精品解析：河南省平顶山市郏县2025-2026学年上学期九年级数学期中学情检测

2025-2026学年上学期期中学情检测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，按答题卡上注意事项的要求把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置． 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列几何体中，主视图和左视图都是矩形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依此即可求解． 【详解】A.主视图为圆形，左视图为圆，故选项错误； B.主视图为三角形，左视图为三角形，故选项错误； C.主视图为矩形，左视图为矩形，故选项正确； D.主视图为矩形，左视图为圆形，故选项错误. 故答案选：C. 【点睛】本题考查三视图，正确得出各几何体从正面、左面看，所得到的图形是解题关键. 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 5，4，1 B. 5，，1 C. ，，1 D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，根据一元二次方程的一般形式为，直接读取二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数为5，一次项系数为，常数项为1； 故选B 3. 已知（a，b，c，d均不为0），则下列比例式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质．根据内项积=外项积对各个选项检验即可得到结论． 【详解】解：A. ，即，故该选项符合题意； B. ，即，故该选项不符合题意； C. ，即，故该选项不符合题意； D. ，即，故该选项不符合题意； 故选：A． 4. 解方程时，小明进行了相关计算并整理如下： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 则该方程必有一个根满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一元二次方程的近似根．根据表格得出近似根的取值范围． 【详解】解：∵时，， 时，， ∴当在1与之间取某一个数时，可使， 即方程的其中一个解满足的范围是． 故选：B． 5. 在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率和概率，下列说法正确的是（　　） A. 频率就是概率 B. 频率与试验次数无关 C. 在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各实验小组所得频率的值也会相同 D. 随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率数值附近 【答案】D 【解析】 【分析】根据大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率解答． 【详解】∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率， ∴D选项说法正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率． 6. 有一块直角边的的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理、把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长，熟练掌握对应高的比等于相似比是关键．过点B作，垂足为P，交于Q，三角形的面积公式求出的长度，由相似三角形的判定定理得出，设边长，根据相似三角形的对应边成比例求出x的长度可得． 【详解】解：由勾股定理得：， 如图，过点B作，垂足为P，交于Q， ， ． ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则有：， 解得， 故选：D． 7. 小高和小明参加了国家智慧教育平台开展的“读经典，我思考”主题读书活动，打算从《红星照耀中国》、《红岩》和《长征》三本书中随机挑选1本阅读，则小高和小明恰好选中同一本书的概率为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有9种等可能的结果，其中小高和小明恰好选中同一本书的结果有3种，再由概率公式求解即可 【详解】解：把《红星照爆中国》、《红岩》和《长征》三本书分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小高和小明恰好选中同一本书的结果有3种， 小高和小明恰好选中同一本书的概率， 故选：B 8. 乐器上的一根琴弦AB＝60厘米，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是AB的黄金分割点(AC＞BC)，则AC的长为(　　) A. (90－30)厘米 B. (30＋30)厘米 C. (30－30)厘米 D. (30－60)厘米 【答案】C 【解析】 【详解】分析：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比． 详解：根据黄金分割点的概念得：AC=AB=（30-30）厘米． 故选C． 点睛：此题主要是考查了黄金分割点的概念，要熟悉黄金比的值是关键． 9. 某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的铁制小门．设试验田垂直于墙的一边的长为，则下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先确定墙的长不是AD，根据题意求出矩形的长BC即可，注意加上门的长度. 【详解】解：已知设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，BC=49-2x+1 ， 所以 S矩形ABCD=AB×BC ， 所以方程为： x(49+1-2x)=200 ， 故选 C. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键. 10. 如图，在矩形中，，E为的中点，F为上一动点，P为中点，连接，则的最小值是（　　） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知，故的最小值为的长，由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图： 当点F与点C重合时，点P在处，， 当点F与点E重合时，点P在处，， ∴且． 当点F在上除点C、E的位置处时，有． 由中位线定理可知：且． ∴点P的运动轨迹是线段， ∴当时，取得最小值． ∵矩形中，，E为的中点， ∴为等腰直角三角形，． ∴． ∴． ∴． ∴，即， ∴的最小值为的长． 在等腰直角三角形中，． ∴． ∴的最小值是． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，中位线定理，勾股定理，解题的关键是利用特殊位置解决问题． 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，则实数m的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值． 【详解】∵方程有两个相等的实数根， ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】考查一元二次方程根的判别式， 当时，方程有两个不相等的实数根. 当时，方程有两个相等的实数根. 当时，方程没有实数根. 12. 看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6则田忌能赢得比赛的概率为__________________． 马匹 姓名 下等马 中等马 上等马 齐王 6 8 10 田忌 5 7 9 【答案】 【解析】 【分析】利用列举法求概率，列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可． 【详解】解：齐王的三匹马出场顺序为10，8，6； 而田忌的三匹马出场顺序为5，7，9；5，9，7；7，5，9；7，9，5；9，5，7；9，7，5；共6种，田忌能赢得比赛的有5，9，7；一种 ∴田忌能赢得比赛的概率为 故答案为： 【点睛】本题考查概率的求法，解题的关键是要注意列举法需要做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 13. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似图形的概念得到四边形和四边形相似，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：∵四边形的面积是四边形面积的4倍， ∴四边形和四边形的相似比为， ∵， ∴第一象限内点 ，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 14. 如图，小军、小珠之间的距离为2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m，1.5 m，已知小军、小珠的身高分别为1.8 m，1.5 m，则路灯的高为____m． 【答案】3 【解析】 【详解】解：如图，∵CD∥AB∥MN， ∴△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF， ∴， 即， 解得：AB=3m， 故答案为：3 15. 如图，平面直角坐标系中，长方形的顶点分别位于两坐标轴正半轴，点的坐标为，为轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在轴上时，点的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理与折叠问题，先由题意求出，再由折叠的性质得到 ，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，在中，由勾股定理建立方程求出的长即可得到答案． 【详解】解；由题意得，轴，轴， ∵的坐标为， ∴， ∴， 分两种情况： 当点在轴的正半轴时，如图所示： 由折叠的性质可得 ， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ②当点在轴的负半轴时，如图所示： 由折叠的性质可得 ， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），． 【解析】 【分析】（1）整理后，根据直接开平方法解一元二次方程即可； （2）根据配方法解一元二次方程即可； （3）根据因式分解法解一元二次方程即可； （4）根据配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴，； 【小问3详解】 解：， ， 或， ∴，； 【小问4详解】 解：， ， ， ， ， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 17. 如图，已知在中，D是边上的一点，的平分线交于点E，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵BE平分 ∴∠DBE=∠CBE ∵ ∴∠ABE=∠AEB ∴∠ABD＋∠DBE=∠C＋∠CBE ∴∠ABD=∠C ∵∠A=∠A ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DBE=∠CBE，根据等边对等角可得∠ABE=∠AEB，即可求出∠ABD=∠C，然后根据相似三角形的判定定理即可证出结论； （2）先求出AC，根据相似三角形的性质即可求出AB，从而求出结论． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴AC=AD＋CD=7 ∵ ∴ 即 解得：AB= ∴=． 【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质和等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定及性质和等边对等角是解题关键． 18. 在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图． （1）请估计：当很大时，摸到白球的概率将会接近 （精确到），假如你摸一次，你摸到白球的概率为 ； （2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）在（）条件下，如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】（1），； （2）估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有个、个； （3）需要往盒子里再放入个白球． 【解析】 【分析】（）根据统计图容易得出结果； （）由摸到白球的概率将会接近，则白球，故黑球； （）设需要往盒子里再放入个白球； 根据题意得出方程，解方程即可； 本题考查了利用频率估计概率、概率公式，解分式方程，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据统计图可知：当很大时，摸到白球的概率将会接近，假如你摸一次，你摸到白球的概率为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵摸到白球的概率将会接近， ∴摸到白球（个）， ∴黑球（个）， 答：估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有个、个； 【小问3详解】 解：设需要往盒子里再放入个白球， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：需要往盒子里再放入个白球． 19. 如图是一张对边平行的纸片，点，分别在平行边上，连接． （1）求作：菱形，使点，落在纸片的同一边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）证明：四边形是菱形． （3）在（1）的条件下，，交于点，若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 则四边形即为所作； （2） 证明：设，交于点， 根据作图可知：垂直平分， ∴，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （3） 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交纸片的平行边于两点，，连接、； （2）根据垂直平分线的性质得，，由，得，，证明，得，推出四边形为平行四边形，即可得证； （3）先根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理得，然后根据菱形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图，作线段的垂直平分线，交纸片的平行边于两点，，连接、． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 20. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）若每件童装降价元，则每天销售量为___________件，每件童装的利润为___________元． （2）每件童装售价多少元时，能使顾客得到实惠并且商家平均每天能盈利1200元． 【答案】（1），； （2）每件童装售价为100元，平均每天盈利1200元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键． （1）根据：销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，每件利润=实际售价-进价，列式即可； （2）根据：总利润=每件利润×销售数量，列方程，求解可得． 【小问1详解】 解：∵每件童装降价x元时， ∴每天可销售件，每件盈利元． 故答案为：，； 【小问2详解】 根据题意，得：， ∴，． 因为让利于顾客，所以符合题意． ∴售价为（元）． 答：每件童装售价为100元，平均每天盈利1200元． 21. 定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值． 【答案】（1）此方程为“限根方程”，理由见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式． （1）解该一元二次方程，得出，，再根据“限根方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入，即可求出，，再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可. 【小问1详解】 解：此方程为“限根方程”，理由如下： ， 解得：，， ∵， ∴方程为“限根方程”； 【小问2详解】 由根与系数的关系，得，， ∵， ∴, ∴或； 当时，，， ∴, ∴符合题意； 当时，， ∴, ∴（不符合题意，舍去）， ∴k的值为2. 22. 近期黑神话：悟空正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象黑神话：悟空游戏中选取的处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测 量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤：把长为米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，测得米； 步骤：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米；以上数据均为近似值 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的判定和性质得出边的大小解答． 证明，得到对应边成比例，列方程解决即可． 【详解】解：设米，米． ， ， ． ，，， ． ， ， ． ，，， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ， ， 经检验，是原方程的解， 答：飞虹塔的高度为米． 23. 小聪同学用特殊到一般的思想方法来研究平行四边形对角线与边长的关系，下面是他的思考过程． （1）操作判断 如图1，正方形的边长为a，则． 如图2，菱形的边长为a，则_________（请用含a的代数式表示）． （2）性质探究 ①如图3，在矩形中，，，则_________（请用含a，b的代数式表示）． ②如图4，在中，，．猜想与a、b的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 在如图4的中，，，．将点D绕点O旋转，点D的对应点为，在旋转的过程中，当∥时，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2）①；②；理由见解答过程 （3）或 【解析】 【分析】（1）由菱形可知，利用勾股定理即可得解； （2）①分别利用勾股定理分别表示出和，从而得解； ②矩形倾斜会成为平行四边形，所以我们可以把平行四边形构造成矩形，过点A作于点E，过点D作交BC的延长线于点F，易证≌，所以，，再分别用a、b、BE表示出和，消去BE即可得解； （3）由前述结论易推出，从而得到，再分类讨论点在平行四边形上方和下方，画出图形求解即可． 【小问1详解】 解：四边形ABCD是菱形， ，，， ， 在中，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ①四边形ABCD是矩形， ，， 在中，， 在中，， ， 故答案为：； ②；理由如下： 如图，过点A作于点E，过点D作交BC的延长线于点F， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ≌， ，， 在中，， 即， 在中， 在中， ， ； 【小问3详解】 的长为或，理由如下： 在中，，，． ，， 由（2）知， 解得：， ， ， 在中，，，， ， 是直角三角形，， 当时， ， 分两种情况： ①如图，过点作的延长线于点M，则， ， 四边形是矩形， ，，， ， 在中，； ②如图，过点作的延长线于点N， 同理可得四边形是矩形， ，，， ， 在中，， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，正确运用类比探究思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期期中学情检测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，按答题卡上注意事项的要求把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置． 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列几何体中，主视图和左视图都是矩形的是（　　） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 5，4，1 B. 5，，1 C. ，，1 D. ，， 3. 已知（a，b，c，d均不为0），则下列比例式中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 解方程时，小明进行了相关计算并整理如下： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 则该方程必有一个根满足（ ） A. B. C. D. 5. 在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率和概率，下列说法正确的是（　　） A. 频率就是概率 B. 频率与试验次数无关 C. 在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各实验小组所得频率的值也会相同 D. 随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率数值附近 6. 有一块直角边的的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（　　） A. B. C. D. 7. 小高和小明参加了国家智慧教育平台开展的“读经典，我思考”主题读书活动，打算从《红星照耀中国》、《红岩》和《长征》三本书中随机挑选1本阅读，则小高和小明恰好选中同一本书的概率为（    ） A. B. C. D. 8. 乐器上的一根琴弦AB＝60厘米，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是AB的黄金分割点(AC＞BC)，则AC的长为(　　) A. (90－30)厘米 B. (30＋30)厘米 C. (30－30)厘米 D. (30－60)厘米 9. 某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的铁制小门．设试验田垂直于墙的一边的长为，则下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，E为的中点，F为上一动点，P为中点，连接，则的最小值是（　　） A. 2 B. 4 C. D. 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，则实数m的值为___________． 12. 看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6则田忌能赢得比赛的概率为__________________． 马匹 姓名 下等马 中等马 上等马 齐王 6 8 10 田忌 5 7 9 13. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为___________． 14. 如图，小军、小珠之间的距离为2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m，1.5 m，已知小军、小珠的身高分别为1.8 m，1.5 m，则路灯的高为____m． 15. 如图，平面直角坐标系中，长方形的顶点分别位于两坐标轴正半轴，点的坐标为，为轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在轴上时，点的坐标为________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 如图，已知在中，D是边上的一点，的平分线交于点E，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 18. 在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图． （1）请估计：当很大时，摸到白球的概率将会接近 （精确到），假如你摸一次，你摸到白球的概率为 ； （2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）在（）条件下，如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 19. 如图是一张对边平行的纸片，点，分别在平行边上，连接． （1）求作：菱形，使点，落在纸片的同一边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）证明：四边形是菱形． （3）在（1）的条件下，，交于点，若，，求菱形的面积． 20. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）若每件童装降价元，则每天销售量为___________件，每件童装的利润为___________元． （2）每件童装售价多少元时，能使顾客得到实惠并且商家平均每天能盈利1200元． 21. 定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值． 22. 近期黑神话：悟空正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象黑神话：悟空游戏中选取的处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测 量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤：把长为米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，测得米； 步骤：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米；以上数据均为近似值 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 23. 小聪同学用特殊到一般的思想方法来研究平行四边形对角线与边长的关系，下面是他的思考过程． （1）操作判断 如图1，正方形的边长为a，则． 如图2，菱形的边长为a，则_________（请用含a的代数式表示）． （2）性质探究 ①如图3，在矩形中，，，则_________（请用含a，b的代数式表示）． ②如图4，在中，，．猜想与a、b的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 在如图4的中，，，．将点D绕点O旋转，点D的对应点为，在旋转的过程中，当∥时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $