专题04数与式（分式与二次根式）2026年九年级中考数学复习

一轮复习 分式与二次根式 一、分式的概念和性质 1、分式的定义 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。 2、分式的基本性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。 ；（C≠0）。 3、分式的约分和通分 定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。 定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。 二、分式的运算 1、分式的乘除 ①乘法法则：。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 ②除法法则：。分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 ③分式的乘方：。分式乘方要把分子、分母分别乘方。 ④整数负指数幂：。 2、分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 ①同分母分式的加减：； ②异分母分式的加法：。 注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。 一．分式的定义 1．（2025秋•池州期末）下列各式：，，分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025秋•万山区期中）在，，，，，中，分式的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二．分式有意义的条件 3．（2025秋•万山区期中）若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2且x≠0 D．x＜﹣2 4．（2024秋•游仙区期末）已知x＝﹣2时，分式无意义，则□可以是（　　） A．2﹣x B．x﹣2 C．2x+4 D．x+4 5．（2025秋•临淄区期中）x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 6．（2025秋•高密市期中）无论x取什么值时，下列各式一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 7．（2025•淄博）若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠﹣1且x≠2 B．x≠﹣1且x≠3 C．x≠2且x≠3 D．x≠﹣1且x≠2且x≠3 8．（2024秋•茶陵县期末）当x＝4时，分式无意义，求m的值为　 　 ． 9．（2024秋•绵阳期末）若分式有意义，则a的取值范围是　 　 ． 三．分式的值为零的条件 10．（2024•甘南州）若分式的值为0，则x的值为 　 　 ． 11．（2025•汕头模拟）若分式0，则x的值为　 　 ． 四．分式的值 12．（2025秋•裕华区校级期中）已知，则分式的值是（　　） A．17 B． C． D．5 13．（2025•惠州一模）已知x＝2y，则分式的值为（　　） A． B． C． D． 14．（2025春•苏家屯区期末）若a﹣2b＝0，且a≠0，则分式的值为　 　 ． 15．（2025秋•武冈市期中）已知a2﹣3a+1＝0，则代数式的值为　 　 ． 16．（2025秋•姑苏区校级期中）当a＝﹣1时，分式的值是　 　 ． 17．（2025春•永春县期中）对于分式． （1）当x取什么值时，分式有意义？ （2）当x取什么值时，分式的值为零？ （3）当x＝﹣2时，分式的值是多少？ 18．（2024春•金华期末）已知a﹣3b＝0，求分式的值． 19．（2025秋•新沂市期中）对于题目：“已知x2﹣2x﹣1＝0，求代数式3x2﹣6x+2020的值”，采用“整体代入”的方法（换元法），可以比较容易的求出结果． （1）设x2﹣2x＝y，则3x2﹣6x+2020＝　 　 （用含y的代数式表示）． （2）根据x2﹣2x﹣1＝0，得到y＝1，所以3x2﹣6x+2020的值为　 　 ． （3）尝试用“整体代入”的方法（换元法），解决下面问题：已知a2+1＝5a，求代数式的值． 20．（2024秋•单县期末）阅读下面的解题过程：已，求的值． 解：由，知x≠0．∴，即． ∴，∴． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法“解决问题： 已知，求的值． 五．分式的基本性质 21．（2025秋•万山区期中）下列等式从左到右成立的是（　　） A． B． C． D． 22．（2025秋•张店区期中）分式可变形为（　　） A． B． C． D． 23．（2025秋•永年区期中）小张学习分式的基本性质时，将中的x和y都扩大2倍，得到的分式的值不变，请你推测，□代表的代数式可以是（　　） A．5 B．y C．2y D．y2 24．（2024秋•朝阳区校级期末）若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（　　） A． B． C． D． 25．（2025秋•通州区期中）如果分式中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．缩小为原来的 B．不变 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的9倍 26．（2024秋•惠民县期末）不改变分式的值，若把其分子与分母中的各项系数都化成整数，其结果为　 ． 27．（2025春•越城区期末）不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为　 ． 28．（2025春•鼓楼区期中）若分式的值为6，当x、y都变为原来的2倍，所得分式的值是　 　 ． 六．约分 29．（2025秋•延庆区期中）计算的结果是（　　） A．2 B． C． D． 30．（2025秋•西城区校级期中）约分：　 　 ． 31．（2025秋•平谷区校级期中）约分：　 　 ． 32．（2024秋•通辽期末）约分：　 　 ． 七．分式的化简求值 33．（2025秋•淄川区期中）若a＝b﹣3，则的值为　 　 ． 34．（2025秋•万州区校级期中）先化简，再求值：，其中． 35．（2025秋•裕华区校级期中）先化简，再求值：，其中从﹣1、1、﹣2、2中取一个合适的数代入求值． 36．（2025•台江区校级模拟）先化简，再求值：（x+1），请从﹣1，0，2中选择一个合适的x的值代入求值． 37．（2025•滨州）已知A＝x+y，B＝x2﹣y2，C． （1）若，求C的值； （2）当y＝1，且3C为整数时，求x的整数值． 38．（2025秋•邛崃市期中）已知关于x、y的代数式：A＝ax2﹣3xy+9x，B＝﹣2x2﹣bxy+4，且代数式M＝2A﹣3B． （1）若a＝﹣3，b＝1时，化简代数式M； （2）若代数式M是关于x、y的一次多项式，求ab的值； （3）已知|ab﹣2|+（b﹣1）2＝0，求的值． 八．最简分式 39．（2025春•长子县期末）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 40．（2024秋•庆云县期末）下列分式中是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 41．（2025秋•福山区期中）下列分式中，属于最简分式的是（　　） A． B． C． D． 42．（2025秋•上海期中）下列分式中是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 43．（2024秋•长沙期末）分式化成最简分式为 　 ． 九．最简公分母 44．（2025秋•临淄区期中）分式，的最简公分母是（　　） A．x2﹣y2 B．x2+xy C．（x2﹣y2）（x2+xy） D．x（x+y）（x﹣y） 45．（2024秋•潮南区校级期末）与的最简公分母是（　　） A．a（a+b） B．a（a﹣b） C．a（a+b）（a﹣b） D．a2（a+b）（a﹣b） 46．（2025秋•荷塘区期中）分式的最简公分母是 　 　 ． 47．（2025秋•通州区期中）分式，，的最简公分母是　 　 ． 48．（2025春•长春期末）分式，的最简公分母为 　 　 ． 十．分式的乘除法 49．（2024秋•乌兰察布期末）美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（　　） A． B． C． D． 50．（2025秋•上海期中）若整数x使式子的值为整数，则满足条件的x的值有　 　 个． 十一．分式的加减法 51．（2025秋•莱州市期中）若（A、B均为常数）的计算结果为，则A+2B的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 52．（2025•天津模拟）化简的结果是（　　） A．a﹣b B．a+b C． D． 53．（2025•太湖县三模）计算：　 　 ． 54．（2025秋•相城区期中）若，则分式的值为 　 　 ． 55．（2025•费县一模）计算的结果是 　 　 ． 56．（2025秋•通州区期中）计算． 57．（2025秋•莱西市期中）【阅读理解】 在分式中，分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， ． 【掌握知识】 （1）下列式子中，属于真分式的是　 　 （填序号）； ①；②；③；④． （2）将假分式化为一个整式与一个真分式的和． 【应用知识】 （3）已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝　 　 ． 58．（2025秋•工业园区期中）阅读理解题．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“和谐式”，这个常数称为A关于B的“和谐值”．例：分式，，则A是B的“和谐式”，A关于B的“和谐值”为2． （1）已知分式，，判断C是否为D的“和谐式”．若不是，请说明理由；若是，请求出C关于D的“和谐值”． （2）已知分式，，M是N的“和谐式”，M关于N的“和谐值”是1，x为整数，且M的值也为整数． ①求E所表示的代数式． ②求所有符合条件的x的值． 59．（2025秋•慈利县期中）阅读理解： 材料1：已知，求分式的值． 解：∵， ∴， ∴． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 根据材料，解答下面问题： （1）已知，则分式的值为 　 ，分式的值为 　 ； （2）若分式的值为整数，求整数b的值； （3）已知，求分式的值． 60．（2025春•六安期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决问题； （1）写出第5个等式：　 　 ； （2）写出第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）； （3）利用上述规律计算：． 一、二次根式的相关概念 二次根式的概念：一般地，我们把形如（≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 二、二次根式的性质与化简 二次根式的化简方法： 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =• ， = 化简二次根式的步骤： 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 三、二次根式的运算 乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：（a≥0，b＞0）. 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 一．二次根式的定义 1．（2025秋•射洪市校级月考）在下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025秋•长安区校级月考）下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025春•龙沙区期末）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二．二次根式有意义的条件 4．（2025•温州模拟）若代数式有意义，则x的值可以是（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 5．（2024•湖北模拟）若式子有意义，则（　　） A．x为任意实数 B．x≠0 C．x≥6 D．x＞6 6．（2025•连云港）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≤1 B．x≥1 C．x≤﹣1 D．x≥﹣1 7．（2025秋•北碚区期中）若m、x、y满足关系式，则的值为（　　） A． B．6 C．2 D． 8．（2025•绥化）若式子有意义，则x的取值范围是　 　 ． 9．（2025秋•邵阳期中）已知，则m2n+mn2的值＝　 　 ． 10．（2025•齐齐哈尔）若代数式（x﹣2025）0有意义，则实数x的取值范围是　 　 ． 11．（2025秋•长宁区期中）已知x，y为实数，y，求xy的平方根． 三．二次根式的性质与化简 12．（2025春•西陵区期中）将a化简后的结果正确的答案是（　　） A． B． C． D． 13．（2025•安徽）下列计算正确的是（　　） A．a B．a C．a3•（﹣a）2＝a6 D．（﹣a2）3＝a6 14．（2025秋•张掖校级期中）若，则实数a在数轴上的对应点一定在（　　） A．原点左侧 B．原点右侧 C．原点及原点左侧 D．原点及原点右侧 15．（2025秋•海淀区校级期中）下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 16．（2025秋•黄浦区校级月考）当3＜x＜5时，化简：． 17．（2025秋•雨城区期中）已知a，b，c是△ABC的三边长，若6，求a的值． 18．（2022秋•吉安县期末）先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•，那么便有±（a＞b）例如：化简 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12； 由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，•， ∴2 由上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）． 四．最简二次根式 19．（2025秋•荷塘区期中）下列属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 20．（2025秋•上海校级期中）下列二次根式中，不是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 21．（2025秋•奉贤区校级期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 22．（2025秋•五华县期中）若是最简二次根式，则整数a的最小值为　 　 ． 23．（2025秋•青浦区校级月考）化为最简二次根式： ①　 　 ； ②　 　 ． 五．二次根式的乘除法 24．（2025秋•清新区期中）下列运算错误的是（　　） A． B． C．（）2＝5 D．2 25．（2025秋•姑苏区校级期中）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 26．（2025春•吴忠期中）使成立的条件是（　　） A．x≤3 B．x≥﹣2 C．﹣2≤x≤3 D．﹣2＜x＜3 27．（2025秋•奉贤区校级期中）计算：　 　 ． 28．（2025•沙市区三模）化简：　 　 ． 29．（2025秋•裕华区校级期中）若最简二次根式和积是有理数，则a＝ 　 　 ． 30．（2025秋•黄浦区期中）计算：． 31．（2025秋•青浦区校级月考）化简：． 六．分母有理化 32．（2025秋•雁塔区校级月考）（　　） A． B． C． D． 33．（2025秋•上海校级期中）计算：． 34．（2025秋•杨浦区校级月考）将代数式分母有理化，结果是　 ． 35．（2025秋•奉贤区校级期中）先化简再求值：，其中． 36．（2025春•寿县期末）观察下列等式： a1；a2；a3；a4 按照上述规律，回答以下问题： （1）请写出第6个等式：　 　 ； （2）请写出第n个等式：　 　 ； （3）求a1+a2+a3+…+a20的值． 七．同类二次根式 37．（2024秋•深圳校级期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 38．（2025秋•万州区校级期中）下面与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 39．（2025秋•湖南期中）已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x＝　 　 ． 40．（2025秋•黄浦区校级月考）已知最简根式与是同类二次根式，则a＝　 　 ． 41．（2024秋•冷水滩区期末）若最简二次根式与可以合并成一个二次根式，则a＝ 　 　 ． 42．（2025秋•渭城区校级月考）若最简二次根式和是同类二次根式，则x的值为　 　 ． 43．（2025秋•兰州期中）已知二次根式与是同类二次根式，求（a+b）a的值． 八．二次根式的混合运算 44．（2025•凤庆县模拟）估计实数应在（　　） A．4至5之间 B．5至6之间 C．6至7之间 D．7至8之间 45．（2025春•重庆期中）阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：因为，，所以与，与互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． （1）的有理化因式是 　 　 ；化简： 　 　 ； （2）化简：； （3）拓展应用：已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 46．（2024秋•顺义区期末）阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：.类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：.分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： （1）把下列各式分子有理化： ① 　 　 ；② 　 　 （2）比较和3的大小，并说明理由； （3）将式子分子有理化为 　 ，该式子的最大值为 　 　 ． 47．（2025秋•长宁区期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：设a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　 　 +　 （　 +　 　 ）2； （3）若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 48．（2022秋•晋安区期末）我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2＝（）2，3＝（）2，7＝（）2，0＝02，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求3﹣2的算术平方根． 解：3﹣2，∴3﹣21． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简： （1） （2） （3）． 49．（2025秋•肇源县期中）我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题． （1）化简： 　 　 ； 　 　 （2）根据以上规律计算下列式子的值： ． 50．（2025秋•邛崃市期中）阅读材料：像（）（）＝3，•a（a≥0）、（1）（1）＝b﹣1（b≥0）…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，1与1，23与23等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；3+2． 解答下列问题： （1）3与 　 　 互为有理化因式，将分母有理化得 　 　 ； （2）比大小： 　 　 （直接填＞，＜，＝，≥或≤中的一种）； （3）求式子（）×（1）的值． （4）已知m是正整数，a，b，a+b+3ab＝2021，求m． 51．（2025秋•天桥区期中）小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： 1 （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： 3+21+22＝12+2（）2＝（1）2； 5+22+23＝（）2+2（）2＝（）2． 请解答下列问题： （1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①　 　 ； ②3﹣2　 　 ． （2）应用：求的值． （3）拓展：　 　 ． 九．二次根式的化简求值 52．（2025春•西平县期末）已知x+y＝﹣9，xy＝9，则值是（　　） A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3 53．（2024秋•昌黎县期末）已知，，则a与b的关系是（　　） A．a＝b B．ab＝1 C．ab＝﹣1 D．a+b＝0 54．（2025春•柘城县月考）已知，ab＝8，则的值为（　　） A． B． C．2 D．4 55．（2025秋•苍南县期中）通过学习我们知道无理数是个无限不循环小数，例如，即，∴的整数部分是2，小数部分是.请完成下面问题： （1）的整数部分是　 　 ． （2）若设的小数部分为x，求的值． 56．（2024秋•西湖区校级期末）已知； （1）求x2﹣xy+y2的值； （2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值． 57．（2025春•龙口市期中）【阅读理解】阅读下列材料： ∴，即， ∴的整数部分为1，小数部分为． 根据材料提示，进行解答： （1）的整数部分是 　 　 ，的小数部分是 　 　 ； （2）如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值． 58．（2025秋•虹口区期中）请阅读下列材料： 已知，求代数式x3+14x2+x+2023的值． 小熙根据二次根式的性质及整体代入思想，给出了如下解法： 由，分母有理化得：． 但直接代入太繁琐，转而寻求整体关系： 由得，两边平方得， 得x2+14x+49＝48，则x2+14x＝﹣1． 观察原代数式x3+14x2+x+2023，注意到前两项可提取公因式：x3+14x2＝x（x2+14x）． 代入x2+14x＝﹣1，得x（x2+14x）+x+2023＝（﹣1）•x+x+2023＝2023． 因此，原式得值为2023．请运用上述思想方法解决下列问题： （1）已知，求代数式x3+22x2+x+2024的值； （2）已知，求代数式x3+7x2+3x+2025的值． 十．二次根式的应用 59．（2025春•潮南区期末）已知长方形的长a，宽b． （1）求长方形的周长； （2）求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系． 60．（2025春•张店区期中）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用． 问题提出：该如何化简？ 建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•． 那么便有：（a＞b）， 问题解决：化简：， 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，． ∴， 模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式： （1）； （2）． 模型应用2： （3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC，那么BC边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简）． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $一轮复习 分式与二次根式 一、分式的概念和性质 1、分式的定义 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。 2、分式的基本性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。 ；（C≠0）。 3、分式的约分和通分 定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。 定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。 二、分式的运算 1、分式的乘除 ①乘法法则：。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 ②除法法则：。分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 ③分式的乘方：。分式乘方要把分子、分母分别乘方。 ④整数负指数幂：。 2、分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 ①同分母分式的加减：； ②异分母分式的加法：。 注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。 一．分式的定义 1．（2025秋•池州期末）下列各式：，，分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据分式的定义即可求出答案． 【解答】解：，，是分式， 故选：C． 【点评】本题考查分式，解题的关键是正确理解分式的定义，本题属于基础题型． 2．（2025秋•万山区期中）在，，，，，中，分式的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据分式的定义（分母中含有字母的代数式），判断每个表达式是否为分式即可． 【解答】解：在，，，，，中， ，，的分母都含有字母，是分式； ，，的分母不含字母，不是分式． 故选：B． 【点评】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是关键． 二．分式有意义的条件（ 3．（2025秋•万山区期中）若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2且x≠0 D．x＜﹣2 【分析】分式有意义的条件是分母不为零，因此只需分母 x+2≠0，解出x的取值范围即可． 【解答】解：根据分式有意义的条件可知分母 x+2≠0， ∴x≠﹣2， 故选：A． 【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握该知识点是关键． 4．（2024秋•游仙区期末）已知x＝﹣2时，分式无意义，则□可以是（　　） A．2﹣x B．x﹣2 C．2x+4 D．x+4 【分析】当x＝﹣2时分式无意义，可知分母□的值应为0，再分别求出各选项的值即可得出答案． 【解答】解：当x＝﹣2时分式无意义， 所以分母□的值应为0， 当x＝﹣2时，2﹣x＝2﹣（﹣2）＝2+2＝4≠0，A选项不符合题意； x﹣2＝﹣2﹣2＝﹣4≠0，B选项不符合题意； 2x+4＝2×（﹣2）+4＝﹣4+4＝0，C选项符合题意； x+4＝﹣2+4＝2≠0，D选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分式有意义的条件是分母不等于零． 5．（2025秋•临淄区期中）x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式有意义的条件判断即可． 【解答】解：A、当x＝0时，分式无意义，不符合题意； B、当x＝﹣1时，分式无意义，不符合题意； C、当x＝±3时，分式无意义，不符合题意； D、|x|+1＞0时，分式一定有意义，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零． 6．（2025秋•高密市期中）无论x取什么值时，下列各式一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分式有意义即分母不为0，由此解答即可． 【解答】解：A、当x＝0时，分式无意义，故此选项不符合题意； B、∵x2≥0，∴x2+1＞0，∴无论x取什么值时，分式一定有意义，故此选项符合题意； C、当x＝1时，分式无意义，故此选项不符合题意； D、当x＝±1时，分式无意义，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 7．（2025•淄博）若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠﹣1且x≠2 B．x≠﹣1且x≠3 C．x≠2且x≠3 D．x≠﹣1且x≠2且x≠3 【分析】根据分式有意义的条件和除法法则求解即可． 【解答】解：根据已知得，x+1≠0且x﹣3≠0且x﹣2≠0， 所以x≠﹣1且x≠2且x≠3． 故选：D． 【点评】本题考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键． 8．（2024秋•茶陵县期末）当x＝4时，分式无意义，求m的值为　4　 ． 【分析】根据题意，把x＝4代入，分式无意义，则分母为零，由此即可求解． 【解答】解：根据题意，把x＝4代入得，， 可得4﹣m＝0， 解得m＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了分式无意义的条件，理解分式无意义的条件是解题的关键． 9．（2024秋•绵阳期末）若分式有意义，则a的取值范围是a≠1且a≠﹣2　 ． 【分析】根据分式及零指数幂有意义的条件即可求得答案． 【解答】解：若分式有意义， 则a﹣1≠0且a+2≠0， 解得：a≠1且a≠﹣2， 故答案为：a≠1且a≠﹣2． 【点评】本题考查分式有意义的条件，零指数幂，熟练掌握其有意义的条件是解题的关键． 三．分式的值为零的条件 10．（2024•甘南州）若分式的值为0，则x的值为 　﹣2　 ． 【分析】已知分式的值为零，可得分子为零，分母不为零，即可求解． 【解答】解：∵分式的值为0， ∴， 解得：x＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式值为零的条件． 11．（2025•汕头模拟）若分式0，则x的值为x＝0　 ． 【分析】根据分式的值为零的条件得到x2﹣x＝0且x﹣1≠0，易得x＝0． 【解答】解：∵分式0， ∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0， ∴x＝0． 故答案为：x＝0． 【点评】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零． 四．分式的值 12．（2025秋•裕华区校级期中）已知，则分式的值是（　　） A．17 B． C． D．5 【分析】由已知条件得出a＝4b，再代入分式计算即可． 【解答】解：∵， ∴a＝4b， ∴17， 故选：A． 【点评】本题考查了分式的值，正确计算是解题的关键． 13．（2025•惠州一模）已知x＝2y，则分式的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】把x＝2y代入分式，化简得结论． 【解答】解：当x＝2y时， ． 故选：D． 【点评】本题考查了分式的值，掌握分式的运算法则是解决本题的关键． 14．（2025春•苏家屯区期末）若a﹣2b＝0，且a≠0，则分式的值为　3　 ． 【分析】由已知条件易得a＝2b，将其代入原式计算并约分即可． 【解答】解：∵a﹣2b＝0， ∴a＝2b， 原式3， 故答案为：3． 【点评】本题考查分式的值，结合已知条件求得a＝2b是解题的关键． 15．（2025秋•武冈市期中）已知a2﹣3a+1＝0，则代数式的值为　　 ． 【分析】本题可根据题中条件计算出a3的值，然后化简代数式，再将a3代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵a2﹣3a+1＝0， ∴a≠0，则a3， 原式． 故答案为：． 【点评】本题考查完全平方公式的应用，计算时注意公式的应用． 16．（2025秋•姑苏区校级期中）当a＝﹣1时，分式的值是　﹣1　 ． 【分析】利用代入法，代入所求的式子即可． 【解答】解：当a＝﹣1时，原式1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 17．（2025春•永春县期中）对于分式． （1）当x取什么值时，分式有意义？ （2）当x取什么值时，分式的值为零？ （3）当x＝﹣2时，分式的值是多少？ 【分析】（1）根据分式的分母不为0时分式有意义计算即可； （2）根据分式的分子为0且分母不为0时分式的值为0计算即可； （3）把x＝﹣2代入分式计算即可． 【解答】解：（1）当x﹣3≠0，即x≠3时分式有意义； （2）当|x|﹣3＝0且x﹣3≠0时，分式的值为零， 解得x＝﹣3； （3）当x＝﹣2时， 原式． 【点评】本题考查了分式的值，分式有意义的条件，分式的值为0的条件，熟练这些知识点是解题的关键． 18．（2024春•金华期末）已知a﹣3b＝0，求分式的值． 【分析】由已知得到a＝3b，再将原分式化简为1，然后代入求值即可． 【解答】解：∵a﹣3b＝0， ∴a＝3b， ∴ ＝1 ＝1 ＝1 ＝1 ． 【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的值的求法是解题的关键． 19．（2025秋•新沂市期中）对于题目：“已知x2﹣2x﹣1＝0，求代数式3x2﹣6x+2020的值”，采用“整体代入”的方法（换元法），可以比较容易的求出结果． （1）设x2﹣2x＝y，则3x2﹣6x+2020＝　3y+2020　 （用含y的代数式表示）． （2）根据x2﹣2x﹣1＝0，得到y＝1，所以3x2﹣6x+2020的值为　2023　 ． （3）尝试用“整体代入”的方法（换元法），解决下面问题： 已知a2+1＝5a，求代数式的值． 【分析】（1）根据3x2﹣6x＝3（x2﹣2x）＝3y即可得出； （2）将y＝1代入即可； （3）利用a2+1＝5a，代入代数式的分子部分即可求出值． 【解答】解：（1）∵x2﹣2x＝y， ∴3（x2﹣2x）＝3y， ∴3x2﹣6x+2020＝3y+2020， 故答案为：3y+2020； （2）∵x2﹣2x﹣1＝0，得到y＝1，把y＝1，代入3y+2020＝2023， ∴3x2﹣6x+2020＝2023， 故答案为：2023； （3）∵a2+1＝5a， ∴． 【点评】本题考查了代数式求值，运用整体代入思想（换元法）是解答此题的关键． 20．（2024秋•单县期末）阅读下面的解题过程：已，求的值． 解：由，知x≠0．∴，即． ∴，∴． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法“解决问题： 已知，求的值． 【分析】把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后代值计算即可． 【解答】解：由整理得， ∴ ＝64﹣2+1 ＝63， ∴， ∴的值为． 【点评】本题考查了分式的加减法，倒数，理解例题的思路是解题的关键． 五．分式的基本性质 21．（2025秋•万山区期中）下列等式从左到右成立的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了分式的基本性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 22．（2025秋•张店区期中）分式可变形为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【解答】解：， 故选：A． 【点评】本题考查了分式的基本性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 23．（2025秋•永年区期中）小张学习分式的基本性质时，将中的x和y都扩大2倍，得到的分式的值不变，请你推测，□代表的代数式可以是（　　） A．5 B．y C．2y D．y2 【分析】根据分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，逐项计算进行判断求解即可． 【解答】解：根据分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变可得： 中的x和y都扩大2倍，分子3xy变为3×（2x）×（2y）＝12xy，扩大了4倍， A、分母若为2x2+5，x扩大2倍，分母变为8x2+5，没有扩大4倍，分数值改变，不符合题意； B、分母若为2x2+y，x和y都扩大2倍，分母变为8x2+2y，没有扩大4倍，分数值改变，不符合题意； C、分母若为2x2+2y，x和y都扩大2倍，分母变为8x2+4y＝4（2x2+y），没有扩大4倍，分数值改变，不符合题意； D、分母若为2x2+y2，x和y都扩大2倍，分母变为8x2+4y2＝4（2x2+y2），扩大4倍，分数值不变，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握该知识点是关键． 24．（2024秋•朝阳区校级期末）若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的2倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案． 【解答】解：A．，两个分式不相等，不符合题意； B．，两个分式不相等，不符合题意； C．，两个分式相等，符合题意； D．，两个分式不相等，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质． 25．（2025秋•通州区期中）如果分式中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．缩小为原来的 B．不变 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的9倍 【分析】根据分式的基本性质进行计算即可． 【解答】解：由题意得：， ∴如果把分式中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值缩小为原来的， 故选：A． 【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 26．（2024秋•惠民县期末）不改变分式的值，若把其分子与分母中的各项系数都化成整数，其结果为 　　 ． 【分析】根据分式的性质“分子分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变”，分子和分母同时乘以10，即可获得答案． 【解答】解：分式， 分子、分母同时乘以10， 则有原式． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分式的性质，理解并掌握分式的性质是解题关键． 27．（2025春•越城区期末）不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为　　 ． 【分析】利用分式的基本性质，将分子、分母同乘10即可． 【解答】解：不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数为， 故答案为：． 【点评】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 28．（2025春•鼓楼区期中）若分式的值为6，当x、y都变为原来的2倍，所得分式的值是　3　 ． 【分析】根据题意将分式中的x、y都变为原来的2倍并约分后代入数值计算即可． 【解答】解：将分式中的x、y都变为原来的2倍可得， ∵原分式的值为6， ∴当x、y都变为原来的2倍，所得分式的值是6＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 六．约分 29．（2025秋•延庆区期中）计算的结果是（　　） A．2 B． C． D． 【分析】根据分式的基本性质，进行约分即可． 【解答】解：根据分式的基本性质可得： ； 故选：B． 【点评】本题考查分式的约分，熟练掌握该知识点是关键． 30．（2025秋•西城区校级期中）约分：　　 ． 【分析】先确定公因式5mn，再约分即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查的是分式的约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． 31．（2025秋•平谷区校级期中）约分：　　 ． 【分析】利用提公因式法、完全平方公式把分式的分子、分母因式分解，再约分即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是分式的约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． 32．（2024秋•通辽期末）约分：　　 ． 【分析】解答本题时，先提取出分子分母中的公因式3xy2，再消去公因式，即得最后结果． 【解答】解：． 故答案为． 【点评】本题主要考查分式的约分，找到分子分母公因式是解题的关键． 七．分式的化简求值 33．（2025秋•淄川区期中）若a＝b﹣3，则的值为　﹣3　 ． 【分析】先将所求式子变形，再根据a＝b﹣3，即可求得所求式子的值． 【解答】解： • • ＝a﹣b， 当a＝b﹣3时，原式＝b﹣3﹣b＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 34．（2025秋•万州区校级期中）先化简，再求值： ，其中． 【分析】根据题意化简得，再结合已知条件，计算x的值，最后代入计算即可得到结果． 【解答】解：∵ ＝4+1 ＝5， ∴原式＝3x2+5x+2﹣3x2﹣4x ＝x+2 ＝x+2 ． 【点评】本题主要考查多项式化简求值，解题的关键是熟练掌握多项式的混合运算． 35．（2025秋•裕华区校级期中）先化简，再求值：，其中从﹣1、1、﹣2、2中取一个合适的数代入求值． 【分析】先将题目中的式子化简，然后从﹣1、1、﹣2、2中选取一个使得原分式有意义的数代入化简后的式子计算即可． 【解答】解： • • • ＝﹣（a+1） ＝﹣a﹣1， ∵当a＝﹣1，2或﹣2时，原分式无意义， ∴a＝1， 当a＝1时，原式＝﹣1﹣1＝﹣2． 【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 36．（2025•台江区校级模拟）先化简，再求值：（x+1），请从﹣1，0，2中选择一个合适的x的值代入求值． 【分析】先对括号内的式子通分，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分，最后从﹣1，0，2中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解：（x+1） • ， ∵x＝﹣1或2时，原分式无意义， ∴x＝0， 当x＝0时，原式1． 【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键． 37．（2025•滨州）已知A＝x+y，B＝x2﹣y2，C． （1）若，求C的值； （2）当y＝1，且3C为整数时，求x的整数值． 【分析】（1）根据分式的基本性质进行计算即可； （2）先用x表示3C，再结合3C为整数，求出整数x的值即可． 【解答】解：（1）由题知， 因为， 所以， 则． 所以C ； （2）当y＝1时， 3C， 因为3C为整数， 则x﹣1＝±1或±3， 所以整数x的值为0或2或﹣2或4． 因为x≠0且x≠1， 所以整数x的值为2或﹣2或4． 【点评】本题主要考查了分式的化简求值，熟知分式的基本性质是解题的关键． 38．（2025秋•邛崃市期中）已知关于x、y的代数式：A＝ax2﹣3xy+9x，B＝﹣2x2﹣bxy+4，且代数式M＝2A﹣3B． （1）若a＝﹣3，b＝1时，化简代数式M； （2）若代数式M是关于x、y的一次多项式，求ab的值； （3）已知|ab﹣2|+（b﹣1）2＝0，求的值． 【分析】（1）根据整式加减的法则进行计算即可． （2）根据代数式M是关于x、y的一次多项式，得出关于a，b的等式，据此可解决问题． （3）根据绝对值及偶次方的非负性，求出a，b的值，再进行计算即可． 【解答】解：由题知， M＝2A﹣3B ＝2（ax2﹣3xy+9x）﹣3（﹣2x2﹣bxy+4） ＝2ax2﹣6xy+18x+6x2+3bxy﹣12 ＝（2a+6）x2+（3b﹣6）xy+18x﹣12． 又因为a＝﹣3，b＝1， 所以M＝﹣3xy+18x﹣12． （2）因为代数式M是关于x、y的一次多项式， 所以2a+6＝0，3b﹣6＝0， 解得a＝﹣3，b＝2， 所以ab＝（﹣3）2＝9． （3）因为|ab﹣2|+（b﹣1）2＝0， 所以ab＝2且b﹣1＝0， 解得a＝2，b＝1， 所以原式 ． 【点评】本题主要考查了分式的化简求值、非负数的性质：绝对值、非负数的性质：偶次方、数字变化的规律及整式的加减，熟知整式加减及分式化简的法则是解题的关键． 八．最简分式 39．（2025春•长子县期末）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简分式的定义进行判断． 【解答】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； 中没有公因式，是最简分式，故D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了最简分式，解题的关键是根据定义来解答． 40．（2024秋•庆云县期末）下列分式中是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据各个选项中的式子，可以判断是否为最简分式． 【解答】解：A、该分式的分子、分母中含有公因数2，不是最简分式，不符合题意； B、原式为最简分式，符合题意； C、该分式的分子、分母中含有公因式（x+1），不是最简分式，不符合题意； D、该分式的分子、分母中含有公因式（x﹣1），不是最简分式，不符合题意； 故选：B． 【点评】此题考查了最简分式，最简分式为分式的分子分母没有公因式，即不能约分的分式． 41．（2025秋•福山区期中）下列分式中，属于最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式，判断即可． 【解答】解：A、原式1，不符合题意； B、原式为最简分式，符合题意； C、原式，不符合题意； D、原式，不符合题意． 故选：B． 【点评】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 42．（2025秋•上海期中）下列分式中是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用最简分式定义进行分析即可． 【解答】解：A、该分式的分子、分母中含有公因式（x+1），不是最简分式，故此选项不符合题意； B、该分式的分子、分母中含有公因式x，不是最简分式，故此选项不符合题意； C、是最简分式，故此选项符合题意； D、该分式的分子、分母中含有公因式（3x﹣2y），不是最简分式，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】此题主要考查了最简分式，关键是掌握最简分式定义． 43．（2024秋•长沙期末）分式化成最简分式为 　　 ． 【分析】根据分式的基本性质进行约分即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查最简分式，熟练掌握最简分式的定义是关键． 九．最简公分母 44．（2025秋•临淄区期中）分式，的最简公分母是（　　） A．x2﹣y2 B．x2+xy C．（x2﹣y2）（x2+xy） D．x（x+y）（x﹣y） 【分析】取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 【解答】解：根据分式的最简公分母的定义可知： 分式，的最简公分母是x（x+y）（x﹣y）， 故选：D． 【点评】本题考查的是分式的最简公分母的确定，熟练掌握该知识点是关键． 45．（2024秋•潮南区校级期末）与的最简公分母是（　　） A．a（a+b） B．a（a﹣b） C．a（a+b）（a﹣b） D．a2（a+b）（a﹣b） 【分析】找出两式中分母的最简公分母即可． 【解答】解：，， 两式的最简公分母为a（a+b）（a﹣b）． 故选：C． 【点评】此题考查了最简公分母，单项式乘多项式，以及平方差公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键． 46．（2025秋•荷塘区期中）分式的最简公分母是 　12a2b（a﹣b）　 ． 【分析】根据最简公分母的定义求解． 【解答】解：分式的最简公分母为12a2b（a﹣b）． 故答案为：12a2b（a﹣b）． 【点评】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 47．（2025秋•通州区期中）分式，，的最简公分母是　2x（x+3）（x﹣3）　 ． 【分析】确定最简公分母的方法是： （1）取各分母系数的最小公倍数； （2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【解答】解：分式，，的分母分别是x、2x+6＝2（x+3）、x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），故最简公分母是2x（x+3）（x﹣3）； 故答案为2x（x+3）（x﹣3）． 【点评】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里；②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 48．（2025春•长春期末）分式，的最简公分母为 　12x2y ． 【分析】确定最简公分母的方法是： （1）取各分母系数的最小公倍数； （2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【解答】解：分式，的最简公分母为12x2y． 故答案为：12x2y． 【点评】本题考查了最简公分母的知识，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握． 十．分式的乘除法 49．（2024秋•乌兰察布期末）美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意列式为，将其计算即可． 【解答】解： ， 故选：C． 【点评】本题考查分式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 50．（2025秋•上海期中）若整数x使式子的值为整数，则满足条件的x的值有　1　 个． 【分析】先化简分式，再求使该式为整数的整数x，同时考虑分母不为零的限制条件． 【解答】解：•， 的分母不为零，则x≠3，x≠﹣1， 的除式不为零，则x≠±1，x≠0， ∴x≠±1，x≠0，x≠3， 原式化简为，要使式子的值为整数，则x﹣1必须为2的约数，即x﹣1＝±1或±2， 解得x＝2，0，3，﹣1．又由x≠±1，x≠0，x≠3排除后，仅x＝2满足条件． 故答案为：1． 【点评】本题考查了分式的值，分式的乘除法，掌握相应的运算法则是关键． 十一．分式的加减法 51．（2025秋•莱州市期中）若（A、B均为常数）的计算结果为，则A+2B的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】计得到，根据题意得到，解得A＝2，B＝1，从而求得A+2B＝2+2×1＝4． 【解答】解：， ∵（A、B均为常数）的计算结果为， ∴， ∴A＝2，B＝1， ∴A+2B＝2+2×1＝4． 故选：D． 【点评】本题考查了分式的加减法，掌握分式加减法的法则是解题的关键． 52．（2025•天津模拟）化简的结果是（　　） A．a﹣b B．a+b C． D． 【分析】先通分，再计算，然后化简，即可求解． 【解答】解： ． 故选：D． 【点评】本题主要考查了异分母分式相加减，熟练掌握异分母分式相加减法则是解题的关键． 53．（2025•太湖县三模）计算：x﹣1　 ． 【分析】将原式变形后，利用分式的加减法则计算后再约分即可． 【解答】解：原式 ＝x﹣1， 故答案为：x﹣1． 【点评】本题考查分式的加减法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 54．（2025秋•相城区期中）若，则分式的值为 　　 ． 【分析】根据已知条件进行分式的减法运算，找到关系代入计算即可求解． 【解答】解：∵2， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查分式的减法，熟练运用分式运算法则是解决本题的关键． 55．（2025•费县一模）计算的结果是 　　 ． 【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 56．（2025秋•通州区期中）计算． 【分析】根据去括号的法则直接求解即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去掉括号． 57．（2025秋•莱西市期中）【阅读理解】 在分式中，分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， ． 【掌握知识】 （1）下列式子中，属于真分式的是　①③　 （填序号）； ①；②；③；④． （2）将假分式化为一个整式与一个真分式的和． 【应用知识】 （3）已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝　4或2　 ． 【分析】（1）根据已知条件中的定义，对各个分式进行判断即可； （2）把分式的分子写成2（x﹣3）+10的形式，然后逆用分式的加减法则进行解答即可； （3）把已知条件中的分式写成一个真分式的形式，然后根据分式的值是整数，列出关于x的方程，解方程即可． 【解答】解：（1）∵①，③是真分式，②，④是假分式， ∴属于真分式的是：①③， 故答案为：①③； （2） ＝2； （3） ＝2x+11 ∵分式的值为整数，x为整数， ∴x﹣3＝±1， 解得：x＝4或2， 故答案为：4或2． 【点评】本题主要考查了分式的有关运算，解题关键是理解已知条件中的真假分式的定义． 58．（2025秋•工业园区期中）阅读理解题．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“和谐式”，这个常数称为A关于B的“和谐值”．例：分式，，则A是B的“和谐式”，A关于B的“和谐值”为2． （1）已知分式，，判断C是否为D的“和谐式”．若不是，请说明理由；若是，请求出C关于D的“和谐值”． （2）已知分式，，M是N的“和谐式”，M关于N的“和谐值”是1，x为整数，且M的值也为整数． ①求E所表示的代数式． ②求所有符合条件的x的值． 【分析】（1）计算出C﹣D的结果，再根据“和谐式”的定义求解即可； （2）①根据“和谐式”的定义得到M﹣N＝1，则，据此求解即可；②根据题意可得是整数，据此求解即可． 【解答】解：（1）如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“和谐式”， C不是D的“和谐式”，理由如下： ， ∵﹣1不是正数， ∴C不是D的“和谐式”； （2）①∵M关于N的“和谐值”是1， ∴M﹣N＝1， ∴， ∴E﹣3x﹣x2＝9﹣x2， ∴E＝3x+9； ②由①知． ∵M的值也为整数，且分式有意义， ∴3﹣x＝±1或3﹣x＝±3， ∴x的值为：0，2，4，6． 【点评】本题主要考查了分式的减法计算，正确理解“和谐式”的定义是解题的关键． 59．（2025秋•慈利县期中）阅读理解： 材料1：已知，求分式的值． 解：∵，∴，∴． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 根据材料，解答下面问题： （1）已知，则分式的值为 　　 ，分式的值为 　　 ； （2）若分式的值为整数，求整数b的值； （3）已知，求分式的值． 【分析】（1）根据已知条件先求出的值，再取其倒数即可求出的值；将a3的两边同时平方，从而求出的值，再取其倒数求出的值即可； （2）将分式整理成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，从而求出整数b的值即可； （3）根据已知条件先求出的值，再取其倒数求出的值即可． 【解答】解：（1）∵a3， ∴2a2（a）＝2×3＝6， ∴， ∵a3， ∴（a）2＝a22＝9， ∴a24＝9﹣2﹣4＝3． ∴． 故答案为：，． （2）2， ∵原分式的值为整数， ∴b2+1＝1或b2+1＝5， 当b2+1＝1时，解得b＝0， 当b2+1＝5时，解得b＝±2， ∴b＝0或2或﹣2． （3）∵x， ∴x11， ∴． 【点评】本题考查分式的加减法、分式的值，掌握分式加减的运算法则是解题的关键． 60．（2025春•六安期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决问题； （1）写出第5个等式：　　 ； （2）写出第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）； （3）利用上述规律计算：． 【分析】（1）根据题目中的等式，可以写出第5个式子即可； （2）根据题目中的等式的特点，可以写出第n个式子； （3）将所求式子变形，再利用规律运算，然后拆项，即可计算出所求式子的值． 【解答】解：（1）根据前几个等式规律可知： 第5个等式：， 故答案为：； （2）根据题意，得：第n个等式：； （3）原式 ． 【点评】本题考查了数字的变化规律，分式的运算，正确得出规律是解题的关键． 一、二次根式的相关概念 二次根式的概念：一般地，我们把形如（≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 二、二次根式的性质与化简 二次根式的化简方法： 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =• ， = 化简二次根式的步骤： 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 三、二次根式的运算 乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：（a≥0，b＞0）. 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 一．二次根式的定义 1．（2025秋•射洪市校级月考）在下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的定义进行判断即可得． 【解答】解：A．当a≥0时，是二次根式，故本选项不符合题意； B．﹣10为负数，则无意义，故本选项不符合题意； C．是二次根式，故本选项符合题意； D．当a≥0时，是二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查二次根式的定义．解题的关键是掌握形如的式子叫做二次根式． 2．（2025秋•长安区校级月考）下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据形如的式子叫作二次根式进行分析即可． 【解答】解：根据二次根式定义逐项分析判断如下： x﹣2不一定是非负数，故A选项不符合题意， a不一定是非负数，故B选项不符合题意， ﹣7＜0，故C选项不符合题意， 5＞0，是二次根式，故D选项符合题意， 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次根式，关键是掌握二次根式定义． 3．（2025春•龙沙区期末）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【解答】解：2， ∵是整数， ∴n的最小值是5， 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键． 二．二次根式有意义的条件 4．（2025•温州模拟）若代数式有意义，则x的值可以是（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列不等式求解． 【解答】解：由题意可得， 解得：x≥2且x≠3， ∴选项A、B、D均不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查二次根式和分式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），分式有意义的条件（分母不能为零）是解题关键． 5．（2024•湖北模拟）若式子有意义，则（　　） A．x为任意实数 B．x≠0 C．x≥6 D．x＞6 【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件解答即可． 【解答】解：若式子有意义， ∴， 解得：x＞6． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键． 6．（2025•连云港）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≤1 B．x≥1 C．x≤﹣1 D．x≥﹣1 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，x+1≥0， 解得x≥﹣1． 故选：D． 【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 7．（2025秋•北碚区校级期中）若m、x、y满足关系式，则的值为（　　） A． B．6 C．2 D． 【分析】根据算术平方根有意义的条件，得出 x﹣y＝2，从而简化原方程，求出 m＝6，进而得到 ． 【解答】解：由条件可知m﹣2≥0，2﹣x+y≥0，x﹣y﹣2≥0． 由 x﹣y﹣2≥0 得 x﹣y≥2， 由 2﹣x+y≥0 得 2﹣（x﹣y）≥0，即 x﹣y≤2， ∴x﹣y＝2． 代入原式：， ， ∴， 两边平方得 m﹣2＝4，即 m＝6， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查算术平方根有意义的条件和相关计算，解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键． 8．（2025•绥化）若式子有意义，则x的取值范围是x＞﹣1　 ． 【分析】二次根式有意义即被开方数为非负数，分式有意义即分母不为0，由此计算即可． 【解答】解：若式子有意义， 则x+1≥0且， 解得x＞﹣1， 故答案为：x＞﹣1． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握这两个知识点是解题的关键． 9．（2025秋•邵阳期中）已知，则m2n+mn2的值＝　16　 ． 【分析】根据二次根式的被开方数非负，确定mn的值，代入原方程得到m与n的关系，进而求出m+n的值，最后利用因式分解求代数式的值即可． 【解答】解：由条件可知mn﹣4≥0，8﹣2mn≥0， ∴mn＝4， ∴n＝﹣m+4， ∴m+n＝4， ∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝4×4＝16； 故答案为：16． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，因式分解，熟练掌握以上知识点是关键． 10．（2025•齐齐哈尔）若代数式（x﹣2025）0有意义，则实数x的取值范围是x＞3且x≠2025　 ． 【分析】由代数式有意义的条件可得：x﹣3＞0且x﹣2025≠0，求解即可得到答案． 【解答】解：∵代数式（x﹣2025）0有意义， ∴x﹣3＞0且x﹣2025≠0， ∴x＞3且x≠2025． 故答案为：x＞3且x≠2025． 【点评】本题考查了代数式有意义的条件，掌握分式有意义的条件与零指数幂的底数不能为零是解题的关键． 11．（2025秋•长宁区期中）已知x，y为实数，y，求xy的平方根． 【分析】根据被开方数是非负数且分母不等于零，可得x，y的值，根据开平方，可得答案． 【解答】解：由题意，得 ，0，且x﹣2≠0 解得x＝﹣2，y xy， xy的平方根是 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数且分母不等于零得出x，y的值是解题关键． 三．二次根式的性质与化简 12．（2025春•西陵区期中）将a化简后的结果正确的答案是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式有意义的条件得到a＜0，再利用二次根式的性质得原式，然后约分即可． 【解答】解：∵0， ∴a＜0， ∴原式＝﹣（﹣a） ． 故选：A． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：灵活运用二次根式的基本性质进行化简． 13．（2025•安徽）下列计算正确的是（　　） A．a B．a C．a3•（﹣a）2＝a6 D．（﹣a2）3＝a6 【分析】利用二次根式的性质，立方根的定义，同底数幂乘法及幂的乘方法则逐项判断即可． 【解答】解：|a|，则A不符合题意， a，则B符合题意， a3•（﹣a）2＝a3•a2＝a5，则C不符合题意， （﹣a2）3＝﹣a6，则D不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查二次根式的性质，立方根，同底数幂乘法及幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 14．（2025秋•张掖校级期中）若，则实数a在数轴上的对应点一定在（　　） A．原点左侧 B．原点右侧 C．原点及原点左侧 D．原点及原点右侧 【分析】根据二次根式的非负性解答即可． 【解答】解：根据二次根式的非负性|a|＝﹣a可知：a≤0， ∴a≤0， ∴实数a在数轴上的对应点一定在原点及原点左侧， 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． 15．（2025秋•海淀区校级期中）下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】A．根据算术平方根的定义进行计算，然后判断即可； B．根据立方根的定义进行计算，然后判断即可； C．根据算术平方根的定义进行计算，然后判断即可； D．根据二次根式的性质进行计算，然后判断即可． 【解答】解：A．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； B．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； C．∵，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意； D．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题关键是熟练掌握平方根与立方根的定义和二次根式的性质． 16．（2025秋•黄浦区校级月考）当3＜x＜5时，化简：． 【分析】根据3＜x＜5，然后再根据二次根式性质，进行计算即可． 【解答】解：∵3＜x＜5， ∴原式 ＝x﹣2+|x﹣5| ＝x﹣2+5﹣x ＝3． 【点评】本题主要考查了二次根式性质与化简，掌握二次根式性质与化简的方法是关键． 17．（2025秋•雨城区期中）已知a，b，c是△ABC的三边长，若6，求a的值． 【分析】直接利用三角形三边关系得出a+c﹣b＞0，c﹣a﹣b＜0，进而化简二次根式求出答案． 【解答】解：∵a，b，c是三角形的三边， ∴a+c﹣b＞0，c﹣a﹣b＜0， 则a﹣b+c﹣（c﹣a﹣b）＝6， 整理得：2a＝6， 解得：a＝3． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及三角形三边关系，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 18．（2022秋•吉安县期末）先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•，那么便有±（a＞b）例如：化简 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12； 由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，•， ∴2 由上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）． 【分析】先把各题中的无理式变成 的形式，再根据范例分别求出各题中的a、b，即可求解． 【解答】解：（1）； （2）； （3）． 【点评】主要考查二次根式根号内含有根号的式子化简．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式根号内含有根号的式子化简．二次根式根号内含有根号的式子化简主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式的特点的式子． 四．最简二次根式 19．（2025秋•荷塘区期中）下列属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据二次根式的性质化简，然后再根据最简二次根式的定义判断即可． 【解答】解：A.3，故选项A不符合题意； B.，故选项B不符合题意； C.，故选项C不符合题意； D.是最简二次根式，故选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了最简二次根式，二次根式的性质与化简，掌握最简二次根式的定义，二次根式的性质是解题的关键． 20．（2025秋•上海校级期中）下列二次根式中，不是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【解答】解：根据最简二次根式的概念逐项分析判断如下： A、是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，符合题意； D、是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，掌握以上知识点是解答本题的关键． 21．（2025秋•奉贤区校级期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义判断． 【解答】解：A、2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、，是最简二次根式，符合题意； D、a2，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 22．（2025秋•五华县期中）若是最简二次根式，则整数a的最小值为　2　 ． 【分析】先根据二次根式的定义得出：3a﹣4≥0，解得：，进而求出整数a的最小值． 【解答】解：∵是最简二次根式， ∴3a﹣4≥0， 解得：． 当a＝2时，，是最简二次根式， ∴整数a的最小值为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了最简二次根式，二次根式的定义，掌握最简二次根式的定义，二次根式的定义是解题的关键． 23．（2025秋•青浦区校级月考）化为最简二次根式： ①　　 ； ②　　 ． 【分析】①根据二次根式的性质化简即可； ②根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：①． 故答案为：； ②． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，最简二次根式，掌握二次根式的性质，最简二次根式的定义是解题的关键． 五．二次根式的乘除法 24．（2025秋•清新区期中）下列运算错误的是（　　） A． B． C．（）2＝5 D．2 【分析】利用二次根式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【解答】解：∵， ∴A选项不符合题意； ∵， ∴B选项不符合题意； ∵5， ∴C选项不符合题意； ∵， ∴D选项符合题意， 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式的乘除法，二次根式的乘方，二次根式的化简，正确利用上述法则与性质解答是解题的关键． 25．（2025秋•姑苏区校级期中）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可． 【解答】解：A、，不符合题意； B、2，不符合题意； C、3，符合题意； D、3，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次根式的乘除和二次根式的性质与化简，解决本题的关键是掌握二次根式的乘除运算法则． 26．（2025春•吴忠期中）使成立的条件是（　　） A．x≤3 B．x≥﹣2 C．﹣2≤x≤3 D．﹣2＜x＜3 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解一元一次不等式组即可得出答案． 【解答】解：∵二次根式中的被开方数是非负数， ∴， 解得：﹣2≤x≤3． 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识是解题的关键． 27．（2025秋•奉贤区校级期中）计算：　　 ． 【分析】先化简二次根式，然后根据二次根式的乘除法进行计算即可． 【解答】解：原式＝6 ， 故答案为：． 【点评】本题考查二次根式的乘除法，解决本题的关键是准确进行计算． 28．（2025•沙市区三模）化简：　4　 ． 【分析】根据二次根式的乘法 ，化简即可得解． 【解答】解：4． 故答案为：4． 【点评】本题考查二次根式的乘法：（a≥0，b≥0），注意结果要化为最简形式． 29．（2025秋•裕华区校级期中）若最简二次根式和积是有理数，则a＝ 　1　 ． 【分析】将化为2，再根据题意得到关于a的方程，解方程即可． 【解答】解：2， ∵最简二次根式和积是有理数， ∴a+1＝2， 解得：a＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查二次根式的乘除法，最简二次根式，熟练掌握相关运算法则及定义是解题的关键． 30．（2025秋•黄浦区期中）计算：． 【分析】先根据二次根式的乘除法则计算，再根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，正确计算是解题的关键． 31．（2025秋•青浦区校级月考）化简：． 【分析】根据二次根式的运算法则和有意义的条件化简即可． 【解答】解：由题意可得a＜0， ∴ ． 【点评】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的运算法则及有意义的条件是解题的关键． 六．分母有理化 32．（2025秋•雁塔区校级月考）（　　） A． B． C． D． 【分析】把分子、分母都乘以化简即可． 【解答】解：把分子、分母都乘（）可得： 原式． 故选：D． 【点评】本题考查了分母有理化，熟练掌握该知识点是关键． 33．（2025秋•上海校级期中）计算：． 【分析】先通分，计算括号内，再进行除法运算即可． 【解答】解： ， ． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 34．（2025秋•杨浦区校级月考）将代数式分母有理化，结果是　　 ． 【分析】本题考查了分母有理化．分子分母同乘以求解作答即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了分母有理化，解决本题的关键是找出分母的有理化因式． 35．（2025秋•奉贤区校级期中）先化简再求值：，其中． 【分析】先将根号内式子化为完全平方得|x﹣2|，分母因式分解为（x+2）（x﹣2），再对x分母有理化得2，分母因式分解为（x+2）（x﹣2）；再对x分母有理化得2，判断出x﹣2＜0，故|x﹣2|＝2﹣x，进而化简式子即可． 【解答】解：， ∵x2， ∴x﹣20， ∴|x﹣2|＝2﹣x， ∴， ∵x+2＝22＝4， ∴． 【点评】这题考查了二次根式的化简（含绝对值）、分式的因式分解及分母有理化．熟练掌握二次根式的非负性（绝对值符号的判断）和分母有理化的方法是解题关键． 36．（2025春•寿县期末）观察下列等式： a1；a2；a3；a4 按照上述规律，回答以下问题： （1）请写出第6个等式：　　 ； （2）请写出第n个等式：　　 ； （3）求a1+a2+a3+…+a20的值． 【分析】（1）（2）从等式中找出规律，第二个等式：3×2﹣1＝5，3×2+1＝7，3就是a3的3，5就是，7就是 （3）a1+a2+a3+…+a20...，通分，观察分子中的项，互为相反数相加得0便可解出． 【解答】解：（1）观察，如a2的下标2，与中被开方数：5和3，得出5＝2×2+1，3＝2×2﹣1，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1； 因此第6个等式6×2+1＝13，6×2﹣1＝11，得 故答案为： （2）由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为2n+1，2n﹣1，所以第n个等式 故答案为： （3）a1+a2+a3+…+a20 ... ． 故答案为：． 【点评】本题考查分母有理化的运用及找规律． 七．同类二次根式 37．（2024秋•深圳校级期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【解答】解：A、3，与不是同类二次根式，不符合题意； B、2，与是同类二次根式，符合题意； C、与不是同类二次根式，不符合题意； D、3，与不是同类二次根式，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查的是同类二次根式，掌握同类二次根式的概念是解题的关键． 38．（2025秋•万州区校级期中）下面与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先将各个选项化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义即可解答． 【解答】解：A、与不是同类二次根式，不符合题意； B、，﹣2与是同类二次根式，符合题意； C、，2与不是同类二次根式，不符合题意； D、，5与不是同类二次根式，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是关键． 39．（2025秋•湖南期中）已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x＝　3　 ． 【分析】根据题意先化简，再根据同类二次根式的最简二次根式的被开方数相等列关系式，求解即可． 【解答】解：根据题意先化简， 由条件可知x﹣1＝2， 解得x＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的概念，熟练掌握以上知识点是关键． 40．（2025秋•黄浦区校级月考）已知最简根式与是同类二次根式，则a＝　﹣2　 ． 【分析】根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式的被开方数必须相等，由此列出方程求解，并检验被开方数非负且根式为最简． 【解答】解：∵最简根式与是同类二次根式， ∴a2﹣1＝3a+9． a2﹣3a﹣10＝0， （a﹣5）（a+2）＝0， 解得：a＝5或a＝﹣2． 当a＝5时，被开方数a2﹣1＝24，3a+9＝24，但不是最简二次根式，与已知“最简根式”矛盾， 当a＝﹣2时，被开方数a2﹣1＝3，3a+9＝3，且是最简二次根式，符合条件． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握相应的运算法则是关键． 41．（2024秋•冷水滩区期末）若最简二次根式与可以合并成一个二次根式，则a＝ 　6　 ． 【分析】利用同类二次根式的定义即可得出2a﹣1＝3a﹣7，解出方程求出a的值即可，注意解出的a值要满足根号的式子是大于等于0的． 【解答】解：根据题意可得：2a﹣1＝3a﹣7， ﹣a＝﹣7+1 ∴a＝6； 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了同类二次根式，解题关键：理解什么叫做同类二次根式． 42．（2025秋•渭城区校级月考）若最简二次根式和是同类二次根式，则x的值为　2　 ． 【分析】化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，据此建立一元二次方程，即可求解． 【解答】解：由条件可知3x2+5＝12x﹣7， 整理得：x2﹣4x+4＝0， 解得：x1＝x2＝2， 检验：当x＝2时，3x2+5＝17＞0且12x﹣7＝17＞0，符合题意，故x＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了同类二次根式，熟练掌握该知识点是关键． 43．（2025秋•兰州期中）已知二次根式与是同类二次根式，求（a+b）a的值． 【分析】根据同类二次根式的定义得出关于a，b的等式，求出a，b的值即可． 【解答】解：∵二次根式与是同类二次根式， ∴或 解得：或， ∴当a＝0，b＝2时，（a+b）a＝1； 当a＝1，b＝1时，（a+b）a＝2， 综上所述：（a+b）a的值为1或2． 【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义以及二元一次方程组的解法，得出关于a，b的方程组是解题关键． 八．二次根式的混合运算 44．（2025•凤庆县模拟）估计实数应在（　　） A．4至5之间 B．5至6之间 C．6至7之间 D．7至8之间 【分析】由题意知，，然后根据不等式的性质进行求解判断即可． 【解答】解：， ∵， ∴， ∴的运算结果在6到7之间， 故选：C． 【点评】本题考查了根据二次根式的性质化简求值，二次根式的乘法运算，无理数的估算，不等式的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握并明确． 45．（2025春•重庆期中）阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：因为，，所以与，与互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． （1）的有理化因式是 　2　 ；化简： 　7+4　 ； （2）化简：； （3）拓展应用：已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 【分析】（1）根据有理化因式和分母有理化解决问题； （2）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可； （3）先利用分母有理化，计算出a、b、c的倒数，则可判断，从而得到a、b、c的大小． 【解答】解：（1）2的有理化因式可为2（答案不唯一）； 7+4； 故答案为：2（答案不唯一），7+4； （2）原式... ＝8； （3）∵，，， 而， ∴， ∴a＞b＞c． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．也考查了数字规律型问题的解决方法． 46．（2024秋•顺义区期末）阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：.类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：.分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： （1）把下列各式分子有理化： ① 　　 ；② 　　 （2）比较和3的大小，并说明理由； （3）将式子分子有理化为 　　 ，该式子的最大值为 　　 ． 【分析】（1）利用平方差公式把两个式子分子有理化； （2）先分子有理化得到，3，然后利用3可得到3； （3）先分子有理化得到，再根据二次根式有意义的条件得到x≥1，所以x的最小值为1，然后计算的最大值． 【解答】解：（1）①； 故答案为：； ②； 故答案为：； （2），3， 因为3， 所以3； （3）， 因为x﹣1≥0且x+1≥0， 解得x≥1， 所以x的最小值为1， 当x＝1时，的值最大，最大值为， 即的最大值为． 故答案为：，． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和分母有理化是解决问题的关键． 47．（2025秋•长宁区期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：设a＝m2+3n2 ，b＝　2mn ； （2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 　13　 +　4　 （　1　 +　2　 ）2； （3）若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 【分析】（1）利用完全平方公式展开，可得结论； （2）取m＝1，n＝2，可得结论； （3）利用（1）中结论即可解决问题． 【解答】解：（1）∵ ∴a+bm2+3n2+2mn， ∴a＝m2+3n2，b＝2mn， 故答案为：m2+3n2，2mn； （2）当m＝1，n＝2时，a＝13，b＝4， 故答案为：13，4，1，2（答案不唯一）； （3）由题意，得 a＝m2+3n2，b＝2mn． ∵6＝2mn，且m、n为正整数， ∴m＝1，n＝3 或 m＝3，n＝1， ∴a＝28或 a＝12． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 48．（2022秋•晋安区期末）我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2＝（）2，3＝（）2，7＝（）2，0＝02，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求3﹣2的算术平方根． 解：3﹣2，∴3﹣21． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简： （1） （2） （3）． 【分析】（1）将3分成2+1，利用完全平方公式即可求出结论； （2）结合（1）将原式变形为，将18分成16+2，利用完全平方公式即可求出结论； （3）将3分成2+1、5分成2+3、7分成3+4、9分成4+5、11分成5+6，利用完全平方公式结合二次根式的加、减法，即可求出结论． 【解答】解：（1）1； （2）4； （3）原式， ， ， 122， 1． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，读懂题意，将整数分成两个合适的整数相加是解题的关键． 49．（2025秋•肇源县期中）我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题． （1）化简： 　　 ； 　2　 （2）根据以上规律计算下列式子的值： ． 【分析】（1）利用分母有理化化简即可； （2）先分母有理化，然后合并同类项即可． 【解答】解：（1）， ， 故答案为：，； （2）原式 ＝45﹣1 ＝44． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．也考查了分母有理化． 50．（2025秋•邛崃市期中）阅读材料：像（）（）＝3，•a（a≥0）、（1）（1）＝b﹣1（b≥0）…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，1与1，23与23等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；3+2． 解答下列问题： （1）3与 　3（答案不唯一）　 互为有理化因式，将分母有理化得 　　 ； （2）比大小： 　＜　 （直接填＞，＜，＝，≥或≤中的一种）； （3）求式子（）×（1）的值． （4）已知m是正整数，a，b，a+b+3ab＝2021，求m． 【分析】（1）根据有理化因式的定义和分母有理化解决问题； （2）先利用分母有理化得到，，然后比较与的大小即可； （3）先分母有理化，再合并同类二次根式，然后利用平方差公式计算； （4）先利用分母有理化得到a＝m+1+m﹣2，b＝m+1+m+2，再计算a+b和ab，然后利用整体代入的方法得到4m+2+3×1＝2021，最后解一次方程即可． 【解答】解：（1）3与3互为有理化因式； 分母有理化为； 故答案为：3（答案不唯一），； （2）∵，， 而， ∴； 故答案为：＜； （3）原式＝（1...）（1） ＝（1）（1） ＝2019﹣1 ＝2018； （4）∵am+1+m﹣2，b＝m+1+m+2， ∴a+b＝4m+2，ab＝1， ∵a+b+3ab＝2021， ∴4m+2+3×1＝2021， 解得m＝504． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．也考查了分母有理化． 51．（2025秋•天桥区期中）小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： 1 （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： 3+21+22＝12+2（）2＝（1）2； 5+22+23＝（）2+2（）2＝（）2． 请解答下列问题： （1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①　　 ； ②3﹣2　（1）2 ． （2）应用：求的值． （3）拓展：　2　 ． 【分析】（1）①根据（一）中的解法解答即可；②根据（二）中的解法解答即可； （2）根据平方差公式和分母有理化可以解答本题； （3）根据完全平方公式和平方差公式可以解答本题． 【解答】解：（1）； 故答案为：； ②3﹣22﹣21＝（）2， 故答案为：（1）2； （2）... ＝﹣1 ＝﹣1+45 ＝44； （3）∵4﹣2（）2，8﹣2（）2，12﹣2（）2，16﹣2， ∴ ＝（1）+（）+（）+（3） 13 ＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式、分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解答本题的关键． 九．二次根式的化简求值 52．（2025春•西平县期末）已知x+y＝﹣9，xy＝9，则值是（　　） A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3 【分析】先根据x+y＝﹣9，xy＝9可得x＜0，y＜0，再根据二次根式的性质可得，，再利用二次根式的运算法则进行计算即可． 【解答】解：∵x+y＝﹣9，xy＝9， ∴x＜0，y＜0， ∴，， ∴原式 ＝﹣6， 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键． 53．（2024秋•昌黎县期末）已知，，则a与b的关系是（　　） A．a＝b B．ab＝1 C．ab＝﹣1 D．a+b＝0 【分析】先分母有理化求出a＝3，再根据二次根式的乘法法则，二次根式的加法法则进行计算，最后找出选项即可． 【解答】解：a3（3）， A．a＝﹣b，故本选项不符合题意； B．ab ＝（3）×（3） ＝﹣（3）2 ＝﹣（5﹣63） ＝﹣5+63 ＝﹣8+6，故本选项不符合题意； C．ab＝﹣8+6，故本选项不符合题意； D．a+b＝33＝0，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． 54．（2025春•柘城县月考）已知，ab＝8，则的值为（　　） A． B． C．2 D．4 【分析】根据，ab＝8，判断出a＞0，b＞0，将化简再进行加减运算，最后将，ab＝8代入求值即可． 【解答】解：∵，ab＝8， ∴a＞0，b＞0， ∴原式 ， 当，ab＝8时，原式， 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次根式的加减混合运算以及求值，熟练掌握以上知识点是关键． 55．（2025秋•苍南县期中）通过学习我们知道无理数是个无限不循环小数，例如，即，∴的整数部分是2，小数部分是.请完成下面问题： （1）的整数部分是　3　 ． （2）若设的小数部分为x，求的值． 【分析】（1）按照例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）∵9＜10＜16， ∴34， ∴的整数部分是3，小数部分是3， 故答案为：3； （2）由（1）得：x3， ∴（3）4 ＝（﹣3）4 ＝81． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，估算无理数的大小，准确熟练地进行计算是解题的关键． 56．（2024秋•西湖区校级期末）已知； （1）求x2﹣xy+y2的值； （2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值． 【分析】（1）先求出x、y的值，再代入代数式进行计算即可； （2）先求出a，b的值，进而可得出结论． 【解答】解：（1）∵x2，y2， ∴x2﹣xy+y2 ＝（x+y）2﹣3xy ＝（22）2﹣3×（2）（2） ＝42﹣3×1 ＝16﹣3 ＝13； （2）由（1）知，x＝2，y＝2， ∵1＜3＜4， ∴12， ∴﹣21，3＜24， ∴0＜21， ∵x的小数部分为a，y的小数部分为b， ∴a＝2，b＝231， ∴原式＝（21）2 ＝1 ＝1+23 ＝22． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，估算无理数的大小，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 57．（2025春•龙口市期中）【阅读理解】阅读下列材料： ∴，即， ∴的整数部分为1，小数部分为． 根据材料提示，进行解答： （1）的整数部分是 　3　 ，的小数部分是 　　 ； （2）如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值． 【分析】（1）因为，得出的整数部分是3，则的小数部分是，即可作答． （2）与（1）同理，求出，n＝4，再代入，即可作答． 【解答】解：（1）∵， 即， ∴的整数部分为3．小数部分为， 故答案为：3，； （2）∵， 即， ∴的整数部分为2， ∴． ∵，即． ∴的整数部分为4， ∴n＝4， ∴． 【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值及无理数的估算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 58．（2025秋•虹口区期中）请阅读下列材料： 已知，求代数式x3+14x2+x+2023的值． 小熙根据二次根式的性质及整体代入思想，给出了如下解法： 由，分母有理化得：． 但直接代入太繁琐，转而寻求整体关系： 由得，两边平方得， 得x2+14x+49＝48，则x2+14x＝﹣1． 观察原代数式x3+14x2+x+2023，注意到前两项可提取公因式：x3+14x2＝x（x2+14x）． 代入x2+14x＝﹣1，得x（x2+14x）+x+2023＝（﹣1）•x+x+2023＝2023． 因此，原式得值为2023．请运用上述思想方法解决下列问题： （1）已知，求代数式x3+22x2+x+2024的值； （2）已知，求代数式x3+7x2+3x+2025的值． 【分析】（1）先把x的值分母有理化，再代入代数式进行计算即可； （2）先把x的值分母有理化，再代入代数式进行计算即可． 【解答】解：（1）∵ ∴， ∴， ∴， x2+22x+121＝120， x2+22x＝﹣1， x3+22x2+x+2024 ＝x（x2+22x）+x+2024 ＝﹣x+x+2024 ＝2024； （2）∵， ∴， ∴， ， 4x2+28x+49＝45， 4x2+28x＝﹣4， x2+7x＝﹣1， x3+7x2+3x+2025＝x（x2+7x）+3x+2025 ＝﹣x+3x+2025 ＝2x+2025 ． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，平方差公式，分母有理化，熟知以上知识是解题的关键． 十．二次根式的应用 59．（2025春•潮南区期末）已知长方形的长a，宽b． （1）求长方形的周长； （2）求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系． 【分析】首先化简a2，b． （1）代入周长计算公式解决问题； （2）求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得周长比较即可． 【解答】解：a2，b． （1）长方形的周长＝（2）×2＝6； （2）正方形的周长＝48， ∵6.8， ∵ ∴68． 【点评】此题考查二次根式的实际运用，掌握二次根式的化简方法以及长方形、正方形的周长与面积计算方法是解决问题的关键． 60．（2025春•张店区期中）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用． 问题提出：该如何化简？ 建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•． 那么便有：（a＞b）， 问题解决：化简：， 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，． ∴， 模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式： （1）； （2）． 模型应用2： （3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC，那么BC边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简）． 【分析】（1）根据模型，得m＝6，n＝5，进而求得a和b分别为1和，代入求解即可； （2）将原式化为．根据模型，得m＝13，n＝40，进而求得a和b分别为和2，代入求解即可； （3）根据勾股定理，求得BC边的长度，再根据模型化简即可． 【解答】解：（1）m＝6，n＝5． ∵1+5＝6，1×5＝5， ∴（）2+（）2＝6，， ∴1． （2）∵． ∴m＝13，n＝40， ∵5+8＝13，5×8＝40， ∴（）2+（）2＝13，， ∴2． （3）BC． ∵， ∴m＝16，n＝48， ∵4+12＝16，4×12＝48， ∴（）2+（）2＝16，， ∴BC22． 【点评】本题考查二次根式的应用、完全平方公式及勾股定理等，熟练掌握并能够灵活运用它们是本题的关键． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $