角三角实际应用之方位角问题 【典例10】(24-25九上·山东威海经开区（五四制）·期中)在东西方向的海岸线上有一长为的码头（如图），在码头西端的正西处有一观察站．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于的北偏西30°，且与相距的处；经过小时分钟，又测得该轮船位于的北偏东60°，且与相距 的处． (1)求该轮船航行的速度； (2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头靠岸？请说明理由． 【答案】(1)该轮船航行的速度为千米/小时 (2)轮船能正好行至码头靠岸，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，勾股定理，含角的直角三角形三边之间的关系，相似三角形的判定与性质，读懂题目信息并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键 （1）先求出，然后利用勾股定理列式求解即可得到，再求解即可； （2）作于R，作于S，延长交l于T，然后求出、、，然后利用，利用相似三角形对应边成比例列式求出的长，再求出的长，再进行判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴为直角三角形． ∵， ∴． ∵1小时分钟小时， ∴． 故该轮船航行的速度为； （2）能；理由如下： 作于R，作于S，延长交l于T． ， ∴． ∵， ∵， 又∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ， 解得：． ∴， 又∵长为， ∴， ∵， 故轮船能够正好行至码头靠岸． 【变式10-1】(24-25九上·海南海口海南华侨中学·期中)如图，在一条笔直的海岸线上有A、B两个观测站，A在的正东方向．有一艘船从A处沿北偏西方向出发，以每小时40海里速度行驶半小时到达P处，从B处测得小船在它的北偏东的方向上． (1)求的距离；（结果保留根号） (2)小船沿射线的方向继续航行一段时间后，到达点处，此时，从测得小船在北偏西的方向．求的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)海里 (2)海里 【分析】本题考查解直角三角形的应用之方向角的问题，其中涉及含角的直角三角形的性质、余弦、三角形内角和、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，正确作出辅助线，构造直角三角形、掌握相关知识是解题关键． （1）过点作于点，利用余弦定义解出、的长，再由直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半解得的长，最后根据等腰直角三角形两直角边相等的性质解题即可； （2）过点作于点，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，解得的长，在中，由勾股定理解得的长即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 在中，，， ，， ， ， 在中，，， ， 海里． （2）解：如图，过点作于点， 在中，，， ， ∴在中，， 在中，，， 海里． 的距离为海里． 【变式10-2】(23-24八上·河南安阳第十中学、七中、十一中等十校联考·期中)如图，某快艇由西向东航行，在处测得灯塔的方位是北偏东，又继续航行10海里，在处测得灯塔的方位是北偏东， (1)此时快艇与灯塔的距离是多少海里． (2)若把“灯塔”改为“小岛”，小岛点方圆海里内有暗礁，如果快艇继续向东航行，请问快艇有没有触礁的危险？请说明理由． 【答案】(1)（海里） (2)该快艇继续向东航行，没有触礁的危险，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形，三角形外角的性质定理，含的直角三角形等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）过作于点，利用直角三角形的性质求得相关角的度数，利用三角形的外角性质求出，即可得出结果； （2）利用含的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：过作于点， ∵， ∴， ∴， ∴（海里）； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴该快艇继续向东航行，没有触礁的危险． 重难点11 解直角三角实际应用之坡度坡比问题 【典例11】(24-25九上·辽宁鞍山铁西区·期中)如图，某大楼正前方有一栋小楼，小明从大楼顶端A测得小楼顶端E的俯角为，小楼底端D到大楼前梯坎的底端C有80米，梯坎长65米．梯坎的坡度，求大楼的高度（结果精确到1米，参考数据：，，，） 【答案】203米 【详解】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 根据题意可得：，从而可得，，再根据已知易得，从而设米，则米，然后在中，利用勾股定理可求出，的长，从而求出，的长，最后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【分析】解：如图： 由题意得：，， ∴，， ∵梯坎的坡度， ∴ ∴设米，则米， 在中，， ∵米， ∴， ∴， ∴米，米， ∵米， ∴（米）， 在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∴大楼的高度约为203米． 【变式11-1】(2025九下·陕西省西安市·期中)如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度)的山坡，点、点与点在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底处测得楼顶的仰角为，然后沿坡面上行了20米到达点处，此时在处测得楼顶的仰角为．求楼的高度．(溅角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，，，，) 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 由题意得：，米，根据已知山坡的坡度，可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算可求出的长，过点作，垂足为，根据题意可得：米，，设米，则米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，米， 山坡的坡度：， ， 设米，则米， 在中， 米， ， 解得：， 米， 过点作，垂足为， 由题意得：米，， 设米， 米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， 米， ， 解得：， 米， 楼的高度约为米． 【变式11-2】(24-25九下·江西抚州高新技术产业开发区·期中)数学实践活动不仅可以增强学生的动手能力，还能加深他们对数学知识的理解．某数学兴趣小组开展了测量旗杆高度的实践活动，如图，斜坡的坡度，，在点处测得旗杆顶部的仰角为，在点处测得旗杆顶部的仰角为． (1)求点离水平地面的高度； (2)求旗杆的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． （1）根据坡度的定义以及已知条件可得，然后解直角三角形即可解答； （2）如图：过D作，则四边形是矩形可得，结合可得，由由（1）可得，设，则，，然后根据正切的定义列方程求得a，进而根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵斜坡的坡度， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴点离水平地面的高度为6． （2）解：如图：过D作，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：， 设，则，， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 重难点12 解直角三角实际应用之跨学科问题 【典例12】如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，） 【答案】(1)酒精灯与铁架台的水平距离的长度为 (2)线段的长度为 【分析】本题主要考查了三角函数的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）过点作于点，根据题意可得 ， ，利用三角函数可得（），易得 ，即可获得答案； （2）过点作于点H，于点，过点作于点，利用三角函数可解得，的值，再证明为等腰直角三角形，并解得 ，然后由求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点，如下图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为； （2）解：如图，过点作于点H，于点，过点作于点， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：线段的长度为． 【变式12-1】(24-25九上·福建莆田哲理中学·)我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角， 代表折射角）． 观察实验：为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在处，加水至处，光斑左移至处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，为法线，测得， ，（参考数据： ） (1)求入射角的度数； (2)若光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离． 【答案】(1)入射角约为； (2)光斑移动的距离为． 【来源】福建省莆田市哲理中学2024-2025学年上学期数学九年级第三次综合训练卷 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形边角关系以及“折射率”的定义是正确解答的前提． （1）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，从而可得入射角； （2）根据，先求出，再作，设，，则，列出关于的方程式，求得的值，进而求得答案． 【详解】（1）如图，设法线为，则，   ， ，， ， ， 入射角约为， ． （2） ，， ， ， 作，   ， 设，，则， ， 解得：， ， ， 答：光斑移动的距离是． 【变式12-2】(24-25下·广东佛山三水区·期中)综合与实践 【教材重现】北师大版九年级下册教科书第9页例2：如图1，一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差（结果精确到），图2是该情境建模后的图形．（本题不用解答） 实际上，当秋千向两边摆动时，由于受摩擦力等其他因素的影响，两边摆动的角度一定不相同．某兴趣小组去到公园进行实地探究，测量了若干数据．请解答下列问题： (1)如图3，秋千没摆动时，秋千的踏板离地面是，将它往左拉，此时踏板离地面，求秋千链子的长度； (2)如图4，在（1）的条件下，释放踏板，测得秋千摆动到右侧时与竖直方向的夹角为，求秋千踏板在B、D处的高度差．（参考数据：，，，结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题关键． （1）过点作，则四边形是矩形，设秋千链子的长度为，利用勾股定理列方程求解即可； （2）过点作于点，由（1）可知，，再利用角的余弦值，求出，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 设秋千链子的长度为， 则，， 在中，， ， 解得：， 即秋千链子的长度为， （2）解：如图，过点作于点， 由（1）可知，， 在中，， ， 点离地面高度为， 秋千踏板在B、D处的高度差为． 重难点13 解直角三角实际应用之其他问题 【典例13】(24-25九下·江苏盐城初级中学（康居路）·期中)消防车是消防救援的主要装备，图1是某种云梯消防车，图2是其侧面示意图，点、、在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆（长度可以变化），点，，在同一水平线上，与地面平行，其中可伸缩，云梯的最大长度为15米，套管的长度不变． (1)在某种工作状态下测得，，，米，求的长． (2)如图3，先将云梯伸长到最大长度15米，再将从增加到某一角度时，若云梯顶端的铅直高度升高了3米，求增加的度数．（参考数据：，，） 【答案】(1)1米 (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，构造直角三角形是关键． （1）过点作于点，在中，，，可得米，米，根据，得到米，由米即可求解； （2）算出增加角度前后云梯顶端到的距离，进而利用锐角三角函数求得的度数，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图2，过点作于点，，米， 在中，，， ∴（米），（米）， ， （米）， （米）， 答：的长为3米； （2）解： 如图3，过点D作于点H， 当时，云梯顶端到的距离为（米）， ∴增加角度后云梯顶端到的距离为， 在中，由得， ∴， ∴增加的度数为． 【变式13-1】(2025·江西省南昌市·一模)“垃圾入桶，保护环境，从我做起”，图1是一种摇盖垃圾桶的实物图，图2是其侧面示意图，其盖子可整体绕点A所在的轴旋转．现测得，，，，． (1)如图3，将整体绕点A逆时针旋转角，当时，求的度数． (2)求点A到CD的距离．（结果精确到，参考数据，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键； （1）根据题意，可以求解和的度数，根据，求得，即可求解； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据平分，求得，求得的度数，进而求得的长度，从而求解； 【详解】（1）解：，， ， ∵， ， ， 故； （2）解：如图：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ，， 平分， 而 ∴在中，， 又， ， ∴在中，，， ， ， ， ， 到的距离为； 【变式13-2】(24-25九下·湖南长沙一中集团·期中)2025年长沙将再增一座跨江大桥，长沙兴联路大桥目前已完成合龙全线贯通，建成通车后将大大缩短湘江两岸通行时间．兴联路大桥区域交通简化示意图如图所示，线段表示湘江北路，长度，线段表示三汊矶大桥，长度，线段表示潇湘北路，长度，折线段表示兴联路大桥跨江部分，，．根据以上数据解决下列问题： (1)计算兴联路大桥跨江部分线段的长度；（结果精确到，参考数据） (2)兴联路大桥通车前，从A地驾车前往D地，需绕行三汊矶大桥，按路线行驶，平均速度约为，通车后可以直接沿兴联路大桥按路线行驶，平均速度约为，试利用（1）中的数据估计兴联路大桥通车后从A地到D地可节约多少分钟？（） 【答案】(1)的长度约为 (2)大约可节约分钟 【分析】（1）延长交于点H，解直角三角形，结合矩形的判定和性质解答即可． （2）转化单位后，利用速度，路程，时间的关系变形计算解答即可． 本题考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，行程问题，熟练掌握矩形的判定和性质，解直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：延长交于点H， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，且， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， 答：的长度约为km． （2）解：根据题意，得，， 经过路线的时间， 经过路线的时间， 故， 答：大约可节约分钟． 重难点14 解直角三角实际应用之素材问题 【典例14】(2025九·甘肃省兰州市·一模)西固金城公园9D玻璃栈桥是我省最长的9D特效玻璃桥，数学实践小组在研学时提出问题：玻璃栈桥正下方地面某一标志物到桥面的距离约为多少？ 实践小组利用已学知识和工具测量数据解决问题，具体研究方案如下： 问题 玻璃栈桥正下方地面某一标志物到桥面的距离约为多少？ 工具 皮尺、测领器等测量工具 图形 说明 根据实际问题画出示意图（如上图），为测得玻璃栈桥正下方地面某一标志物C到桥面的距离，小组成员首先借助测倾器在桥面上寻得一观测点A，使得，然后利用皮尺在桥面上寻得离A点的另一观测点B，利用测倾器测量的度数，最后求得标志物C到桥面的距离． 数据 ，，． 根据上述信息，请你帮助实践小组求出标志物C到桥面的距离．（结果精确到1m）（参考数据：，，） 【答案】标志物C到桥面的距离约为 【分析】本题考查解直角三角形，解一元一次方程等．根据题意过点C作于点 D， 设，再表示出和，最后列出方程计算即可． 【详解】解： 如图，过点C作于点 D， 设， 在中， 在中，， ， ∵， ∴，解得：， 即标志物C到桥面的距离约为． 【变式14-1】(24-25九上·上海新北郊初级中学·期中)根据以下素材，探索完成任务：，结果精确到0.1cm） 素材1：如图1是上海地铁里常见的一组通道闸机，当乘客扫码或刷卡后，闸机两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图2是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和扇形是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，，半径，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为． 素材2：小磊同学要携带如图3的长方体行李箱进站．（单位：） 问题解决 任务1 确定宽度 求闸机通道的宽度，即与之间的距离． 任务2 确定高度 若点B、E到地面的距离均为，求点A到地面的距离． 任务3 能否通过 小磊同学的行李箱是否可以通过闸机？请说明理由． 【答案】任务1：  任务2：   任务3：小磊同学推着“”的箱子时，可以通过闸机 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形． 任务1：连接，并向两边延长，分别交，于点，，由两圆弧翼成轴对称可得，在中， ，进而作答即可； 任务2：过点作垂直于地面于点，过点作交于点，在中， ，即可求出距离； 任务3：根据与之间的距离约为，即可说明小磊的行李箱是否可以通过闸机. 【详解】任务1：如图，连接，并向两边延长，分别交，于点，， 由题意得 ∴的长度就是与之间的距离， 由两圆弧翼成轴对称可得， 在中， ， ， ∴与之间的距离约为； 任务2：如图，过点作垂直于地面于点，过点作交于点， 可得， 在中，， ∴ ∵点，到地面的距离均为， ∴， ∴， 答：点到地面的距离约为； 任务3：∵与之间的距离约为， ∴当小磊同学推着“”的箱子时，可以通过闸机． 【变式14-2】(2025·安徽省合肥市·一模)项目式学习 项目背景 2025年3月21日，神舟十九号航天员蔡旭哲在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装置及舱外辅助设施安装、舱外设备设施巡检等任务．某学校机器人兴趣小组在详细研究了空间站机械臂的结构设计、工作原理和运动控制方式后，绘制了处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图．为了更好地理解此时手臂机器人的工作范围，小组需完成两个任务． 图示及说明 如图所示，是垂直于工作台的移动基座，为机械臂，，． 任务1 求机械臂端点到工作台的距离的长；（结果精确到） 任务2 求的长．（结果精确到） 参考数据 【答案】任务1：6.6米；任务2：3.8米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 任务1：过点作于点，过点作于点，过点作于，在中，求得，在中，求得，最后求得的长即可； 任务2：在中，求得的长，在中，求得的长，最后求得的长． 【详解】任务1：过点作于点，过点作于点，过点作于， 四边形，四边形都是矩形， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 答：机械臂端点到工作台的距离的长约为6.6米. 任务2：在中，由勾股定理可知： ， 在中， ， ， ． 答：的长约为3.8米. 1 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $