精品解析：福建省福州市马尾区2025-2026学年八年级上学期期中数学试题

2025—2026学年第一学期期中学情调研 八年级数学 （全卷共6页，25小题，完卷时间120分钟，满分150分） 友情提醒：所有答案都必须填写在答题卡相应的位置上 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求） 1. 斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 已知三角形的两边长分别为6，11，那么第三边的长可以是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 【详解】设第三边长为x，由题意得： 11﹣6＜x＜11+6， 解得：5＜x＜17． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键. 3. 如图，在中，边上的高线是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段BC D. 线段 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据三角形的高的定义即可得到答案． 【详解】解：由图可知： 在中，边上的高线是， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的高线，熟练掌握三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是解题的关键 4. 蝴蝶标本可以近似地看作轴对称图形，如图，将一只蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，若图中点的坐标为，则其关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标的特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可得出答案． 【详解】解：图中点的坐标为，则其关于轴对称的点的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查了关于轴对称的点的性质，熟练掌握关于轴对称的点的坐标的特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，是解题的关键． 5. 如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形是（　　） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的分类和三角形的内角和，现根据三角形的内角和求出另一个角的度数，然后根据三角形的分类解题即可． 【详解】解：三角形的另一个角的度数为， ∴这个三角形等腰三角形， 故选：D． 6. 如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7. 若等腰三角形的一个角为，则它的底角的度数是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分这个角是底角和顶角，两种情况讨论求解． 【详解】解：当这个角为底角时：，满足题意； 当这个角是顶角时：它的底角的度数是； 综上：等腰三角形的底角度数为或； 故选D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．熟练掌握等边对等角，是解题的关键． 8. 如图，某景区有，，三处景点，景点之间均以最短路线修建公路，为了便于游客游玩与休息，现计划建设一座游客休息厅提供给游客休息，为了确保各个景点到游客休息厅的距离相等，则游客休息厅应建设在（ ） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条高的交点 D. 三条角平分线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是线段垂直平分线的性质在实际生活中的应用； 由于各个景点到游客休息厅的距离相等，所以根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知是三边垂直平分线的交点．由此即可确定休息厅的位置． 【详解】解∶ ∵各个景点到游客休息厅的距离相等， ∴休息厅选择三边垂直平分线的交点， 故选：B． 9. 如图，在各图形中，根据尺规作图痕迹能判断射线平分的是（ ） A. 图①和图② B. 图①和图③ C. 图②和图③ D. 图①、图②和图③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图---作角平分线，线段的垂直平分线，以及全等三角形的判定与性质． 利用基本作图以及全等三角形的判定与性质对三个图形的作法进行判断即可． 【详解】解：在图①中，利用基本作图可判断平分； 在图②中，利用作法得， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴是的平分线； 在图③中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 故选：A． 10. 在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），B（0，2），若点C在第一象限内，CO=CB，且△AOC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】CO=CB,则点C在线段OB的垂直平分线上，分OA=OC,AO=AC,CA=CO三种情况 画图,找出与BC的垂直平分线的交点个数，即为点C的个数. 【详解】如图，满足条件的点C有四个． 故选D． 【点睛】考查线段垂直平分线的判定，以及等腰三角形的判定，根据等腰三角形的性质作图是解题的关键. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，在中，，是的一个外角，则的大小为_________． 【答案】76 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，由，的度数，利用三角形的外角性质可求出的度数，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 【详解】解：在中，， ． 故答案为：76． 12. 空调外机安装固定在三角形支架上更稳固，运用的数学原理是________． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性．根据三角形具有稳定性进行求解即可． 【详解】解：空调外机安装固定在三角形支架上更稳固，用到的数学道理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 13. “等边三角形是锐角三角形”的逆命题是_________． 【答案】锐角三角形是等边三角形 【解析】 【分析】交换题目中的题设和结论即可． 【详解】解：原命题“等边三角形是锐角三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形”， 结论是“这个三角形是锐角三角形”， 互换条件和结论可得到逆命题“如果一个三角形是锐角三角形，那么这个三角形是等边三角形”．简化为“锐角三角形是等边三角形”， 故答案为：锐角三角形是等边三角形． 【点睛】本题考查了命题与逆命题，能准确找到命题中的题设和结论是解题的关键． 14. 学了全等三角形的判定后，小明编了这样一个题目：“已知：如图，，，，求证：”，老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是：______________． 【答案】或## 或 【解析】 【分析】根据三角形全等判定定理，为公共边， ，根据ASA即可证明，或者根据SSS证明即可求得答案 【详解】根据题意，若，， 又 （SAS） 或者， （SSS） 故答案为：或 【点睛】本题考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 15. 如图，三角形纸片，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使得点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为______． 【答案】11 【解析】 【分析】由折叠得，，则，而，则，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查翻折变换的性质，推导出，是解题的关键． 【详解】解：将沿过点B的直线折叠，点C落在AB边上的点E处，折痕为BD， ，， ， ，， ， ， ， 的周长为11， 故答案为：． 16. 如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是______________． 【答案】####4.8 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路径问题以及三角形面积公式的应用，熟练掌握利用轴对称转化线段是解题的关键． 通过作点关于的对称点，将转化为，则，当时，的长度即为的最小值，再利用三角形面积公式求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过作于，交于．则此时值最小，最小值为的长， ∵点与关于对称， ∴，， ∴． ∵，，，， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在中，是边上的高，平分，，，求和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形高的定义，根据三角形内角和定理可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据三角形高的定义和三角形内角和定理可得的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵是边上的高， ∴． ∴． ∴． 18. 如图，，，点E和点F在线段BC上，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质．根据，可得，可利用可证明，即可求证． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴． 19. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为， （1）画出关于x轴的对称图形 ； （2）写出的各顶点坐标 ， ， ； （3）求的面积． 【答案】（1）见详解 （2），， （3） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称变换，关于轴对称的点的坐标，三角形面积的计算，构造三角形的外接矩形是解题的关键． （1）先求出各顶点坐标关于轴对称的点的坐标，然后在平面直角坐标系描出这些点，最后顺次连接各点即可求解； （2）由（1）可得各顶点坐标； （3）作的外接矩形，根据求解即可． 【小问1详解】 解：如图，点关于轴的对称点为， 连结，，，则即是所求作的三角形． 【小问2详解】 由（1）知， 故答案为：，，； 【小问3详解】 如图，构造的外接矩形， ，， ， ， ． 20. 上午8时，一条船从海岛出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛处，从、望灯塔，测得，．求从海岛到灯塔的距离． 【答案】从海岛到灯塔的距离为30海里 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握等角对等边的性质是解题关键．由题意可知，，，海里，由三角形外角的性质，得到，从而得到海里，即可得解． 【详解】解：由题意可知，，，海里， ∴， ∴， ∴海里， ∴从海岛到灯塔的距离为30海里． 21. 如图，在中，． （1）尺规作图：在 上截取 ，过点 作 ，交 于 ，连接 ，．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：垂直平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）以点A为圆心，长为半径画弧，交于D，再以D为圆心任意长为半径画弧，交于两点，然后分别以这两点为圆心，大于两点距离一半为半径画弧，两弧形相交于两点过两点作直线交于E，最后连接，即可． （2）先证明，得，然后由等腰三角形“三线合一”性质得出结论． 【小问1详解】 解：如图，线段，，，即为所求． 【小问2详解】 证明：∵ ∴ 在与中， ∴ ∴ 在中，∵，， ∴垂直平分． 【点睛】本题考查尺规作图—作线段、作垂线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 22. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，，连接． （1）求证：是的角平分线； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质得到，进而得出，再结合为线段的中点，根据三线合一性质即可证明； （2）设，利用等腰三角形和三角形外角的性质表示出的度数，再利用三角形内角和定理列出方程，求出的值即可解答． 【小问1详解】 证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵是中点， ∴是的角平分线． 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 23. 综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究． 【课本重现】三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心．如图，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于平衡状态． 【提出问题】探究的值是多少？ 老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】 任务1：若的面积为6，求的面积． 任务2：求的值． 【答案】任务1：；任务2： 【解析】 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算． 任务1：根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； 任务2：结合任务1可知，再根据与同高即可求解； 【详解】解：任务1：以点为的重心， ∴，，分别是，，边上的中点． ∴，． ∴． ∴． 任务2：由题意可知． 又． ∴． ∵与同高， ∴，即， ． 24. 如图，在中，，，射线交于点，，垂足为． （1）求证：； （2）过点作垂线与射线交于点，且，求证：是的中点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据直角三角形两锐角互余可得，，再由即可证明结论； （2）延长，交于点，可证明得到．则可推出，可证明．推出，则是等腰三角形，再由三线合一定理即可证明结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴ 在中，． 在中，． ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，延长，交于点， ∴， 由（1）知：，即， 又∵， ∴ ∴． ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即是等腰三角形． ∵， ∴是的中点． 25. 已知，，分别是等边三角形的边和边上的点，且，与相交于点． （1）如图1，求证； （2）过点作，交的延长线于点，连接，． ①如图2，判断的形状，并说明理由； ②若是直角三角形，试探究线段和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） （2）①是等边三角形，理由见解析；②当是直角三角形时，或，见解析 【解析】 【分析】（1）证明，得到，据此求解即可； （2）①在的延长线上截取，连接，证明为等边三角形，再证明，推出，再证明，得到，即可证明是等边三角形； ②分两种情况讨论，当和时，利用直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ∴，． 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①是等边三角形，理由： 在的延长线上截取，连接，如图所示． ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， 在中，， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∵，∴是等边三角形； ②∵是等边三角形， ∴， 当是直角三角形时，有以下两种情况： 当时，则， ∴， ∵，， ∴； 如图（3）当时，则， ∴， ∴， 综上所述：当是直角三角形时，或． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定和性质，30度角所对的直角边等于斜边一半等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期中学情调研 八年级数学 （全卷共6页，25小题，完卷时间120分钟，满分150分） 友情提醒：所有答案都必须填写在答题卡相应的位置上 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求） 1. 斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知三角形的两边长分别为6，11，那么第三边的长可以是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 如图，在中，边上的高线是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段BC D. 线段 4. 蝴蝶标本可以近似地看作轴对称图形，如图，将一只蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，若图中点的坐标为，则其关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形（　　） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形 6. 如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（  ） A. B. C. D. 7. 若等腰三角形的一个角为，则它的底角的度数是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 如图，某景区有，，三处景点，景点之间均以最短路线修建公路，为了便于游客游玩与休息，现计划建设一座游客休息厅提供给游客休息，为了确保各个景点到游客休息厅的距离相等，则游客休息厅应建设在（ ） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条高的交点 D. 三条角平分线的交点 9. 如图，在各图形中，根据尺规作图痕迹能判断射线平分的是（ ） A. 图①和图② B. 图①和图③ C. 图②和图③ D. 图①、图②和图③ 10. 在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），B（0，2），若点C在第一象限内，CO=CB，且△AOC为等腰三角形，则满足条件点C的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，在中，，是的一个外角，则的大小为_________． 12. 空调外机安装固定在三角形支架上更稳固，运用的数学原理是________． 13. “等边三角形是锐角三角形”的逆命题是_________． 14. 学了全等三角形的判定后，小明编了这样一个题目：“已知：如图，，，，求证：”，老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是：______________． 15. 如图，三角形纸片，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使得点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为______． 16. 如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是______________． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在中，是边上的高，平分，，，求和的度数． 18. 如图，，，点E和点F在线段BC上，．求证：． 19. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为， （1）画出关于x轴的对称图形 ； （2）写出的各顶点坐标 ， ， ； （3）求的面积． 20. 上午8时，一条船从海岛出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛处，从、望灯塔，测得，．求从海岛到灯塔的距离． 21. 如图，在中，． （1）尺规作图：在 上截取 ，过点 作 ，交 于 ，连接 ，．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：垂直平分． 22. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，，连接． （1）求证：是的角平分线； （2）若，求度数． 23. 综合与实践 【探究课题】三角形重心性质探究． 【课本重现】三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心．如图，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于平衡状态． 【提出问题】探究的值是多少？ 老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 解决问题】 任务1：若的面积为6，求的面积． 任务2：求的值． 24. 如图，在中，，，射线交于点，，垂足为． （1）求证：； （2）过点作的垂线与射线交于点，且，求证：是的中点． 25. 已知，，分别是等边三角形的边和边上的点，且，与相交于点． （1）如图1，求证； （2）过点作，交的延长线于点，连接，． ①如图2，判断的形状，并说明理由； ②若是直角三角形，试探究线段和的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $