专题1.2 三角形中的中线、角平分线和高线 讲义-2026届高三数学二轮专题

该高中数学讲义聚焦三角形中线、角平分线、高线等解三角形高考核心考点，按“知识梳理—典例分析—巩固练习”逻辑架构，系统整合向量法、双余弦法等通性通法，通过考点分类梳理、多解法典例精讲、分层练习训练，帮助学生构建解题框架，突破几何量关系转化难点。 资料以“问题驱动+素养导向”设计教学活动，如中线问题对比向量法与平行四边形法则培养数学思维，角平分线定理结合面积法强化数学眼光。一题多解典例与梯度练习保障复习效率，助力学生快速掌握解题模型，为教师把控复习节奏提供实战化指导。

专题1.2三角形中的中线、角平分线和高线问题 目录 知识梳理..·... 1.AP为中线（定比分点） 2 2.AP为角平分线 2 3.AP为高线. 2 典例分析 一、中线问题 3 二、定比分点问题 …3 三、角平分线问题 4 巩固练习 知识梳理 1.AP为中线（定比分点） ①向量法： BP=入，则AP= LAB+九AC P + 1+λ ②双余弦（互补角或相同角） 互补角：利用cOs∠APB+cos∠APC=0: 相同角：利用△APB和△ABC的同一个角∠ABP使用余弦定理 ③中线利用平行四边形法则：平行四边形四边和的平方等于两条对角线的平方和 2.AP为角平分线 ①角平分线定理： AB BP AC CPi ②面积法： S.ABP+S4CP=S.4BC 台AB·AP.sin∠BAP+AC.AP.sin∠CAP=AB·AC.sin∠BAC =AB·AP+AC·AP=AB·AC·2cos0,其中0=∠BAP=sin∠CAP 台1+1-2cos0 AC AB AP 特别的，当∠BAC=25时，AB-AP+4C4P=AB-AC台+=1 3 AC AB AP 3.AP为高线 ①面积法 ②直角三角形边角关系 注：很多方法都是通用的，例如：向量法，双余弦法，面积法等 典例分析 一、中线问题 【例1】在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2a-b=2 ccos B, (1)求角C; (2)若C=6,且AB边上的中线CD=4,求△ABC的面积. (双余弦法（邻角、同角）、向量法、倍长中线法、平行四边形法则) 【详解】 （1)由2a-2ce0s8=2bc0sC=b,得cosC=7即C-写 3 (2)法一：（向量法)由余弦定理a2+b2-2 abcosC=c2,即a2+b2-ab=36. 而CD=CA+CB,得cD,VCaP+1CBP+21 CAlCB]cosC, 即a2+b2+ab=64,解得ab=14. 故S.weabsinC=75 2 法二：（倍长中线法）延长中线至点P,使得CD=DP. 在△CAP中，∠CAP= 3 由余弦定理得CA2+|AP2-2CA川AP|cos120°=CPP, 即a2+b2+ab=64,余下同法一. 法三：（平行四边形法则）平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。 即2(a2+b2)=c2+(2CD)2,即a2+b2=50.余下同法一 法四：（双余弦法）由∠CDA=∠CDB,利用余弦定理得 ICDP+IDAP-ICAPICD+IDBP-ICBP 2CDDA 2 CD DB 即4+32-a24+32-62 2×4×3 =-2×4x3,即。+b2=50.余下同法一. 【分析】无论是那种方法均可得到两个等式，一个是余弦定理所得的等式，另一个是不 同方式骏可得到同一个等价的式子，通过两个方程解α，b 二、定比分点问题 【例2】在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2a-b=2 c cos B, (1)求角C: (2)若C=6,且AB边上的D满足AD=2BD,CD=4,求△ABC的面积. 【详解】 击例1得∠C-等 (2)法一：（向量法）由余弦定理a2+b2-2 abcosC=c2,即a2+b2-ab=36. 而o-号a+,相Dgar+gar+ga④c 3 即a+4B+2ab=16,解得a=45,6=25. 1 故S,Bc=与absin C=6W5. 2 法二：（双余弦法）由LCDA=∠CDB,利用余弦定理得 ICDP+IDAP-ICAPICDP+IDBP-ICBP 2CDDA 2CD‖DB 即4+4-a2、4+2-b2 即a2+2b2=72.余下同法一. 2×4×4 2×4×2 【分析】中点问题是定比分点的特例，因此两个问题的通性通法为向量法和双余弦法 三、角平分线问题 【例3】在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2a-b=2 ccos B, (1)求角C; (2)若c=6,∠ACB的平分线交边AB于点D,且CD=4,求△ABC的面积 【详解】 1)由例1得2C-晋 (2)由余弦定理a2+b2-2 ab cosC=c2,即a2+b2-ab=36 用Sn+S.c0=S4c,即4：bsin30°+：4·asin30°=hs 2 化简得a+h=5。 计算可得ab8+242，故S,8c7bsin60°=4v3+V1299 1 3 6 巩固练习 1.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C.己知asinB=√3 bcosA,c-2b=1, a=V万. (I)分别求出角A,边c的长度； (2)求A的角平分线AD长度. 【答案】④4=号c=: (②)AD=35 4 【分析】(1)由正弦定理化边为角求出A;由余弦定理列出方程求得C (2)由(1)中信息，利用三角形面积公式列式求出AD 【详解】(I)在ABC中，由asinB=√bcosA及正弦定理，得sin Asin B=√5 sin BcosA, 而sinB>0,则tanA=V5,由0<A<元，所以A= 3； 由余弦定理a2=b2+c2-2 be cosA及c=2b+1,a=√万得，7=b2+(2b+1)2-2.b(2b+1), 整理得b2+b-2=0,而b>0,解得b=1,所以c=3. (2)由1)知b=1,c=3,4-号，而4D平分∠B4C, 由S.4s+S.c=S.4c,得5 ADsin+b-4Dsim=besin 62 62 3 因此(6+c)AD=5bc,所以4D=3V5 4 2.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,C,向量方=(a,c-2b), g=(cosC,cosA),且D+g=万- (I)求角A的值； (2若c=3,AD是BC边上的中线，AD=9,求ABC的面积 2 【答案】0)A-骨 236 2 【分析】(1)根据题意利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换运算求解4= 3 (2)利用向量法结合中线长公式求出边b的值，再利用三角形面积公式求解 【详解】(1)因为D+=-,所以方+=万-，所以币=0， 所以acosC+(c-2b)cosA=0,由正弦定理得sinAcosC+cosAsinC=2 sinBcosA,即 sin(A+C)=sinB 2sinBcosA, 且0<B<,则sinB>0,可得cosA= 2 因为0<4<，所以4=行 (2)由题意得D=B+4C,则⑩=4(+4C+2 ACcos4 即有19=c2+b2+bc,且c=3,解得：(b-2(b+5)=0,所以b=2, 故4BC的面积为S=)besin=×2x3x5_35 22 3.在4BC中，内角4，B,C的对边分别为a,b,c,且in4_sinB-sinC+sinC b+c b+c (1)求角B的大小： 2若2=2c0sb=V5,求AC边上中线的长. a 【答案】08=号 a号 2 【分析】(1)通过移项整理原式，结合正弦定理将角的关系转化为边的关系，再由余弦 定理求出角B; (2)利用正弦定理将边的比例转化为角的二倍角关系，求出角A的可能值，分情况计 算边长后，通过余弦定理求得AC边上的中线长 【详解】(1)由原式sinm4_sinB-sinC,sinC b+c a b+c 将右边的nC移至左边，得sin1-sinC_sinB-sinC b+c b+c 由正弦定理得a-C=b-c, b+c a 整理得a2+c2-b2=ac, 由余弦定理，cosB=+c2-,将a+c2-=ac代入，得cosB=e=) 2ac 2ac21 因B是ABC的内角，即B∈(O,x),故B=T 3 (2)由-2cos4,结合正弦定理2-s1n8, 得sinB =2c0sA,即 a sinA 'sinA sinB 2sinAcosA sin24. 而B-子，则sm24=sin兮号 π3 因A是4BC的内角，故24∈0.2，因此2A或21-行2解得A或4 6 ①当A=时，由三角形内角和4+8+C=,得C=元-工-及- 632 已知b=V5,由正弦定理。=6 sind sin,得a= bsinA 3xsin t x1 6二 sinB 2=1 sin sincsinB'得c _bsinc 3xsin π 同理， 2-2 sinB 3 2 设AC的中点为D,则4D=4C=b=5 222 在△ABD中，由余弦定理BD2=AB2+AD2-2·AB·AD.cosA, 代入4B=c=2,AD= 2，c0s=cos=V5 62 得：BD2=22 5 229-4+8子故0- 22 4 2 ②当A=时，由三角形内角和A+B+C=,得C=元-元刀=刀 2 333 故ABC为等边三角形，因此a=b=c=V3. 设4C的中点为D,则AD= 2 在△ABD中，由余弦定理BD2=AB2+AD2-2·AB·ADC0sA,代入AB=c=5, AD=3 π1 cosA=cos 32 得：BD2=W5)2+ 2 22 所以4C边上中线的长为5或 2 4.已知锐角三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若向量m=（-sinB,cosB) ，n=(2cosA+cosC,-sinC),且ml/n. (I)求角B的大小： (2)若点D在边AC上，BD平分∠ABC,b=2V5,试求BD的最大值. 【答案】a四8-号 (2)3 【分析】(1)由向量共线的坐标公式计算，逆用和角的余弦公式化简，结合锐角三角形， 即可求得角B; (2)设BD=x, 利用余弦定理和面积相等求出x=V3ac 通过两次换元，最后根据二次 a+c 函数的性质即可求得BD长的最大值. 【详解】(1)因m=(-sinB,cosB),i=(2cosA+cosC,-sinC,且ml/n, 则(-sinB)(-sinC)=cosB·(2cosA+cosC),所以2 cosAcosB+cos B cosC=sin B sin C, 所以2 cos Acos B+cos BcosC-sin B sin C=0, 所以2 cos Acos B+cos(B+C)=0,所以2 cos Acos B-coSA=cosA(2cosB-I)=0, 因ABC为锐角三角形，则e054>0,QosB=方故8-号 31 (2)由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB·BC cosLABC,即c2+a2-aC=12, 则得(a+c)2=12+3ac①， 设BD=r,因SaB=SA1Bo+SAac,可得)acsn=am π，1 6 整理得x=3ac, 令r2=3ae-3ac3c2 a+c (a+c)212+3ac4+ac 设ac=t,由①可得，(a+c)2=12+3ac≥4ac,解得ac≤12， 当且仅当a=c=23时等号成立，故t∈(0,12，则=4+=4 1 再令，则ue 1 =1 121, 816 枚当u古时，+u=4细+食-。取得最小值) 此时x2取得最大值为9，即BD长的最大值为3. 5.在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且 sin A bsin B =1 "sin B+sin C bsin A+csin B (1)求角C; (2)若ABC的中线CD长为25，求a+b的最大值. 【答案】0c-胃 (2)8 【分析】(1)利用正弦定理、余弦定理化简己知条件，由此求得C. (2)根据向量运算列方程，结合基本不等式求得a+b的最大值. 【详解】(1)由 sin A bsin B sin B+sin C bsin A+csin B =1,知，a+ b2 =1, b+c ab+cb 化简得，。+ b -=1,所以a2+ac+b2+bc=ab+bc+ac+c2, b+c a+c a2+b2-c2=ab, 由余弦定理知，cosC=a+6-c2-b-1 2ab 2ab2’ 因为ce0,小，所以C-子 (2)由CD是ABC的中线，CD=(CA+CB, 所以而=4C+西P+2Ca.C®，即12=4a2+2+a), 所以=g+公+ab=o+0-ab2a+6-(0生)-+6. 所以a+b≤8， 当且仅当a=b=4时，等号成立， 所以a+b的最大值为8. 6.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a+b=2csin (1)求角C;专题1.2三角形中的中线、角平分线和高线问题 目录 知识梳理.… ·2 1.AP为中线（定比分点） 2 2.AP为角平分线 ..2 3.AP为高线… .2 典例分析... ..3 一、中线问题 3 二、定比分点问题 .3 三、角平分线问题.… .4 巩固练习. ....5 知识梳理 1.AP为中线（定比分点） BP = PC 1+入 1+ ①向量法：若 ,则 ②双余弦（互补角或相同角） 互补角：利用COS∠APB+cos∠APC=0. △APB,△ABC ∠ABP 相同角：利用 和 的同一个角 使用余弦定理 ③中线利用平行四边形法则：平行四边形四边和的平方等于两条对角线的平方和. 2.AP为角平分线 AB BP AC CP ①角平分线定理： ②面积法： SABP+SACP=S.4BC →AB·AP.sin∠BAP+AC,AP.sin∠CAP=AB·AC,sin∠BAC =AB.AP+AC·AP=AB·AC·2cosO,其中O=∠BAP=sin∠CAP ⊙1+1-2c0s0 AC AB AP ∠BAC=2n 3 BAP+ACAP=ABAC台1+L=1 AC AB AP 特别的，当 时， 3.AP为高线 ①面积法 ②直角三角形边角关系 注：很多方法都是通用的，例如：向量法，双余弦法，面积法等 典例分析 一、中线问题 【例1】在△MBC A,B,C a,b,c 2a-b=2ccos B 中，内角 的对边分别为 ，且 C (1)求角； c=6 AB CD=4△ABC (2)若 ,且边上的中线 ，求 的面积 (双余弦法（邻角、同角）、向量法、倍长中线法、平行四边形法则) 【详解】 C=T 2a-2ccos B=2bcos C=b osC= (1)由 ,得 ，即 3 a2+b2-2abcosC=c2 2+b2-ab=36 (2)法一：（向量法)由余弦定理 即 D-Ca+c网.acDL2icdr+1cBr+21cac8eosc 而 得 即a2+b2+ab=64,解得ab=14 S.c-absinC=73 2 故 法二：（倍长中线法）延长中线至点P,使得CD=DP 在△CAP中， ∠CAP=2x 3, CA+APP-2CAll APcos120=CP2 由余弦定理得 a2+b2+ab=64 ，余下同法一 法三：（平行四边形法则）平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和. 2a+)=c+21CDD,即2+b=50 余下同法一. 法四：（双余弦法）由∠CDA=∠CDB,利用余弦定理得 ICDP+IDAP-ICAP_ICDP+IDBP-ICBP 2|CD‖DAI 2CDI DBI 42+32-a242+32-b2 2×4×3 2×4×3 2+b2=50 即 ,即 余下同法一 【分析】无论是那种方法均可得到两个等式，一个是余弦定理所得的等式，另一个是 a,b 不同方式骏可得到同一个等价的式子，通过两个方程解· 二、定比分点问题 【例2】在△ABC A,B,C a,b,c 2a-b=2ccosB 中，内角 的对边分别为，且 (1)求角； C=6AB、 ,DAD=2BDCD=4△ABC (2)若，且 边上的满足 ，求 的面积. 【详解】 ∠C=π 3 (1)由例1得 (2)法一：（向量法）由余弦定理a2+b3-2 abcosC-c2,即a2+b2-ab=36」 CD=2C4+1CB 3 9 而 C04rgcr+号a4c ，得 + 9 gab=16 a=4V3,b=25 即 ，解得 1 S.A8c=absin C=613 2 故 法二：（双余弦法）由∠CDA=∠CDB,利用余弦定理得 ICDP+IDAP-ICAPICDP+IDBP-ICBP 2CDDA 2CD DBI 42+42-a242+22-b2 2×4×4 2×4×2 a2+2b2=72 即 即 .余下同法一 【分析】中点问题是定比分点的特例，因此两个问题的通性通法为向量法和双余弦法 三、角平分线问题 【例3】在△MBC A,B,C a,b,c 2a-b=2ccos B ，内角 的对边分别为，且 C (1)求角； =6∠ACB AB D CD=4 AABC (2)若 的平分线交边 于点，且 ，求 的面积. 【详解】 (1)由例1得 a2+b2-2abcosC=c2 a2+b2-ab=36 (2)由余弦定理 ,即 利用S,cn+ScD=Sic,即2 4-bsin30°+4-asin30°=)absin60° 2 2 a+b= ab 化简得 4 ab=8+2V433 3 g=bn60-+3+i网 6 计算可得 ,故 巩固练习 1.在△1BC中，角4,8，C的对边分别为“，b,c.己知sinB=V56cos4,c-2b=1, a=√万 (I)分别求出角A,边c的长度： (2)求A的角平分线AD长度. 2.在△MBC中，角4、B、C的对边分别为0，b,C,向量D=(aC-2b, g=osC,cos4,且l万+=lb-可 (I)求角A的值： 2)若c=3,AD是BC边上的中线，AD、V1g, 2,求△ABC的面积. sinA sinB-sinC sinc 3.在△4Bc中，内角4，B,C的对边分别为a,bc,且b+c X b+c (1)求角B的大小： ②诺名248=5，求4C边上中线的长 4.已知锐角三角形18C的内角么 A,B,C a,b,c 所对的边分别为，若向量 =(-sin B,cos B)(2cos 4+cosC-sinC) (1)求角B的大小： ②若点D在边4C上，D平分∠8C,b=25,试求BD的最大值 sin A bsin B 5.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且sinB+sinC+bsin+csinB =1 (1)求角C; (2)若418C的中线CD长为2W5 ,求a+b的最大值. 6.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 2esin (1)求角C; (2)若∠BCA的角平分线交边AB于D,且AB=3,CD=2,求△ABC的面积. 7.在△18C中，内角 A,B,C a,b,c 所对的边分别为，已知 (a-b+c)(sin A+sin B+sin C)=2+3csinA (1)求角B的大小： (2)若b=2,记AC边上的高为h,求h的最大值. 8.在△1BC中，内角4B.,C所对的边分别是a,且V5 eosB--bsinC=V5a (1)求C; 2已知∠ACB的角平分线CD交4B于点D.若a+b=4,c=求△MBC面积及CD的 长 9.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2 bcos C=ac-2 ccos B. (1)求c: 2若D为4B中点，CD=V5,∠CB=60,求△C的面积 10.在△1BC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,C,且sinC=5(a-bcosC) (1)求角B的大小： (2若BD为∠ABC的角平分线并与AC交于点D,且lBD-25,求△ABC面积的最小 值 1l.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且c-2 a)cosB=b2cosA-V5sinC B D (1)求B; )若D是边AC上靠近A的三等分点，a=2,BD2k 3,求△ABC的面积： ③)若△ABC为锐角三角形，且b=5,求20-C的取值范围.