精品解析：福建省福州市闽侯县第六中学2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

2025-2026学年第一学期高二年期中质量检测 数学学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 圆心为且半径为的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知正方体为上底面的中心，则（ ） A. B. C. D. 4. 经过两点的直线的方向向量为，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 已知圆和圆，则它们的公切线的条数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 已知是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（ ） A. B. C. D. 7. 经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆的方程为，下列结论正确的是（ ） A. 圆的圆心坐标为 B. 圆的面积为 C. 点在圆外 D. 直线与圆相切 10. 已知直线，则下列表述正确的是（ ） A. 当时，直线的倾斜角为 B. 当实数变化时，直线恒过点 C. 当直线与直线平行时，则两条直线的距离为1 D. 原点到直线距离最大值为 11. 正方体的棱长为为正方体的中心，分别为棱的中点，则下列正确的是（ ） A. B. 为直角三角形 C. 平面 D. 到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间直角坐标系中，点在坐标平面内射影的坐标为___________． 13 三条直线与相交于一点，则___________． 14. 已知与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求满足下列条件的直线的方程： （1）经过点，且与直线垂直； （2）经过点，且在两坐标轴上的截距相等． 16. 在棱长为1的正方体中，分别是的中点． （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值； （3）求点到直线的距离． 17. 已知直线和圆． （1）判断直线与圆位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长； （2）求过点且与圆相切的直线方程． 18. 已知圆C：关于直线对称，且圆心在x轴上． （1）求圆C的标准方程； （2）若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B． ①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值； ②求证：直线AB恒过定点． 19 如图，四棱锥中，底面，四边形中，，． （1）求证：平面平面； （2）设． （i）若，求直线与平面所成角的正弦值； （ii）线段上是否存在一个点，使得点到点的距离都相等？说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高二年期中质量检测 数学学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 圆心为且半径为的圆的标准方程为（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的标准方程的形式，结合已知圆心坐标和半径，代入求解方程. 【详解】已知圆心为，即，半径，代入标准方程得：. 故选：A. 2. 已知点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】点到直线的距离为： . 故选：D 3. 已知正方体为上底面的中心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据和，可求得关于的线性表示，由此可求结果. 【详解】 因为， 所以. 故选：A 4. 经过两点的直线的方向向量为，则的值为（ ） A B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用两点式求斜率，结合斜率与方向向量的关系列方程求参数. 【详解】由题意. 故选：C 5. 已知圆和圆，则它们的公切线的条数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】通过两个圆的圆心距与半径的关系判断两个圆的位置关系，进而判断公切线的条数. 【详解】已知圆，其圆心，半径； 圆，其圆心，半径. 可得：， 由于，可得：两个圆相外切. 故圆与圆有条公切线. 故选：B 6. 已知是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不共面的三个向量能构成一组基底判断. 【详解】对于A，，故三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； 对于B，假设共面，则存在实数使得， 整理得，这与不共面矛盾，故不共面，可以构成一组基底； 对于C，，故三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； 对于D，，故三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； 故选：B 7. 经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，作出图形，利用斜率公式结合图形求解作答. 【详解】如图，直线与线段总有公共点，即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可， 而， 因此， 故选：C 8. 已知，直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出两直线所过定点，确定动点P的轨迹方程，结合圆上的点到定直线的距离的最值，即可求得答案； 【详解】直线整理可得，， 即直线恒过，同理可得恒过， 又，直线和互相垂直， 两条直线的交点在以，为直径的圆上， 即的轨迹方程为，去掉， （这是因为不能表示直线，不能表示直线） 设该圆心为，则，则， 由于垂直于直线，故M到的距离即为，而， 即，而当时，点的坐标为，不符合题意. 故的取值范围是， 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆的方程为，下列结论正确的是（ ） A. 圆的圆心坐标为 B. 圆的面积为 C. 点在圆外 D. 直线与圆相切 【答案】AD 【解析】 【分析】由题知圆的圆心坐标为，半径为，再依次讨论各选项即可. 【详解】将圆的一般方程化为标准方程得， 所以圆的圆心坐标为，半径为，故A选项正确； 所以圆的面积为，故B选项错误； 由于，故点在圆内，故C选项错误； 由于到直线的距离为，故直线与圆相切，D选项正确. 故选：AD 10. 已知直线，则下列表述正确的是（ ） A. 当时，直线的倾斜角为 B. 当实数变化时，直线恒过点 C. 当直线与直线平行时，则两条直线的距离为1 D. 原点到直线的距离最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，可求出直线斜率，即可判断选项正误；对于B选项，将直线方程整理为，由此可得直线所过定点；对于C选项，由题可得，后由平行直线距离公式可判断选项；对于D选项，根据直线恒过点，结合两点间的距离公式判断即可 【详解】对于A选项，当时，直线方程为，可得直线斜率为，则倾斜角为，故A正确； 对于B选项，由题可得，则直线过定点，故B正确； 对于C选项，因直线与直线平行，则，解得：，则直线方程为：，即 则直线与直线之间的距离为，故C错误； 因为直线恒过点，故原点到直线的距离，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ABD 11. 正方体的棱长为为正方体的中心，分别为棱的中点，则下列正确的是（ ） A. B. 为直角三角形 C. 平面 D. 到平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系进行运算即可. 【详解】以点E为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，，. 对于A，，，故，A选项错误； 对于B，因为，则，所以， 故，所以为直角三角形，B选项正确； 对于C，由于，，故，所以， 所以，由于平面，平面，故平面，C选项正确； 对于D，，，设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以，又 所以到平面的距离为，故D选项正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间坐标平面中点的坐标定义易得. 【详解】设点在坐标平面内的射影为，则平面. 根据空间坐标平面中点的坐标定义，易得，故得. 故答案为：. 13. 三条直线与相交于一点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先联立方程得交点，再代入求解即可. 【详解】根据题意，联立方程，解得， 所以与相交于点， 因为三条直线与相交于一点， 所以点在上，即，解得 所以. 故答案为： 14. 已知与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题知到直线的距离为，再根据点线距公式列方程求解即可. 【详解】由题知圆心为的圆的半径为，圆心为， 因为为等边三角形， 所以， 所以，圆心到弦的距离为，即到直线的距离为， 所以，即，解得，即 所以实数. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求满足下列条件的直线的方程： （1）经过点，且与直线垂直； （2）经过点，且在两坐标轴上的截距相等． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)根据垂直的条件，先设所求的含有参数的直线的方程，再将A点坐标代入即可； (2)截距相等意味着截距可能为0也可能不为0，分别考虑这两种情况设直线方程，将点B坐标代入即可. 【小问1详解】 与直线垂直的直线可设为 把代入得：， 故所求直线方程为； 【小问2详解】 ①当直线过原点时，直线方程为； ②当直线不过原点时，设直线的方程为， 把代入得：解得：， 此时直线方程为； 综上，所求直线方程为或． 16. 在棱长为1的正方体中，分别是的中点． （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值； （3）求点到直线距离． 【答案】（1）证明见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明三角形为等腰三角形可完成证明； （2）如图，连接，设交点为，连接，则为与所成角或补角，然后由题及余弦定理可得答案； （3）点到直线的距离，即为三角形边上的高，据此可得答案. 【小问1详解】 如图，连接，则三点共线， ，三角形为等腰三角形，又为中点， 则由等腰三角形三线合一可得； 【小问2详解】 如图，连接，设交点为，连接. 易得，则为与所成角或补角，再连接. 由题可得，，. 则由余弦定理，， 即与所成角的余弦值为； 【小问3详解】 如图连接，则点到直线的距离，即为三角形边上的高. 由题可得平面，又平面，则. 即三角形为直角三角形，设点到直线的距离为. 则. 17. 已知直线和圆． （1）判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长； （2）求过点且与圆相切的直线方程． 【答案】（1）相交，截得的弦长为2. （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系求解； （2）利用直线与圆相切与点到直线的距离公式的关系求解. 【小问1详解】 由圆可得，圆心,半径， 圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相交， 直线被圆截得的弦长为. 【小问2详解】 若过点的直线斜率不出在，则方程为， 此时圆心到直线的距离为，满足题意； 若过点且与圆相切的直线斜率存在， 则设切线方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 所以切线方程为，即， 综上，过点且与圆相切的直线方程为或. 18. 已知圆C：关于直线对称，且圆心在x轴上． （1）求圆C的标准方程； （2）若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B． ①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值； ②求证：直线AB恒过定点． 【答案】（1） （2）①，②证明见解析. 【解析】 【分析】根据圆的对称性及圆心在x轴上列方程分别求得D、E，进一步求得圆的标准方程； 根据圆的切线性质及面积计算得到，进一步当M在x轴上时取得最小值时四边形的面积最小，求得结果； 根据切线性质得到四点ACBM共圆，AB是两圆的公共弦，通过求得以MC为直径的圆的方程进一步求得直线AB的方程，最后根据无论m为何值直线恒过证得结果． 【小问1详解】 圆C的方程的圆心坐标为，半径， 由圆心在x轴上，圆关于直线对称得到，，， ，，所求圆C的标准方程为． 【小问2详解】 如下图所示，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B， ，，， ， 当最小时，四边形的面积最小， 当点M在x轴上时， 此时S的最小值为． 设点，四点MBCA共圆，即点A、B在以CM为直径的圆上， 该圆的圆心为，半径为， ，即， 是圆C与以MC为直径的圆的公共弦， 直线AB的方程为两圆公共弦方程，两圆方程联立消去二次项， 得到， 时，， 无论m取何值直线恒过点． 19. 如图，四棱锥中，底面，四边形中，，． （1）求证：平面平面； （2）设． （i）若，求直线与平面所成角的正弦值； （ii）线段上是否存在一个点，使得点到点的距离都相等？说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）；（ii）不存，理由见解析. 【解析】 分析】（1）由题证明平面，据此可完成证明； （2）如图建立空间直角坐标系. （i）由题可得与平面法向量坐标，然后由空间向量知识可得答案；（ii）设，由结合空间向量知识可得关于的方程，据此可得答案. 【小问1详解】 因底面，底面，则，又， 平面，，则平面，又平面， 则平面平面； 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系. （i）由题结合，可得， 如图过C做，因，，则. 则，.设平面法向量为. 则，则取.设直线与平面所成角为. 则，此时直线在平面内，则与平面所成角的正弦值为0； （ii）由，，及（i）. 设，其中， 则，，. 假设存在一个点，使得点到点的距离都相等， 则， 由， 可得. 又 ，其判别式小于0，故方程无解，即线段上不存在一个点，使得点到点的距离都相等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $