精品解析：湖南省衡阳市衡阳县第四中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题（B卷）

衡阳县四中2025年下学期期中考试 高二数学试题卷（B卷） 命题人：杜超群 （本试卷共2页，试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 直线的倾斜角等于（ ） A. 0° B. 45° C. 30° D. 90° 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角与斜率求解. 【详解】因为，所以，所以. 故选：B. 2. 记等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 63 B. 70 C. 84 D. 126 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质及前n项和公式计算即可. 【详解】因是等差数列，故，于是 故选：C. 3. 如图，若直线，，，的斜率分别为，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象，由斜率的定义求解. 【详解】解：由图象知：， 故选：A 4. 若抛物线（）的焦点到准线的距离为，则该抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的焦点到准线的距离可得抛物线方程，进而可得焦点坐标. 【详解】由题意知，故抛物线的标准方程为:， 所以抛物线的焦点坐标为， 故选：D 5. 直线与直线间的距离是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用两平行线间的距离公式，准确计算，即可求解. 【详解】由直线和，即为和， 又由平行线间的距离公式，可得所求距离为. 故选：D. 6. 已知双曲线C：的一条渐近线为，则C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由渐近线方程得出，从而根据离心率为可得出答案. 【详解】双曲线的渐近线为 又双曲线C：的一条渐近线为,所以 所以双曲线的离心率为 故选：C 7. 已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出圆心，根据得到方程，求出，得到圆心和半径，得到圆的方程. 【详解】设圆心为， 由题意得，即， 解得，故圆心， 半径为， 故圆的标准方程为. 故选：C 8. 在中，，，，P为所在平面内的动点，且.则的最大值为（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到点P的轨迹为半径为2的圆，取的中点D，得到，求得，即可求解. 【详解】由P为所在平面内的动点，且，点P的轨迹为以C为圆心，2为半径的圆， 又由，，， 取的中点D，则， 所以. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列前n项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是递减数列 C. 当时， D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和性质来求解判断即可. 【详解】因为，又， 所以数列是首项为9，公差为的等差数列. 记公差为d，则，所以. 选项A：.所以选项A错误. 选项B：因为公差为，所以数列是递减数列.所以选项B正确. 选项C：当，，即.所以选项C正确. 选项D：，所以选项D正确. 10. 已知椭圆的两个焦点为，，为上不与，共线的点，则下列说法正确的有（ ） A. 实数的取值范围是 B. 若椭圆的焦点在轴上，则 C. 若，则周长为 D. 若，则椭圆的离心率为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由确定椭圆方程的条件判断；由椭圆标准方程确定，判断BCD. 【详解】对于A：由题意可得且，故A正确； 对于B：若椭圆C的焦点在轴上，则，解得，所以，故B正确； 对于C：若，则，，解得，所以， 则周长为，故C正确； 对于D：若，则，椭圆C离心率，故D错误. 11. 已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则（ ） A. 双曲线C的渐近线方程为y＝±x B. 以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C. 点P的横坐标为±1 D. △PF1F2的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项结合渐近线的公式即可求出结果；B选项确定圆心半径即可求出结果；C选项设出点P(x0，y0)，解方程组即可求出结果；D结合三角形的面积公式即可求出结果. 【详解】等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确； 由双曲线的方程可知F1F2＝， 所以以F1F2为直径圆,圆心为，半径为，则圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误； 点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上， 不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上， 所以由解得|x0|＝1， 则点P的横坐标为±1，故C正确； 由上述分析可得△PF1F2的面积为，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，两点在直线l上，则直线l的斜率为________. 【答案】3 【解析】 【分析】由斜率公式求解即可. 【详解】已知，两点在直线l上，则直线l的斜率为. 故答案为：3. 13. 若直线与直线平行，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为线与直线平行， 所以，即，解得. 故答案为：. 14. 已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为_____. 【答案】13 【解析】 【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再利用抛物线的定义将的周长进行转化，最后根据几何性质求出周长的最小值. 【详解】因为，故， 记抛物线C的准线为l，则， 记点P到l的距离为d，点到l的距离为， ， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线过点，根据下列条件分别求直线的方程： （1）直线的斜率为2； （2）直线在轴、轴上的截距相等． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用点斜式求解即可； （2）分直线在轴、轴截距为0和不为0进行分类讨论，不为0时利用截距式求解即可. 【小问1详解】 因为直线过点，直线的斜率为2， 所以所求为， 即. 【小问2详解】 当直线在轴、轴上的截距都为0时， 所求为， 当直线在轴、轴上的截距都为时， 设所求为， 由题意，解得符合题意， 故所求为， 综上所述，符合题意的直线方程为或. 16. 已知椭圆（）长轴长为8，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）以的焦点为顶点，短轴为虚轴的双曲线记为，求的方程及其渐近线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求，即可得方程； （2）设，再根据题意得到，进而可得双曲线方程和渐近线方程. 【小问1详解】 由题意可知：，可得， 则，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 椭圆的焦点为，且短轴长为． 以为左，右顶点的双曲线的方程设为． 依题意得，所以双曲线的方程为． 其渐近线方程为． 17. 已知是等差数列的前n项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）n为何值时，取得最大值并求其最大值. 【答案】（1） （2），取得最大值56 【解析】 【分析】（1）根据与关系求解； （2）法一，利用二次函数求最值；法二，由项符号求最值. 【小问1详解】 由题意可知：， 当时，， 当时，， 当时，，符合， ∴数列的通项公式； 【小问2详解】 法一：， 由二次函数图象及知或时，取得最大值56. 法二：当时，， 当时，， 当时，， 所以当或时，有最大值. 18. 某市为庆祝建党104周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个隧道，隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图（单位：m）. （1）以隧道横断面抛物线的顶点O为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该段抛物线所在抛物线的方程; （2）若车队空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，箱宽，车与集装箱总高4m，此车能否安全通过隧道？请说明理由. 【答案】（1）; （2）能，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）设抛物线方程，由题意得到点坐标，代入方程即可求得抛物线方程； （2）令，求得，验证是否成立，即可判断能否安全通过. 【小问1详解】 设抛物线方程为，由图知抛物线经过点， 代入方程可得，解得， 故抛物线所在抛物线的方程为. 【小问2详解】 依题意，在抛物线上取点，代入，解得， 要使装载集装箱的车能安全通过隧道，需使，即， 因，故此车能安全通过隧道. 19. 已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． （1）求双曲线的方程； （2）若直线的斜率为，求弦长； （3）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的焦距、结合双曲线方程求出值即可； （2）先求出直线l的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及弦长公式计算即可； （3）设出直线l的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，推理计算即得. 【小问1详解】 由题意，双曲线的焦距为， 则，即， 由，得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 依题意，直线的方程为， 联立，即， 设，， 则，， 所以弦长. 【小问3详解】 证明：依题意，设直线的方程为，，， 联立，即， 则， 且，，即， 而，， 所以 为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳县四中2025年下学期期中考试 高二数学试题卷（B卷） 命题人：杜超群 （本试卷共2页，试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 直线的倾斜角等于（ ） A. 0° B. 45° C. 30° D. 90° 2. 记等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 63 B. 70 C. 84 D. 126 3. 如图，若直线，，，的斜率分别为，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若抛物线（）的焦点到准线的距离为，则该抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 直线与直线间的距离是（ ） A. B. C. D. 1 6. 已知双曲线C：的一条渐近线为，则C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，，P为所在平面内的动点，且.则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前n项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是递减数列 C. 当时， D. 10. 已知椭圆的两个焦点为，，为上不与，共线的点，则下列说法正确的有（ ） A. 实数的取值范围是 B. 若椭圆的焦点在轴上，则 C. 若，则周长为 D. 若，则椭圆离心率为 11. 已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则（ ） A. 双曲线C的渐近线方程为y＝±x B. 以F1F2为直径圆的方程为x2＋y2＝1 C. 点P的横坐标为±1 D. △PF1F2的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，两点在直线l上，则直线l的斜率为________. 13. 若直线与直线平行，则_________. 14. 已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线过点，根据下列条件分别求直线方程： （1）直线的斜率为2； （2）直线在轴、轴上截距相等． 16. 已知椭圆（）长轴长为8，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）以的焦点为顶点，短轴为虚轴的双曲线记为，求的方程及其渐近线方程. 17. 已知是等差数列的前n项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）n为何值时，取得最大值并求其最大值. 18. 某市为庆祝建党104周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个隧道，隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图（单位：m）. （1）以隧道横断面抛物线顶点O为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该段抛物线所在抛物线的方程; （2）若车队空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，箱宽，车与集装箱总高4m，此车能否安全通过隧道？请说明理由. 19. 已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． （1）求双曲线的方程； （2）若直线的斜率为，求弦长； （3）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $