第2章 命题点5 分式方程及其解法&命题点6 分式方程的实际应用-【一战成名新中考】2026云南中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

班级： 姓名： 学号： 一战成名新中考 命题点5分式方程及其解法 (8年7考) 考向1分式方程的解法(8年6考，均在实际应用 若不正确，请写出你的解答过程. 题涉及考查) 1.[2025湖南省卷]将分式方程1.2 去分母后 xx+1 得到的整式方程为 A.x+1=2x B.x+2=1 C.1=2x D.x=2(x+1) 2.[2025甘萧省卷]方程2=1的解是= x-1 3.[2025浙江]解分式方程： 31 +1t70 6[2025昆明三中期末]解分式方程.5-2+，2 x2-42-x x2-4 4120重明岁家方程分高司 考向2分式方程解的应用(2020.14) 5[2025广东省卷]在解分式方程1：1 x-22- -2时， 7.已知2”是关于x的分式方程 x-1 x 小李的解法如下： (1)若方程的解为2，则m的值为 (2)若方程的解为正整数，当m为整数时，m 第-(-2到=2-2)-2。 的值为 第二步：1-x=-1-2, (3)若方程的解为负数，则m的取值范围 第三步：-x=-1-2-1, 为 第四步：x=4. (4)若方程有增根，则m的值为 第五步：检验：当x=4时，x-2≠0. (5)易错若方程无解，则m的值为 第六步：原分式方程的解为x=4 点拨：无解分为两种情况：分式方程化为整式方程后， 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依 ①整式方程无解；②整式方程的解是分式方程的增根 据是什么？判断小李的解答过程是否正确 分层作业本·云南数学 19 命题点6分式方程的实际应用 (每年考1道，近2年均在22题考1道解答题，7分) 类型1工程、任务量问题(8年4考) 4.答题规范[2025云南22题7分]某化工厂采用机 1.[2020云南18题改编]某地开展“美化绿色城 器人A,机器人B搬运化工原料，机器人A比 市”活动，计划绿化升级改造总面积为360万 机器人B每小时少搬运20千克，机器人A搬 平方米的区域.实际施工中，由于采用了新技 运800千克所用时间与机器人B搬运1000千 术，实际平均每年绿化升级改造的面积是原 克所用时间相等.求机器人A,机器人B每小 计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所 时分别搬运多少千克化工原料： 以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改 解：设（求什么，设什么）： 造任务.设原计划每年绿化升级改造的面积 是x万平方米，则可列方程为 等量关系式工作时间=工作总量 列： 工作效率 解： 检验： 2.[2025楚雄武定县二模]某工厂原计划生产 20000辆新能源汽车，因市场销量攀升，实际 答： 需要再多生产18000辆，该工厂在实际生产中 通过提高生产效率，每天比原计划多生产60 【答题得分点】 辆新能源汽车，实际完成生产任务的天数是 1.正确列出分式方程，得4分； 原计划天数的1.6倍.设原计划每天生产x辆 2.正确作答得3分 新能源汽车，则可列方程为 5.[2025云师大实验中学一模]某工程队接到抢修 段长3600米道路的任务，按原计划完成总 3.[2025昆明官渡区一模改编]无人机搭载高分辨 率相机与多光谱传感器，能实时捕捉农田病 任务的后，为了让道路尽快投入使用，工程 虫害图像与光谱信息，识别病害类型与害虫 队将工作效率提高了50%，一共用了10小时 情况，构建病虫害暴发与扩散模型，实现监测 完成任务，求原计划每小时抢修道路多少米？ 与预警，并利用智能喷洒系统精准施药，提升 农药利用率与防治效果.已知使用无人机每 小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对 茶园打药的作业面积的8倍，若使用无人机对 800亩茶园打药的时间比人工对400亩茶园 打药的时间少30小时，设人工每小时对茶园 打药的作业面积为x亩，则可列方程为 20 分层作业本·云南数学 班级： 姓名： 学号： 一战成名新中考 类型2行程问题(8年3考) 10.答题规范[2024文山州一模]义务献血利国利 6.课标新增一理解方程解的意义为了践行“绿色生 民，是每个健康公民光荣的义务.一个采血 活”的理念，甲、乙两人每天骑自行车出行，甲 点通常在规定时间接受献血，采血结束后， 匀速骑行30公里的时间与乙匀速骑行25公 再统一送到市中心血库.已知A,B两个采血 里的时间相同.已知甲每小时比乙多骑行2公 点到中心血库的路程分别为30km,36km, 经了解获得A,B两个采血点的运送车辆有 里，小明列出方程： 2530 亡，则下列说法正确 x-2x 如下信息： 的是 信息一：B采血点运送车辆的平均速度是A 路程 采血点运送车辆的平均速度的1.2倍； 等量关系式：时间= 速度 信息二：A,B两个采血点运送车辆行驶的时 A.x表示乙的速度 间之和为2h. B.(x-2)表示甲的速度 求A,B两个采血点运送车辆的平均速度各 C. 25 -2 表示乙所用时间 是多少？ 解：设（求什么，设什么）： D.30表示乙匀速骑行的路程 7.[2023云南11题改编]某区教育体育局向全区 中小学生推出“童心读书会”的分享活动.甲、 列： 乙两同学分别从距离活动地点800米和400 解： 米的两地同时出发，参加分享活动.甲同学的 检验： 速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同 学提前4分钟到达活动地点.若设乙同学的速 答： 度是x米/分钟，则可列方程为 8.[2024云南22题改编]某旅行社组织游客从A 11. 名师原创我国推进科技自立自强，牢筑钢铁 地到B地的航天科技馆参观，已知A地到B 长城.目前，我国自主研制的核动力航母“福 地的路程为300千米，乘坐C型车比乘坐D 建舰”正在加紧进行海试中.现“福建舰”在 型车少用2小时，C型车的平均速度是D型车 距离A港正东方向50海里的海面以试航速 的平均速度的3倍，设D型车的平均速度为 度航行，此时一架监测直升机从A港出发， x千米/小时，则可列方程为 以比“福建舰”试航的速度多50海里/时的 9.[2025红河州建水二模改编]已知甲、乙两地相距 速度沿正东方向追赶“福建舰”，当“福建舰” 试航了25海里后，监测直升机刚好追上“福 18千米.小李和小王从甲地同时出发去往乙 建舰”，求“福建舰”的试航速度 地，小李乘公交车平均每小时行驶的路程比 小王乘出租车平均每小时行驶的路程少10千 米，小李到达乙地所用时间是小王到达乙地 所用时间的了，设小王乘出租车平均每小时行 驶x千米，则可列方程为 分层作业本·云南数学 21 类型3购买问题(9年2考) 15.[2025曲靖麒麟区三模改编]某网店销售“哪 12.课标新增-一理解方程解的意义某校购买了一批 吒”的毛绒玩偶，第一次用8400元购进该毛 篮球和足球.已知购买足球的数量是篮球的 绒玩偶后很快售完，该网店第二次购进该玩 2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了 偶时，发现进价提高了20%，所以用相同的 4000元，篮球单价比足球贵30元.根据题意 钱购进的玩偶数量比第一次少了35件.设该网 可列方程5000_400 店第一次购进“哪吒”的毛绒玩偶每件的进价 2x -30,则方程中x表示 是x元，则可列方程为 ( ）16.答题规范[2025昆明盘龙区一模]某校为践行 等量关系式：单价=费用 美育教育，组织全校师生开展书法鉴赏与研 数量 足球的单价 B.篮球的单价 习活动，现花费7520元购买了甲、乙两种型 A. C.足球的数量 D.篮球的数量 号的“文房四宝”共84套，其中购买甲种型 13.[2021云南18题改编]某旅行社今年5月1日 号的“文房四宝”花费了5120元，已知每套乙 租用A,B两种客房一天，供当天使用.如图 种型号“文房四宝”的价格是每套甲种型号价 是有关信息： 格的1.5倍，求甲、乙两种型号“文房四宝”每套 的价格分别是多少元？ 今天用2000元租到 今天每间A客房的 解：设（求什么，设什么）： A客房的数量与用 租金比每间B客房 1600元租到B客房 的数量相等 租金多40元， 列： 解： 检验： 第13题图 根据上述信息，若设B客房每间租金是x元， 答： 则可列方程为 14.[2025玉溪期未]为进一步加强我市中小学研 类型4其他问题 学实践教育活动的管理，培养学生的创新意 17.[2025昆明三中二模改编]为了培养科技创新拔 识、动手能力和科研精神，营造良好的学科 尖人才，提升学生的科学素养、创新能力和人 探究氛围，某学校组织学生开展以“玩转物 文素养，昆明市第三中学持续开展了“科学 理”为主题的研学活动，已知学校用于购买 大讲坛”和“人文、德育、心理讲座”活动，从 某种电学实验材料的费用为400元，购买某 2020年以来聘请院士及专家近40人到校讲 种力学实验材料的费用为320元，其中购买 座，参加“科学大讲坛”的学生总人数约有 电学实验材料的数量是购买力学实验材料 8000人次，参加“人文、德育、心理讲座”的学 的2倍，并且电学实验材料的单价比力学实 生总人数约有6600人次.其中开展“科学大 验材料的单价便宜3元.设力学实验材料的 讲坛”的场次比“人文、德育、心理讲座”的场 单价为x元，则下列方程正确的是 ( 次多9场，而“人文、德育、心理讲座”平均每场 A.40=2x320 B.2×400320 参加学生数是“科学大讲坛”平均每场参加学生 x+3 xx+3 C.2×400320 数的1.5倍.设2020年以来学校举办了“科学大 324320 D. 40 x-3x 讲坛”x场次，则可列方程为 22 分层作业本·云南数学一战成名新中考 8.B【解析】把x=-1代人方程，得m-1-m2+1=0,解得 命题点5分式方程及其解法 m=0或m=1,由于当m=0时，原方程不是关于x的一元 A 二次方程，故m=1. 2.-1【解析】方程两边乘(x-1),得2x=x-1,解得x=-1, 9.A变式有两个实数根 经检验，x=-1是原方程的解，.分式方程的解为x=-1. 10.(1)c>1;【解析】·一元二次方程x2-2x+c=0无实数根，3.解：方程两边乘(x+1)(x-1),得3(x-1)-(x+1)=0, 4=(-2)2-4c<0,.c>1. 解得x=2, (2)1 检验：当x=2时，(x+1)(x-1)≠0， 11.(1)D变式1 ∴.原分式方程的解为x=2. (2)D【解析】：一元二次方程x-6x+9=0有实数4解：方程两边乘2(2x-1),得2=2-1-3， 根，.(-6)2-4×9k≥0，且k≠0，解得k≤1且k≠0. 解得x=3, 检验：当x=3时，2(2x-1)≠0. 拓展k≤1且k≠0 .原分式方程的解为x=3. (3)B【解析】当k=0时.kx2+2x-1=2x-1=0,解得x= 5.解：小李的解法中，第一步是去分母； 厂7；当k≠0时，4=22-4×(-1)=4+4≥0，解得k≥ 去分母的依据是：等式两边乘同一个不为0的数，结果仍 相等： -1,则k的范围为k≥-1且k≠0，综上所述，k的取值范 小李的解答过程不正确： 围是k≥-1. 正确的解答过程如下： 12.A13.C 方程两边乘(x-2),得1-x=-1-2(x-2). 14.10【解析】将x=a代入原方程得：2a2-6a-1=0,.2a -6a=1.一元二次方程2x2-6x-1=0的两根为a,B, 解得x=2, 检验：当x=2时，x-2=0, .a+B=3,∴.2a2-3a+3B=(2a2-6a)+3(a+B)=1+3× .原分式方程无解 3=10. 15.D【解析小：方程x2+bx+a=0有一个根是-a(a≠0)， 6.解：方程两边乘(x+2)(x-2),得5x-2-2(x+2)=1, 7 .(-a)2+h·(-a)+a=0,又：a≠0，.等式的两边同除 解得x=3, 以a,得a-b+1=0,故a-b=-1. 16.A【解析】原式=x2+2x+1+y2-4y+4+2=(x+1)2+(y 检轮：当子时.(+2-2)40， 2)2+2,(x+1)2≥0，(y-2)2≥0，.(x+1)2+(y-2)2+ ·原分式方程的解为x=了 7 2≥2. 变式B【解析】：一元二次方程ax2+bx+1=0有两 7.(1)4;(2)3或4：(3)0<m<2;(4)0:(5)2或0【解析】 个相等的实数根，4=b2-4a=0,b2=4a,.a2-b+ 朗，号得品2（022解得m=4 5=a2-4a+5=(a-2)2+1≥1. (2)当m是小于等于0的整数时，不能使得x是正整数： 命题点4一元二次方程的实际应用 当m=1时，x=-1(舍去)；当m=3时，x=3;当m=4时， 1.A x=2;当m是大于等于5的整数时，不能使得x是正整 2.解：设该企业4月份每周的污水排放量的减少率为x, 由题意，得400(1-x)2=324, 数，综上，m的值为3或4：(3)当<0时，可得m>0,或 (m-2<0 解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不符合题意，舍去) (m<0, 解得0<m<2:(4)方程有增根，x-1=0或 答：该企业4月份每周的污水排放量的减少率为10%. (m-2>0. 3.D4.A5.A =1或0，解得m=0:(5).方程无解，∴.m-2= 6.B【解析】设美术兴趣小组的人数为x,由题意，得x(x x=0,即m -2 1)=56,解得x1=8,x2=-7(不符合题意，舍去) 0或m=0,.m的值为2或0. 7.D8.B 命题点6分式方程的实际应用 9.解：设小路的宽度为xm,则9块矩形地块可合成长为 1360.360-4 (20-4x)m,宽为(14-4x)m的矩形， 根据题意，得(20-4x)(14-4x)=24×9, 2.38000 1.6x20000 整理，得2x2-17x+8=0. x+60 1 解得=2名=8（不符合题意，舍去）. 3.800+30-400 8x 1 4.解：设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B 答：小路的宽度为2m 每小时搬运(x+20)千克化工原料， 参考答案与重难题解析·云南数学 11 根据题意，得800-1000 x+20 4分5.m<1 【解析由题意可得2m-1<m<4m,即2m-1<m, (m<4-m, 解得x=80: 解得m<1. 经检验，x=80是所列方程的解，且符合题意。 13x+1>x-3,① ∴.x+20=80+20=100. 答：机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每 小时搬运100千克化工原料. …7分 解不等式①，得>-2， 5.解：设原计划每小时抢修道路x米，则提高工作效率后每 解不等式②，得x>3, 小时抢修道路(1+50%)x米， .不等式组的解集是x>3. 360x1 3600x(1- 7.解：(1)x≤1： (Ⅱ)x≥-2： 根据题意，得 3 ) -=10. (1+50%)x (Ⅲ)不等式①和②的解集在数轴上表示如解图： 解得x=280. 经检验，x=280是所列方程的解，且符合题意 -4-3-2-101234 答：原计划每小时抢修道路280米 第7题解图 6.c7.80400-48300300-29. 18184 (V)-2≤x≤1. 1.2xx x 3x -10x3 8.B l0.解：设A采血点运送车辆的平均速度是xkm/h,则B采 血点运送车辆的平均速度是1.2xkm/h, 9.a≤2 【解析】解关于x的不等式组 2(x-1)>2得 (a-x>0, 由题意，得30,36 =2,…4分 x1.2x {>2,:不等式组无解，a≤2 解得x=30, \x2a. 经检验，x=30是原方程的解，且符合题意， 变式D【解析】不等式组>， 有解，.a<x<b,∴.表 (x<b ..1.2x=1.2×30=36 示b的点可能为点D 答：A采血点运送车辆的平均速度是30km/h,B采血点 10.C【解析】由x-m<0,得x<m,关于x的不等式组的 运送车辆的平均速度是36km/h.…7分 所有整数解的和为10，且x>-1,.满足要求的所有整数 11.解：设“福建舰”的试航速度为x海里/时，则监测直升机 解为0,1,2,3,4,4<m≤5. 的速度为(x+50)海里/时， 11.B 由题意，得25=25+50 t+50,解得x=25. 12.C【解析】设小明要答对x道题，则答错或不答(20-x) 道题，根据题意，得10x-5(20-x)≥80，解得x≥12，.他 经检验，x=25是原方程的解，且符合题意. 至少要答对的题数是12道。 答：“福建舰”的试航速度为25海里/时. 12.D13.2000-160014.D 13.A【解析1解不等式组红≤3，得 (4x≥a, 4≤x≤3，：关于x x+40x 15.84008400 =35 的不等式组有且只有3个整数解0<：≤1，即0<a≤ x(1+20%)x 16.解：设每套甲种型号“文房四宝”的价格是x元，则每套 4,解分式方程马21，得=号，：关于x的分式 x-22-x 乙种型号“文房四宝”的价格是1.5x元. 根据题意.得5120,7520-5120-84，…4分 方程共-1有整数解为整数，且？号≠2。 x-22-x 2 1.5x ∴.a是偶数，且a≠6，.a=2或4，.所有满足条件的整 解得x=80, 数a的和为2+4=6. 经检验，x=80是所列方程的解，且符合题意， 14.解：(1)设A种材料的单价为x元，则B种材料的单价 .1.5x=1.5×80=120 为(x-3)元， 答：每套甲种型号“文房四宝”的价格是80元，每套乙 由题意，得4x=6(x-3), 种型号“文房四宝”的价格是120元…7分 解得x=9,.x-3=6. 17. 6600_8000×1.5 答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； x-9x (2)设购买A种材料m件，则购买B种材料(50-m)件， 命题点7一元一次不等式（组）的解法 由题意，得9m+6(50-m)≤360. 及其应用 解得m≤20，且m为整数. 答：最多能购买A种材料20件 1.A2.C3.B4.D 12 参考答案与重难题解析·云南数学