第18章《分式》专项复习中考真题链接及3大考点12种题型训练 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第18章《分式》专项复习中考真题链接及3大考点12种题型 第一部分 2025中考真题链接 1．（2025•淄博）若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠﹣1且x≠2 B．x≠﹣1且x≠3 C．x≠2且x≠3 D．x≠﹣1且x≠2且x≠3 2．（2025•南充）已知2，则的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（2025•西宁）下列运算正确的是（　　） A．（﹣3）﹣2＝9 B．24÷20＝8 C．（5×103）×（4×102）＝2×106 D．（﹣2×102）3＝8×106 4．（2025•潍坊）计算的结果是（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D． 5．（2025•常州）若使分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠﹣1 B．x＝﹣1 C．x≥﹣1 D．x＞﹣1 6．（2025•贵州）若分式的值为0，则实数x的值为（　　） A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣3 7．（2025•天津）计算的结果等于（　　） A． B． C． D．1 8．（2025•威海）下列运算正确的是（　　） A．b3+b2＝b5 B．（﹣2b2）3＝﹣6a6 C．bb D．（﹣b）3÷（﹣b2）＝b 9．（2025•潍坊）计算：（﹣2）0﹣3﹣1＝　 ． 10．（2025•山东）写出使分式有意义的x的一个值　 　 ． 11．（2025•绥化）计算：1　 ． 12．（2025•北京）已知a+b﹣3＝0，求代数式的值． 13．（2025•大庆）先化简，再求值：，其中x＝3． 14．（2025•滨州）已知A＝x+y，B＝x2﹣y2，C． （1）若，求C的值； （2）当y＝1，且3C为整数时，求x的整数值． 15．（2025•西宁）先化简，再求值：，其中m满足m（m+4）＝﹣4． 16．（2025•青海）先化简，再从﹣2，0，1中选一个合适的数代入求值． 17．（2025•眉山）先化简，再求值：（）．其中x、y满足（x+2）2+|y﹣1|＝0． 第二部分 题型典例+举一反三 【考点1 分式】 题型一 分式有无意义及值为0的条件 【典例1】（2022春•江北区校级期末）当x　 　 时，分式的值为0；若分式有意义，则x的取值范围是 ． 【举一反三】 1．（2025秋•潍坊期中）无论x取什么值时，下列各式一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•游仙区期末）已知x＝﹣2时，分式无意义，则□可以是（　　） A．2﹣x B．x﹣2 C．2x+4 D．x+4 3．当x＝﹣a时，分式（　　） A．值为0 B．无意义 C．当a时，值为0 D．当a时，值为0 4．（2025秋•蓬莱区期中）若分式的值为0，则x的值为　 　 ． 5．（2025秋•新乐市期中）已知当x＝﹣2时，分式无意义；当x＝1时，此分式的值为0． （1）求a，b的值． （2）当分式的值为正整数时，求出整数x的值． 题型2分式的基本性质 【典例2】（2025秋•潍坊期中）下列各式的变形，正确的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2025•翠屏区校级三模）已知：（x、y、z均不为零），则　 　 ． 2．（2025秋•长春校级期中）利用分式基本性质变形可得，则整式A＝ ． 3．（2025秋•通州区校级期中）如果分式中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．缩小为原来的 B．不变 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的9倍 题型3 分式在规律问题中的运用 【典例3】（2024春•元阳县期末）按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2023春•铜仁市期末）小苗探究了一道有关分式的规律题，，，，，，　　 ，，…，请按照此规律在横线上补写出第6个分式． 2．（2024春•花溪区校级期中）已知一列分式：，，，，，．观察其规律，知第n个分式是 　 ． 3．（2025春•滁州期末）观察下列等式：a1＝n，a2＝1，a3＝1，a4＝1，…根据其蕴含的规律可得（　　） A．a2016＝n B．a2016 C．a2016 D．a2016 【考点2 分式的运算】 题型4 分式的混合运算 【典例4】（2025秋•通州区校级期中）计算． 【举一反三】 1．（2025秋•诸城市校级月考）计算（约分）： （1）；（2）；（3）4a2b÷（6ab2）；（4）（3x2+x）÷（x2﹣x）． 2．（2025春•利辛县月考）下列通分是否合理？若不合理，请改正． （1）； 解：， ． （2）． 解， ． 3．（2025秋•裕华区校级期中）计算： （1）； （2）． 4．（2025秋•莱阳市期中）计算： （1）； （2）． 题型五5 分式的化简求值 【典例5】（2025秋•蓬莱区期中）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣3＝0． 【举一反三】 1．（2025秋•长寿区校级期中）先化简，再求值：，其中（）﹣1． 2．（2025秋•江津区校级期中）先化简，再求值：，其中x＝（π﹣3）0+2﹣1． 3．（2025秋•池州期末）先化简，再求值：（x），其中x，且x是整数． 4．（2025•石狮市模拟）先化简，再求值：，其中． 5．（2025春•金沙县期末）下面是小华化简分式的过程： 解：原式.第一步 第二步 第三步 （1）小华的化简过程从第　 　 步开始出现错误； （2）请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值． 6．（2025秋•五华县期中）先化简，再求值：，其中m满足m2﹣m﹣1＝0． 题型6 整数指数幂的运算 【典例6】（2025秋•碧江区 校级月考）已知，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＝b＞c 【举一反三】 1．（2025秋•浦东新区校级期中）人体一根头发的直径约为0.000052米，将数字0.000052用科学记数法表示为（　　） A．0.52×10﹣4 B．52×10﹣6 C．5.2×10﹣6 D．5.2×10﹣5 2．（2025秋•沙坪坝区校级期中）下列四个数中，最小的是（　　） A．1.12×10﹣5 B．1.22×10﹣5 C．1.12×10﹣6 D．1.22×10﹣6 3．（2025秋•福州期中）若（x﹣3）0＝1，则x满足的条件是（　　） A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x＝3 4．（2025秋•乌鲁木齐校级期中）若等式（x﹣2）2x＝1，则x的值为（　　） A．0 B．1 C．0或1 D．以上都不对 题型7 分式运算的实际应用 【典例7】甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买800kg，乙每次用去600元，设两次购买的面粉单价分别为a元/kg和b元/kg（a，b是正数，且a≠b），那么甲所购面粉的平均单价是　 元/kg，乙所购面粉的平均单价是　 元/kg；在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为　 元/kg．（结果用含a，b的代数式表示，需化为最简形式） 【举一反三】 1．（2024秋•海拉尔区期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为m米（m＞1）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（m﹣1）米的正方形，两块试验田的小麦都收获了n千克．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为P千克/米2和Q千克/米2．下列说法： ①P＞Q；②P＝Q；③P＜Q；④P是Q的倍．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024春•埇桥区期末）一项工程，甲单独做a小时完成，乙单独做b小时完成．甲、乙两人一起完成这项工程所需的时间为 　 小时． 题型8 分式的条件求值 【典例8】（2024秋•张店区期中）【阅读学习】阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知x≠0，所以，即， 所以32﹣2＝7，故的值为． 【类比探究】 （1）上题的解叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：已知，求的值． 【拓展延伸】 （2）已知，，，求的值． 题型9 解分式方程 【典例9】（2024春•方城县月考）解方程，去分母时，两边同乘x﹣1后的式子为（　　） A．1+2＝2x（1﹣x） B．x﹣1+2＝﹣x C．1+2（x﹣1）＝﹣x D．1+2（x﹣1）＝1﹣x 【举一反三】 1．（2024•河北一模）若分式与的值相等，则m的值不可能是（　　） A．﹣3 B．0 C．﹣1 D．﹣2 2．（2025•高州市二模）方程的解为（　　） A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝3 D．无解 题型10 利用分式方程的解的情况确定字母的值或取值范围 【典例10】（2025秋•汤原县期中）若关于x的分式方程有解，则m的值为（　　） A．m≠4且m≠﹣6 B．m≠﹣4且m≠﹣6 C．m≠1且m≠﹣4且m≠6 D．m≠1且m≠4且m≠6 【举一反三】 1．（2025秋•吴中区期中）已知关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≥﹣6且m≠﹣3 B．m≥﹣6 C．m≤﹣6 D．m≤﹣6且m≠﹣3 2．（2025秋•青龙县期中）关于x的分式方程的解是x＝2，那么k的值是（　　） A．4 B．2 C． D． 3．（2025秋•正定县期中）如果关于x的分式方程5无解，那么实数k的值是　1　 ． 4．（2025•龙江县二模）已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围是（　　） A．a＜﹣4 B．a≤﹣4 C．a＞﹣4且a≠﹣1 D．a≥﹣4且a≠﹣1 5．（2025春•合肥校级期末）数学课上，李老师在黑板上写了关于x的分式方程，让同学们讨论该分式方程的解．A同学说：当m＜﹣5时，方程的解为负数；B同学说：当m＞﹣5时，方程的解为正数．关于两位同学的说法，正确的是（　　） A．A，B同学都答对 B．A，B同学都答错 C．只有A同学答对 D．只有B同学答对 6．（2025秋•池州期末）阅读：对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为x（a+b），所以关于x的方程xa+b有两个解，分别为x1＝a，x2＝b． 应用上面的结论解答下列问题： （1）方程xq的两个解分别为x1＝﹣2，x2＝3，则p＝　 　 ，q＝　 　 ； （2）方程x3的两个解分别为x1＝a，x2＝b，求a4+b4的值； （3）关于x的方程2x2n的两个解分别为x1、x2（x1＜x2），求的值． 7．（2025春•资中县期中）对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则x＝m或x＝n．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为x1＝m，x2＝n． 应用上面的结论解答下列问题： （1）方程有两个解，分别为x1＝　 ，x2＝　 　 ； （2）关于x的方程的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），若x1与x2互为倒数，则x1＝　　 ，x2＝　2　 ； （3）关于x的方程的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求x1﹣x2的值． 题型11 利用分式方程解决实际问题 【典例10】（2024秋•罗庄区期末）2023年10月1日，杭州亚运会田径铁饼赛场上，世界首次使用机器狗送铁饼．赛场上运铁饼的“小狗”，成了“显眼包”．某次运铁饼过程中，甲机器狗比乙机器狗每秒多跑0.5米，甲机器狗跑135米与乙机器狗跑120米所用时间相等．问乙机器狗这次运铁饼的速度是多少？ （1）小佳同学设乙机器狗这次运铁饼的速度是xm/s，可列方程为．小琪同学设甲机器狗这次运铁饼的所用时间是ys，可列方程为． （2）请你按照（1）中小佳同学的解题思路，写出完整的解答过程． 【举一反三】 1．（2024秋•唐县期末）如下是学习“分式方程应用”时，老师板书的例题和两名同学所列的方程． 例：有甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等、乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度． 嘉嘉：． 洪洪：． 根据以上信息，解答下列问题． （1）嘉嘉同学所列方程中的x表示 　甲队每天修路的长度　 ； 淇淇同学所列方程中的y表示 　甲队修路400米所需时间（或乙队修路600米所需时间）　 ； （2）在嘉嘉和淇淇所列方程中任选一个，并直接写出其所列方程依据的等量关系： （3）解（2）中你所选择的方程，并解答该例题． 2．（2025春•合肥期末）假期将至，某学校准备购买花卉装点校园，采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元，用800元购买B种花卉的数量是用320元购买A种花卉的数量的2倍． （1）小华同学列的方程是，你知道a代表什么吗？ （2）请你用不同于（1）中小华的方法，求用320元购买A种花卉的数量． （3）插花时，技术小组成员小明发现自己单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成（9﹣m）盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用的时间与完成10盆大盆栽所用的时间相同，求m的值． 3．（2024秋•凤台县期末）如表是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和甲、乙两位同学不完整的解答过程． 张庄和李庄两地之间的路程是25km，嘉琪和爸爸二人都从张庄到李压，嘉琪骑自行车，爸爸骑摩托车．爸爸比嘉琪晚出发1h，却和嘉琪同时到达．已知爸爸的速度是嘉琪的速度的2.5倍，嘉琪和爸爸二人的速度各是多少？ 甲： 乙：设嘉琪的速度为ykm/h 根据以上信息，解答下列问题． （1）甲同学所列方程中的x表示 　嘉琪所用时间　 ； （2）根据乙同学设的未知数，列方程并解答． 4．（2024春•奉贤区期末）“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店在世界读书日之际，计划购进A类和B类图书，因为A类图书每本进价比B类图书每本进价高60%，所以用960元购进A类图书的数量比用同样的费用购进B类图书的数量少12本． （1）求A、B两类图书每本的进价； 根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：，解得x＝30，经检验x＝30是原方程的解． 乙：，解得x＝20，经检验x＝20是原方程的解． 那么甲同学所列方程中的x表示 B类图书每本进价　 ，乙同学所列方程中的x表示 　购进A类图书的数量　 ． （2）按以上两类图书的进价，该书店用4500元购进A类图书m本及B类图书n本．然后将A类图书的售价定为每本52元，B类图书的售价定为每本40元，书店售完这一批次购进的两类图书共获利900元，那么书店分别购进了这两类图书多少本？ 题型12 与分式方程有关的探究性问题 【典例12】（2024春•方城县月考）综合与探究 我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，∴x1＝1，x2＝3． 再如：为“十字分式方程”，可化为，∴x1＝﹣2，x2＝﹣4． 应用上面的结论，解答下列问题： （1）若为“十字分式方程”，则x1＝　﹣3　 ，x2＝　﹣4　 ； （2）若十字分式方程，的两个解分别为x1＝m，x2＝n，求的值； （3）若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为x1，x2（k＞0，且x1＞x2），求的值． 【举一反三】 1．增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值． 阅读以上材料后，完成下列探究： 探究1：m为何值时，方程5有增根． 探究2：m为何值时，方程5的根是﹣1． 探究3：任意写出三个m的值，使对应的方程5的三个根中两个根之和等于第三个根； 探究4：你发现满足“探究3”条件的m1、m2、m3的关系是 　 ． 2．材料1：我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和，例如：，． 材料2：为了研究字母x和分式的值的变化关系，小明制作了如下表格： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … … ﹣2 ﹣3 ﹣6 无意义 6 3 2 … 请根据上述材料完成下列问题： （1）随着x值的变化，分式的值是如何变化的？ （2）当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是　 　 ． （3）当0≤x≤2时，求代数式的范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18章《分式》专项复习中考真题链接及3大考点12种题型 第一部分 2025中考真题链接 1．（2025•淄博）若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠﹣1且x≠2 B．x≠﹣1且x≠3 C．x≠2且x≠3 D．x≠﹣1且x≠2且x≠3 【分析】根据分式有意义的条件和除法法则求解即可． 【解答】解：根据已知得，x+1≠0且x﹣3≠0且x﹣2≠0， 所以x≠﹣1且x≠2且x≠3． 故选：D． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键． 2．（2025•南充）已知2，则的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【分析】根据，可得a＝2bc，b＝2ac，c＝2ab，从而得到a2＝2abc，b2＝2abc，c2＝2abc，然后代入化简即可． 【解答】解：∵， ∴a＝2bc，b＝2ac，c＝2ab， ∴a2＝2abc，b2＝2abc，c2＝2abc， ∴6， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，分式的化简求值，掌握比例的性质，分式的化简求值是解题的关键． 3．（2025•西宁）下列运算正确的是（　　） A．（﹣3）﹣2＝9 B．24÷20＝8 C．（5×103）×（4×102）＝2×106 D．（﹣2×102）3＝8×106 【分析】根据实数的运算法则进行计算即可． 【解答】解：A．（﹣3）﹣2，故A选项错误； B.24÷20＝24＝16，故B选项错误； C．（5×103）×（4×102）＝5×103×4×102＝20×105＝2×106，故C选项正确； D．（﹣2×102）3＝（﹣2）3×（102）3＝﹣8×106，故D选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了实数的运算，掌握运算法则是解题的关键． 4．（2025•潍坊）计算的结果是（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D． 【分析】先对分式进行通分，再按同分母分式相加减的法则，进行计算，最后进行约分，得到结果． 【解答】解：原式 ＝﹣1， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 5．（2025•常州）若使分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠﹣1 B．x＝﹣1 C．x≥﹣1 D．x＞﹣1 【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，x+1≠0， 解得x≠﹣1． 故选：A． 【点睛】从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义⇔分母为零； （2）分式有意义⇔分母不为零； （3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 6．（2025•贵州）若分式的值为0，则实数x的值为（　　） A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣3 【分析】根据分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，进行求解即可． 【解答】解：由题意，得：x﹣2＝0且x+3≠0， 解得：x＝2， 故选：A． 【点睛】本题考查分式的值为0的条件，掌握其性质是解题的关键． 7．（2025•天津）计算的结果等于（　　） A． B． C． D．1 【分析】先把分式进行通分，再根据同分母分式相加法则进行计算，然后约分即可． 【解答】解：原式 ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握分式的通分与约分． 8．（2025•威海）下列运算正确的是（　　） A．b3+b2＝b5 B．（﹣2b2）3＝﹣6a6 C．bb D．（﹣b）3÷（﹣b2）＝b 【分析】利用分式的乘除法，合并同类项，积的乘方，同底数幂除法法则逐项判断即可． 【解答】解：b3与b2不是同类项，无法合并，则A不符合题意， （﹣2b2）3＝﹣8b6，则B不符合题意， bb••，则C不符合题意， （﹣b）3÷（﹣b2）＝b，则D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查分式的乘除法，合并同类项，积的乘方，同底数幂除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 9．（2025•潍坊）计算：（﹣2）0﹣3﹣1＝　　 ． 【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【解答】解：（﹣2）0﹣3﹣1 ＝1 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． 10．（2025•山东）写出使分式有意义的x的一个值　2（答案不唯一）　 ． 【分析】根据分式有意义的条件求得x的取值范围，然后写出一个符合题意的x的值即可． 【解答】解：若分式有意义， 则2x﹣3≠0， 那么x≠1.5， 因此x＝2， 故答案为：2（答案不唯一）． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握其有意义的条件是解题的关键． 11．（2025•绥化）计算：1　　 ． 【分析】根据分式除法的运算法则先算除法，再通分计算减法即可． 【解答】解：原式＝1 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算． 12．（2025•北京）已知a+b﹣3＝0，求代数式的值． 【分析】由已知条件易得a+b＝3，将原式变形后代入数值计算即可． 【解答】解：∵a+b﹣3＝0， ∴a+b＝3， ∴原式 ． 【点睛】本题考查分式的值，将原式进行正确地变形是解题的关键． 13．（2025•大庆）先化简，再求值：，其中x＝3． 【分析】先化简分式，再代入x的值计算即可． 【解答】解： ＝x﹣1， 当x＝3时，原式＝2． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的化简是解题的关键． 14．（2025•滨州）已知A＝x+y，B＝x2﹣y2，C． （1）若，求C的值； （2）当y＝1，且3C为整数时，求x的整数值． 【分析】（1）根据分式的基本性质进行计算即可； （2）先用x表示3C，再结合3C为整数，求出整数x的值即可． 【解答】解：（1）由题知， 因为， 所以， 则． 所以C ； （2）当y＝1时， 3C， 因为3C为整数， 则x﹣1＝±1或±3， 所以整数x的值为0或2或﹣2或4． 因为x≠0且x≠1， 所以整数x的值为2或﹣2或4． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟知分式的基本性质是解题的关键． 15．（2025•西宁）先化简，再求值：，其中m满足m（m+4）＝﹣4． 【分析】利用分式的混合运算化简，解一元二次方程，代入化简后的分式求值． 【解答】解：m（m+4）＝﹣4， 解得，m1＝m2＝﹣2， ＝﹣4． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程，解题的关键是掌握分式的混合运算和一元二次方程的解法． 16．（2025•青海）先化简，再从﹣2，0，1中选一个合适的数代入求值． 【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算得到答案． 【解答】解：原式＝（）• • ＝a﹣2， 由题意得：a≠±2， 当a＝0时，原式＝0﹣2＝﹣2， 当a＝1时，原式＝1﹣2＝﹣1． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 17．（2025•眉山）先化简，再求值：（）．其中x、y满足（x+2）2+|y﹣1|＝0． 【分析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，根据偶次方、绝对值的非负性分别求出x、y，代入计算即可． 【解答】解：原式＝[]• • ， ∵（x+2）2+|y﹣1|＝0， ∴x+2＝0，y﹣1＝0， ∴x＝﹣2，y＝1， ∴原式1． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 第二部分 题型典例+举一反三 【考点1 分式】 题型一 分式有无意义及值为0的条件 【典例1】（2022春•江北区校级期末）当x　＝1　 时，分式的值为0；若分式有意义，则x的取值范围是x≠﹣5　 ． 【分析】分式的值为0的条件为分子等于0且分母不等于0；分式有意义的条件是分母不等于零． 【解答】解：若分式的值为0，则x﹣1＝0，且x+1≠0， 解得x＝1； 若分式有意义，则x+5≠0， 解得x≠﹣5， 故答案为：＝1；x≠﹣5． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件：分母不等于零．解题时注意：分式的值为0的条件为：分子等于0且分母不等于0． 【举一反三】 1．（2025秋•潍坊期中）无论x取什么值时，下列各式一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分式有意义即分母不为0，由此解答即可． 【解答】解：A、当x＝0时，分式无意义，故此选项不符合题意； B、∵x2≥0，∴x2+1＞0，∴无论x取什么值时，分式一定有意义，故此选项符合题意； C、当x＝1时，分式无意义，故此选项不符合题意； D、当x＝±1时，分式无意义，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 2．（2024秋•游仙区期末）已知x＝﹣2时，分式无意义，则□可以是（　　） A．2﹣x B．x﹣2 C．2x+4 D．x+4 【分析】当x＝﹣2时分式无意义，可知分母□的值应为0，再分别求出各选项的值即可得出答案． 【解答】解：当x＝﹣2时分式无意义， 所以分母□的值应为0， 当x＝﹣2时，2﹣x＝2﹣（﹣2）＝2+2＝4≠0，A选项不符合题意； x﹣2＝﹣2﹣2＝﹣4≠0，B选项不符合题意； 2x+4＝2×（﹣2）+4＝﹣4+4＝0，C选项符合题意； x+4＝﹣2+4＝2≠0，D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分式有意义的条件是分母不等于零． 3．当x＝﹣a时，分式（　　） A．值为0 B．无意义 C．当a时，值为0 D．当a时，值为0 【分析】当x＝﹣a时，分子x+a＝0，再保证分式有意义可得，进而可得答案． 【解答】解：当x＝﹣a时，x+a＝0， 当2x+1＝﹣2a+1≠0，即时，分式值为0． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，以及分式的值为零，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 4．（2025秋•蓬莱区期中）若分式的值为0，则x的值为　1　 ． 【分析】利用分式值为零则有，然后求解即可． 【解答】解：由条件可知， 解得x＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查分式值为零的条件，熟知分式值为0时要满足的条件是解题的关键． 5．（2025秋•新乐市期中）已知当x＝﹣2时，分式无意义；当x＝1时，此分式的值为0． （1）求a，b的值． （2）当分式的值为正整数时，求出整数x的值． 【分析】（1）根据﹣2+a＝0使得分式无意义，1﹣b＝0时分式的值为0，即可解得； （2）将a＝2，b＝1代入，得到分式为，逐一代入整数x的值即可求解． 【解答】解：（1）由条件可知﹣2+a＝0， 解得a＝2， ∵当x＝1时，此分式的值为0， ∴1﹣b＝0， 解得b＝1； （2）由条件可知， 当x＝0，2， x＝1，1， 综上，整数x的值为0，1． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的计算，熟练掌握分式有意义的条件和分式的计算是解题的关键． 题型2分式的基本性质 【典例2】（2025秋•潍坊期中）下列各式的变形，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】判断分式变形是否正确．根据分式的性质进行逐项分析，即可作答． 【解答】解：根据分式的性质逐项分析判断如下： A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的性质，熟练掌握该知识点是关键． 【举一反三】 1．（2025•翠屏区校级三模）已知：（x、y、z均不为零），则　3　 ． 【分析】本题可设x＝6k，y＝4k，z＝3k，将其代入分式即可． 【解答】解：设x＝6k，y＝4k，z＝3k，将其代入分式中得：3． 故答案为3． 【点睛】此类题可根据分式的基本性质先用未知数表示出x，y，z，然后再计算所求的分式的值． 2．（2025秋•长春校级期中）利用分式基本性质变形可得，则整式A＝x+1　 ． 【分析】根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【解答】解：， ∴A＝x+1， 故答案为：x+1． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 3．（2025秋•通州区校级期中）如果分式中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．缩小为原来的 B．不变 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的9倍 【分析】根据分式的基本性质进行计算即可． 【解答】解：由题意得：， ∴如果把分式中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值缩小为原来的， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 题型3 分式在规律问题中的运用 【典例3】（2024春•元阳县期末）按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（　　） A． B． C． D． 【分析】通过观察可得规律：第n个分式的分子是2nxn，第n个分式的分母是y2n，即可得到第n个分式． 【解答】解：∵第1个分式的分子是1×2x， 第2个分式的分子是2×2x2， 第3个分式的分子是3×2x3， ⋯； ∴第n个分式的分子是2nxn； ∵第1个分式的分母是y2×1， 第2个分式的分母是y2×2， 第3个分式的分母是y2×3， ⋯； ∴第n个分式的分母是y2n， ∴第n个分式是， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的变化规律，分别根据分子，分母所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键． 【举一反三】 1．（2023春•铜仁市期末）小苗探究了一道有关分式的规律题，，，，，，　　 ，，…，请按照此规律在横线上补写出第6个分式． 【分析】利用给出的式子的每一项和项数的关系，找到规律，即每一项的分母中的常数都是项数的2倍加1，分子都是前两个分式分子和得答案． 【解答】解：由给出的式子的特点， 即每一项的分母中的常数都是项数的2倍加1，分子都是前两个分式分子和， 由此可得第6个式子是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了归纳推理，这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理成为归纳推理． 2．（2024春•花溪区校级期中）已知一列分式：，，，，，．观察其规律，知第n个分式是 　（﹣1）n+1•　 ． 【分析】分别找出分子指数、分母指数及分式符号的规律，进而得出答案． 【解答】解：分子的指数的规律为：12+1，22+1，32+1，42+1，52+1，62+1⋯n2+1， 分母的指数的规律为：，，，，，⋯， 分式的符号规律为：（﹣1）n+1． 则第n个分式是（﹣1）n+1•． 故答案为：（﹣1）n+1•． 【点睛】本题主要考查规律型：数字的变化类，找到规律是解题的关键． 3．（2025春•滁州期末）观察下列等式：a1＝n，a2＝1，a3＝1，a4＝1，…根据其蕴含的规律可得（　　） A．a2016＝n B．a2016 C．a2016 D．a2016 【分析】根据题意分别用含n的式子表示出a1、a2、a3、a4，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答． 【解答】解：∵a1＝n， a2＝11， a3＝11， a4＝11+n﹣1＝n， ∴这一列数每3个数为一周期， ∵2016÷3＝672， ∴a2016＝a3， 故选：D． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键． 【考点2 分式的运算】 题型4 分式的混合运算 【典例4】（2025秋•通州区校级期中）计算． 【分析】根据去括号的法则直接求解即可． 【解答】解： ． 【点睛】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去掉括号． 【举一反三】 1．（2025秋•诸城市校级月考）计算（约分）： （1）； （2）； （3）4a2b÷（6ab2）； （4）（3x2+x）÷（x2﹣x）． 【分析】（1）分子分母都约去公因式5a2bc即可； （2）先把分子分母因式分解，然后分子分母都约去公因式（a﹣2b）即可； （3）先写成分式的形式，然后分子分母都约去公因式2ab即可； （4）先写成分式的形式，再把分子分母因式分解，然后分子分母都约去公因式x即可． 【解答】解：（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【点睛】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． 2．（2025春•利辛县月考）下列通分是否合理？若不合理，请改正． （1）； 解：， ． （2）． 解， ． 【分析】（1）根据通分的方法进行判断，然后再题目中的式子通分即可； （2）根据通分的方法进行判断，然后再题目中的式子通分即可． 【解答】解：（1）原式通分不合理， 改正：， ； （2）原式通分不合理， 改正：，． 【点睛】此题考查了分式的通分，解答本题的关键是明确分式通分的方法． 3．（2025秋•裕华区校级期中）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （2）先进行同分母的加减运算，再把分子因式分解，然后约分即可． 【解答】解：（1）原式• ； （2）原式 ＝a﹣b． 【点睛】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 4．（2025秋•莱阳市期中）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （2）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【解答】解：（1）原式•• y； （2）原式• • • ． 【点睛】本题考查分式的混合运算：分式的混合运算一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 题型五5 分式的化简求值 【典例5】（2025秋•蓬莱区期中）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣3＝0． 【分析】先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：原式• • • ， ∵x2﹣2x﹣3＝0， ∴x2﹣2x＝3， ∴原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式；解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法． 【举一反三】 1．（2025秋•长寿区校级期中）先化简，再求值：，其中（）﹣1． 【分析】先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后根据算术平方根的定义和负整数指数幂的意义计算出a＝2，最后丫a的值代入计算即可． 【解答】解：原式 • ， 当a＝4﹣2＝2，原式1． 【点睛】本题考查了分式的化简求值：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．也考查了实数的运算． 2．（2025秋•江津区校级期中）先化简，再求值：，其中x＝（π﹣3）0+2﹣1． 【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分后进行乘式的乘法运算得到原式＝﹣3x﹣1，然后求出x＝3，代入计算即可． 【解答】解：原式•（x+1）（x﹣1）﹣（x+1）2 ＝x（x﹣1）﹣（x+1）2 ＝x2﹣x﹣x2﹣2x﹣1 ＝﹣3x﹣1， 当x＝（π﹣3）0+2﹣1＝1时， 原式＝﹣31． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 3．（2025秋•池州期末）先化简，再求值：（x），其中x，且x是整数． 【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后选取使得原分式有意义的x的整数值代入化简后的式子即可解答本题． 【解答】解：（x） ， ∵x，且x是整数，x≠0且（x+2）（x﹣2）≠0， ∴x＝﹣1或1， ∴当x＝1时，原式， 当x＝﹣1时，原式1． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 4．（2025•石狮市模拟）先化简，再求值：，其中． 【分析】先根据分式运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入，计算即可． 【解答】解：原式＝（） ， 当时， 原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 5．（2025春•金沙县期末）下面是小华化简分式的过程： 解：原式.第一步 第二步 第三步 （1）小华的化简过程从第　二　 步开始出现错误； （2）请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值． 【分析】（1）根据分式混合运算的法则即可得出结论； （2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可． 【解答】解：（1）由解题过程可知，第二步出现错误， 故答案为：二； （2）原式 • • ＝x+2． ∵x﹣2≠0，x﹣3≠0， ∴x≠2，3， ∴当x＝4时，原式＝4+2＝6； 当x＝5时，原式＝5+2＝7． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 6．（2025秋•五华县期中）先化简，再求值：，其中m满足m2﹣m﹣1＝0． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据m2﹣m﹣1＝0得出m2＝m+1，代入代数式进行计算即可． 【解答】解： ， ∵m2﹣m﹣1＝0， ∴m2＝m+1， ∴原式 ＝1． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 题型6 整数指数幂的运算 【典例6】（2025秋•碧江区 校级月考）已知，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＝b＞c 【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方运算法则进行计算，从而作出比较． 【解答】解：根据负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方运算法则可得： ，b＝（﹣3）2＝9，c＝90＝1， ∴a＝b＞c， 故选：D． 【点睛】本题考查负整数指数幂，零指数幂，有理数大小比较，熟练掌握以上知识点是关键． 【举一反三】 1．（2025秋•浦东新区校级期中）人体一根头发的直径约为0.000052米，将数字0.000052用科学记数法表示为（　　） A．0.52×10﹣4 B．52×10﹣6 C．5.2×10﹣6 D．5.2×10﹣5 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：0.000052＝5.2×10﹣5． 故选：D． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2．（2025秋•沙坪坝区校级期中）下列四个数中，最小的是（　　） A．1.12×10﹣5 B．1.22×10﹣5 C．1.12×10﹣6 D．1.22×10﹣6 【分析】科学记数法表示的数比较大小，先比较10的指数部分，指数越小数值越小；若指数相同，则比较系数部分，系数越小数值越小． 【解答】解：根据题意可知，10﹣6＜10﹣5， ∴选项C和D的数值均小于选项A和B， 又∵1.12＜1.22， ∴1.12×10﹣6＜1.22×10﹣6， 故最小的是1.12×10﹣6，符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，科学记数法﹣表示较小的数，掌握相应的运算法则是关键． 3．（2025秋•福州期中）若（x﹣3）0＝1，则x满足的条件是（　　） A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x＝3 【分析】根据零指数幂a0＝1（a≠0）解答即可． 【解答】解：若（x﹣3）0＝1，则x﹣3≠0， 解得x≠3， 故选：C． 【点睛】本题考查了零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．（2025秋•乌鲁木齐校级期中）若等式（x﹣2）2x＝1，则x的值为（　　） A．0 B．1 C．0或1 D．以上都不对 【分析】非0数的零指数幂为1和1的任何次幂都为1，﹣1的偶次幂为1，分析求解． 【解答】解：∵（x﹣2）2x＝1， ∴x＝0时，原式＝1， 当x﹣2＝1时，x＝3，此时（x﹣2）2x＝16＝1， 当x﹣2＝﹣1时，x＝1，此时（x﹣2）2x＝（﹣1）﹣2＝1， 综上所述：x的值为3或1或0． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了零次幂，关键是掌握零指数幂和1的任何次幂都为1，以及﹣1的偶次幂为1． 题型7 分式运算的实际应用 【典例7】（2022秋•沙依巴克区校级期末）甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买800kg，乙每次用去600元，设两次购买的面粉单价分别为a元/kg和b元/kg（a，b是正数，且a≠b），那么甲所购面粉的平均单价是　　 元/kg，乙所购面粉的平均单价是　　 元/kg；在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为　　 元/kg．（结果用含a，b的代数式表示，需化为最简形式） 【分析】根据题意可用含a，b的代数式表示出平均单价，根据总价除以总重量即可求得，进而根据甲的单价减去乙的单价进而求得其差值． 【解答】解：由题意可得，甲购买面粉的平均单价是：（元/kg）， 乙购买面粉的平均单价是：（元/kg）， 在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为：（元/kg）， 故答案为：；；． 【点睛】本题考查了列代数式，分式的减法运算，理解题意列出代数式是解题的关键． 【举一反三】 1．（2024秋•海拉尔区期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为m米（m＞1）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（m﹣1）米的正方形，两块试验田的小麦都收获了n千克．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为P千克/米2和Q千克/米2．下列说法： ①P＞Q；②P＝Q；③P＜Q；④P是Q的倍．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】先利用平均数的定义得到P，Q，再计算P﹣Q额，从而可得到正确答案． 【解答】解：根据题意得P，Q， ∴P﹣Qn•， ∵m＞1， ∴（m+1）（m﹣1）2＞0， ∴P﹣Q＜0， 即P＜Q，所以③正确； ∵•， ∴PQ，所以④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．利用求差法比较代数式的大小是解决问题的关键． 2．（2024春•埇桥区期末）一项工程，甲单独做a小时完成，乙单独做b小时完成．甲、乙两人一起完成这项工程所需的时间为 　　 小时． 【分析】甲单独做可完成工程总量的，乙单独做可完成工程总量的，二人合作可完成工程总量的．工程总量除以二人合作完成工程量即可得出二人合作完成该工程所需时间． 【解答】解：设该工程总量为1．二人合作完成该工程所需时间＝1÷（）＝1． 【点睛】本题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系． 题型8 分式的条件求值 【典例8】（2024秋•张店区期中）【阅读学习】阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知x≠0，所以，即， 所以32﹣2＝7，故的值为． 【类比探究】 （1）上题的解叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：已知，求的值． 【拓展延伸】 （2）已知，，，求的值． 【分析】（1）利用“倒数法”取已知等式的倒数，整理得到x；将所求分式取倒数，利用配方法和整体代入的方法求得式子的值，最后取倒数即可得出结论； （2）将已知三个等式的左右两边分别相加得到的值，将所求的分式取倒数计算出结果，利用（1）中的方法即可得出结论． 【解答】（1）由 2知x≠0，所以， 即：x3． ∴x． ∴ ＝x25 ＝（x）2﹣2+5 ＝（）2﹣2+5 ． 故的值为． （2）∵abc≠0， ∴， ∵，，， ∴2（）， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了分式的加减法，倒数的意义，分式的乘除法，配方法，本题是阅读型题目，理解并熟练运用题干中的解题思想与方法是解题的关键． 【考点3 分式方程】 题型8 解分式方程 【典例8】（2024春•方城县月考）解方程，去分母时，两边同乘x﹣1后的式子为（　　） A．1+2＝2x（1﹣x） B．x﹣1+2＝﹣x C．1+2（x﹣1）＝﹣x D．1+2（x﹣1）＝1﹣x 【分析】先把分式方程同时乘上最简公分母（x﹣1），再与每个选项作对比，即可作答． 【解答】解：∵解方程，去分母时两边同乘x﹣1， ∴1+2（x﹣1）＝﹣x， 故选：C． 【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． 【举一反三】 1．（2024•河北一模）若分式与的值相等，则m的值不可能是（　　） A．﹣3 B．0 C．﹣1 D．﹣2 【分析】根据题意得，解得x＝﹣m，再根据分式有意义的条件，得出x≠1，即﹣m≠1，求解即可． 【解答】解：由题得：， 解得x＝﹣m． 又∵x≠1， ∴﹣m≠1，则m≠﹣1． 故选：C． 【点睛】本题考查解分式方程及分式有意义的条件，解答本题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． 2．（2025•高州市二模）方程的解为（　　） A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝3 D．无解 【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：原方程去分母得：（x+2）2﹣16＝（x+2）（x﹣2）， 整理得：4x﹣12＝﹣4， 解得：x＝2， 经检验，x＝2是分式方程的增根， 即原方程无解， 故选：D． 【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 题型10 利用分式方程的解的情况确定字母的值或取值范围 【典例10】（2025秋•汤原县期中）若关于x的分式方程有解，则m的值为（　　） A．m≠4且m≠﹣6 B．m≠﹣4且m≠﹣6 C．m≠1且m≠﹣4且m≠6 D．m≠1且m≠4且m≠6 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有解确定出m的范围即可． 【解答】解：去分母得：2（x+2）+mx＝3（x﹣2） 整理得，（m﹣1）x＝﹣10， ∵分式方程 有解， ∴m﹣1≠0且x﹣2≠0且x+2≠0， ∴m≠1且且， ∴m≠1且m≠﹣4且m≠6， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的解，关键是掌握分式方程的解法． 【举一反三】 1．（2025秋•吴中区期中）已知关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≥﹣6且m≠﹣3 B．m≥﹣6 C．m≤﹣6 D．m≤﹣6且m≠﹣3 【分析】先解分式方程得出x＝m+6，根据分式有意义的条件x﹣3≠0和方程的解为非负数，即可得出m的取值范围． 【解答】解：原方程去分母得x﹣2（x﹣3）＝﹣m， 去括号得x﹣2x+6＝﹣m， 移项，合并同类项得﹣x＝﹣m﹣6， 化系数为1，得x＝m+6， ∵x﹣3≠0， ∴m+6≠3，即m≠﹣3， ∵分式方程的解为非负数， ∴m+6≥0，解得m≥﹣6， ∴m≥﹣6且m≠﹣3． 故选：A． 【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握分式方程的解法以及分式有意义的条件是解题的关键． 2．（2025秋•青龙县期中）关于x的分式方程的解是x＝2，那么k的值是（　　） A．4 B．2 C． D． 【分析】根据分式方程的解的定义，把x＝2代入原方程中解得k的值即可． 【解答】解：∵关于x的分式方程的解是x＝2， ∴， 即k， 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键． 3．（2025秋•正定县期中）如果关于x的分式方程5无解，那么实数k的值是　1　 ． 【分析】将原方程去分母得x﹣5+k＝5x﹣20，整理得4x＝15+k，若方程无解，那么它有增根x＝4，代入4x＝15+k即可求解． 【解答】解：原方程去分母得x﹣5+k＝5x﹣20， 整理得4x＝15+k， 若方程无解，那么它有增根x＝4， 则15+k＝16， 解得：k＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查分式方程的解，理解其意义是解题的关键． 4．（2025•龙江县二模）已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围是（　　） A．a＜﹣4 B．a≤﹣4 C．a＞﹣4且a≠﹣1 D．a≥﹣4且a≠﹣1 【分析】先把分式方程转化为整式方程求出用含有a的代数式表示的x，根据x的取值求a的范围． 【解答】解：方程可化为， a﹣（x﹣3）＝﹣1， a﹣x+3＝﹣1， ﹣x＝﹣4﹣a， 解得：x＝a+4， ∵原分式方程的解为正数， ∴x＞0且x≠3， 即a+4＞0且a+4≠3， 解得：a＞﹣4且a≠﹣1． 故选：C． 【点睛】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，掌握相应的运算法则是关键． 5．（2025春•合肥校级期末）数学课上，李老师在黑板上写了关于x的分式方程，让同学们讨论该分式方程的解．A同学说：当m＜﹣5时，方程的解为负数；B同学说：当m＞﹣5时，方程的解为正数．关于两位同学的说法，正确的是（　　） A．A，B同学都答对 B．A，B同学都答错 C．只有A同学答对 D．只有B同学答对 【分析】解分式方程，分析解的符号，判断两位同学的说法是否正确． 【解答】解：解分式方程得：x＝m+5， 当m＜﹣5时，x＝m+5＜0，解为负数，A同学说法正确； 当m＞﹣5时，x＝m+5＞0且m≠0时，解为正数，B同学说法错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了解分式方程，解题关键是掌握解分式方程的方法． 6．（2025秋•池州期末）阅读：对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为x（a+b），所以关于x的方程xa+b有两个解，分别为x1＝a，x2＝b． 应用上面的结论解答下列问题： （1）方程xq的两个解分别为x1＝﹣2，x2＝3，则p＝　﹣6　 ，q＝　1　 ； （2）方程x3的两个解分别为x1＝a，x2＝b，求a4+b4的值； （3）关于x的方程2x2n的两个解分别为x1、x2（x1＜x2），求的值． 【分析】（1）根据题意可知p＝x1•x2，q＝x1•x2，代入求值即可； （2）根据题意可知a+b＝3，ab＝﹣2，再将a4+b4根据完全平方公式变形为（a2+b2）2﹣2a2b2＝[（a+b）2﹣2ab]2﹣2（ab）2，代入求值即可； （3）将方程2x2n变形为：2x+1n﹣1+n+2，然后再根据这种特定形式下方程的解求值即可； 【解答】解： （1）∵关于x的方程xa+b有两个解，分别为x1＝a，x2＝b． 方程xq的两个解分别为x1＝﹣2，x2＝3， ∴p＝x1•x2＝﹣2×3＝6 q＝x1•x2＝﹣2+3＝1 故答案为﹣6，1． （2）方程x3的两个解分别为x1＝a，x2＝b，则a+b＝3，ab＝﹣2 a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2 ＝[（a+b）2﹣2ab]2﹣2（ab）2 把a+b＝3，ab＝﹣2代入上式得： a4+b4＝161 答：a4+b4的值是161． （3）2x2n可变形为： 2x+1n﹣1+n+2 根据题意可得：2x+1＝n﹣1或2x+1＝n+2 即 x1，x2．（x1＜x2） 代入1 答：求的值是1． 【点睛】本题考查分式方程的解相关知识点，属于一道阅读型的题目，有一定难度，尤其是（3）题，需要将原方程进行变形，目的是更加贴合题目中的特定形式，这种变形后再计算的方法在一些难度稍大的数学题种常见，需要多加注意． 7．（2025春•资中县期中）对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则x＝m或x＝n．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为x1＝m，x2＝n． 应用上面的结论解答下列问题： （1）方程有两个解，分别为x1＝　1　 ，x2＝　6　 ； （2）关于x的方程的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），若x1与x2互为倒数，则x1＝　　 ，x2＝　2　 ； （3）关于x的方程的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求x1﹣x2的值． 【分析】（1）方程变形后，利用题中的结论确定出方程的解即可； （2）方程变形后，根据利用题中的结论，以及x1与x2互为倒数，确定出x1与x2的值即可； （3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为x1、x2，代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：（1）∵1×6＝6，1+6＝7， ∴方程有两个解， 分别为x1＝1，x2＝6， 故答案为：1，6； （2）， 方程变形得：， 由题中的结论得：有两个解，分别为，x2＝2， ∵x1与x2互为倒数， ∴， 故答案为：，2； （3）， 方程整理得，， 得3x﹣1＝n 或3x﹣1＝n﹣1，且x1＜x2， 可得，， ∴． 【点睛】此题考查了分式方程的解，掌握分式的性质，弄清题中的规律是解本题的关键． 题型11 利用分式方程解决实际问题 【典例10】（2024秋•罗庄区期末）2023年10月1日，杭州亚运会田径铁饼赛场上，世界首次使用机器狗送铁饼．赛场上运铁饼的“小狗”，成了“显眼包”．某次运铁饼过程中，甲机器狗比乙机器狗每秒多跑0.5米，甲机器狗跑135米与乙机器狗跑120米所用时间相等．问乙机器狗这次运铁饼的速度是多少？ （1）小佳同学设乙机器狗这次运铁饼的速度是xm/s，可列方程为．小琪同学设甲机器狗这次运铁饼的所用时间是ys，可列方程为． （2）请你按照（1）中小佳同学的解题思路，写出完整的解答过程． 【分析】（1）设乙机器狗这次运铁饼的速度是xm/s，则甲机器狗这次运铁饼的速度是（x+0.5）m/s，依题意得，；设甲机器狗这次运铁饼的所用时间是ys，依题意得，； （2）解分式方程，然后作答即可． 【解答】解：（1）设乙机器狗这次运铁饼的速度是xm/s，则甲机器狗这次运铁饼的速度是（x+0.5）m/s， 依题意得，； 设甲机器狗这次运铁饼的所用时间是ys， 依题意得，， 故答案为：，； （2）， 135x＝120（x+0.5）， 解得，x＝4， 经检验，x＝4是原分式方程的解， ∴乙机器狗这次运铁饼的速度是4m/s． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 【举一反三】 1．（2024秋•唐县期末）如下是学习“分式方程应用”时，老师板书的例题和两名同学所列的方程． 例：有甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等、乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度． 嘉嘉：． 洪洪：． 根据以上信息，解答下列问题． （1）嘉嘉同学所列方程中的x表示 　甲队每天修路的长度　 ； 淇淇同学所列方程中的y表示 　甲队修路400米所需时间（或乙队修路600米所需时间）　 ； （2）在嘉嘉和淇淇所列方程中任选一个，并直接写出其所列方程依据的等量关系： （3）解（2）中你所选择的方程，并解答该例题． 【分析】（1）根据所列方程，结合题意，进行作答即可； （2）根据所列方程，结合题意，进行作答即可； （3）解分式方程即可． 【解答】解：（1）由题意，得：嘉嘉同学所列方程中的x表示甲队每天修路的长度；淇淇同学所列方程中的y表示甲队修路400米所需时间（或乙队修路600米所需时间）； 故答案为：甲队每天修路的长度；甲队修路400米所需时间（或乙队修路600米所需时间）； （2）由题意，得： 嘉嘉用的等量关系是：甲队修路400米所用时间＝乙队修路600米所用时间； 淇淇用的等量关系是：乙队每天修路的长度﹣甲队每天修路的长度＝20米； （3）选嘉嘉的方程：， 解得x＝40； 经检验x＝40是原分式方程的解． 答：甲队每天修路的长度为40米． 【点睛】本题考查分式方程的应用．读懂题意，找准等量关系，正确的计算，是解题的关键． 2．（2025春•合肥期末）假期将至，某学校准备购买花卉装点校园，采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元，用800元购买B种花卉的数量是用320元购买A种花卉的数量的2倍． （1）小华同学列的方程是，你知道a代表什么吗？ （2）请你用不同于（1）中小华的方法，求用320元购买A种花卉的数量． （3）插花时，技术小组成员小明发现自己单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成（9﹣m）盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用的时间与完成10盆大盆栽所用的时间相同，求m的值． 【分析】（1）结合题意以及，易得a代表每枝A种花卉的单价，即可作答． （2）根据题意，列出分式方程，解得x＝16，最后要验根，即可作答． （3）根据完成35盆小盆栽所用的时间与完成10盆大盆栽所用的时间相同，得，解得m＝7，最后要验根，即可作答． 【解答】解：（1）∵每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元，用800元购买B种花卉的数量是用320元购买A种花卉的数量的2倍，且， ∴a代表每枝A种花卉的单价； （2）设用320元购买A种花卉的数量为x枝，则每枝A种花卉的单价为元，每枝B种花卉的单价为元， 依题意得：， 解得：x＝16， 经检验，x＝16是原分式方程的解，且符合题意， 答：用320元购买A种花卉的数量为16枝； （3）依题意，得：， 解得：m＝7， 经检验，m＝7是原分式方程的解，且符合题意． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 3．（2024秋•凤台县期末）如表是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和甲、乙两位同学不完整的解答过程． 张庄和李庄两地之间的路程是25km，嘉琪和爸爸二人都从张庄到李压，嘉琪骑自行车，爸爸骑摩托车．爸爸比嘉琪晚出发1h，却和嘉琪同时到达．已知爸爸的速度是嘉琪的速度的2.5倍，嘉琪和爸爸二人的速度各是多少？ 甲： 乙：设嘉琪的速度为ykm/h 根据以上信息，解答下列问题． （1）甲同学所列方程中的x表示 　嘉琪所用时间　 ； （2）根据乙同学设的未知数，列方程并解答． 【分析】（1）根据甲同学所列方程即可得到结论； （2）根据题意列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）甲同学所列方程中的x表示嘉琪所用时间； 故答案为：嘉琪所用时间； （2）设嘉琪的速度为ykm/h，则爸爸的速度为2.5xkm/h， 根据题意得，1， 解得y＝15， 经检验，y＝15是原方程的解， 答：嘉琪的速度为15km/h． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确地理解题意列出方程是解题的关键． 4．（2024春•奉贤区期末）“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店在世界读书日之际，计划购进A类和B类图书，因为A类图书每本进价比B类图书每本进价高60%，所以用960元购进A类图书的数量比用同样的费用购进B类图书的数量少12本． （1）求A、B两类图书每本的进价； 根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：，解得x＝30，经检验x＝30是原方程的解． 乙：，解得x＝20，经检验x＝20是原方程的解． 那么甲同学所列方程中的x表示 B类图书每本进价　 ，乙同学所列方程中的x表示 　购进A类图书的数量　 ． （2）按以上两类图书的进价，该书店用4500元购进A类图书m本及B类图书n本．然后将A类图书的售价定为每本52元，B类图书的售价定为每本40元，书店售完这一批次购进的两类图书共获利900元，那么书店分别购进了这两类图书多少本？ 【分析】（1）观察所列方程可知，甲同学所列方程中的x表示B类图书每本进价，乙同学所列方程中的x表示购进A类图书的数量； （2）结合（1）求出A类图书每本进价48元，B类图书每本进价30元；根据题意可得，即可解得答案． 【解答】解：（1）观察所列方程可知，甲同学所列方程中的x表示B类图书每本进价， 乙同学所列方程中的x表示购进A类图书的数量； 故答案为：B类图书每本进价，购进A类图书的数量； （2）由12可得x＝30， 经检验，x＝30是原方程的解， ∴1.6x＝1.6×30＝48， ∴A类图书每本进价48元，B类图书每本进价30元； 根据题意得：， 解得， ∴书店购进A类图书50本，B类图书70本． 【点睛】本题考查二元一次方程组和分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． 题型12 与分式方程有关的探究性问题 【典例11】（2024春•方城县月考）综合与探究 我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，∴x1＝1，x2＝3． 再如：为“十字分式方程”，可化为，∴x1＝﹣2，x2＝﹣4． 应用上面的结论，解答下列问题： （1）若为“十字分式方程”，则x1＝　﹣3　 ，x2＝　﹣4　 ； （2）若十字分式方程，的两个解分别为x1＝m，x2＝n，求的值； （3）若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为x1，x2（k＞0，且x1＞x2），求的值． 【分析】（1）类比题目中“十字方程”的答题方法即可求解． （2）结合运用“十字方程”得到mn＝﹣6，m+n＝﹣3，将变形为，整体代入即可求解； （3）将原方程变形为，结合运用“十字方程”得到x1＝3k﹣3，x2＝﹣k﹣8，代入即可求解． 【解答】解：（1）（1）可化为， ∴x1＝﹣3，x2＝﹣4． 故答案为：﹣3，﹣4； （2）由已知得mn＝﹣6，m+n＝﹣3， ∴； （3）解：原方程变为， ∴， ∵k＞0，且x1＞x2， ∴x1+3＝3k，x2+3＝﹣k﹣5， ∴x1＝3k﹣3，x2＝﹣k﹣8， ∴． 【点睛】本题为新定义问题，考查了分式方程的解，分式的加减运算，完全平方公式的变形求解，因式分解的应用等知识，理解新定义，并将方程或式子灵活变形是解题关键． 【举一反三】 1．增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值． 阅读以上材料后，完成下列探究： 探究1：m为何值时，方程5有增根． 探究2：m为何值时，方程5的根是﹣1． 探究3：任意写出三个m的值，使对应的方程5的三个根中两个根之和等于第三个根； 探究4：你发现满足“探究3”条件的m1、m2、m3的关系是m3＝m1+m2﹣15　 ． 【分析】解分式方程，根据方程有增根求得m的值即可，根据规律即可得出结论．第三问设方程的三根为a，b，c且a+b＝c，再求得对应的m．即可得出它们之间的关系． 【解答】解：探究1：方程两边都乘（x﹣3）， 得3x+5（x﹣3）＝﹣m ∵原方程有增根， ∴最简公分母（x﹣3）＝0， 解得x＝3， 当x＝3时，m＝﹣9， 故m的值是﹣9． 探究2：方程两边都乘（x﹣3）， 得3x+5（x﹣3）＝﹣m ∵原方程的根为x＝﹣1， ∴m＝23， 探究3：由（1）（2）得x， 方程的三个对应根为a，b，c且a+b＝c， 即可得出对应的m，m1＝15﹣8a，m2＝15﹣8b，m3＝15﹣8c， 探究4：∵a+b＝c， ∴， 整理得m3＝m1+m2﹣15， 故答案为m3＝m1+m2﹣15． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，解分式方程要验根，但解含有字母参数的分式方程不用验根． 2．材料1：我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和，例如：，． 材料2：为了研究字母x和分式的值的变化关系，小明制作了如下表格： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … … ﹣2 ﹣3 ﹣6 无意义 6 3 2 … 请根据上述材料完成下列问题： （1）随着x值的变化，分式的值是如何变化的？ （2）当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是　2　 ． （3）当0≤x≤2时，求代数式的范围． 【分析】（1）将原式变形后，根据表格数据即可求得答案； （2）将原式变形后，结合（1）中所得结论即可求得答案； （3）将原式变形后，代入数值计算即可． 【解答】解：（1）1， 由表格数据可得对于来说，当x＜0时或x＞0时，在对应的范围内随着x的增大，的值逐渐减小， 则对于来说，当x＜0时或x＞0时，在对应的范围内随着x的增大，的值逐渐减小； （2） ＝2， 当x大于2时，2的值无限趋近于2， 故答案为：2； （3）原式 ＝5， 当x＝0时，55， 当x＝2时，55﹣13＝﹣8， 则当0≤x≤2时，求代数式的范围为． 【点睛】本题考查分式的混合运算，将原式进行正确的变形是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $