精品解析：天津市和平区嘉诚中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

天津市嘉诚中学2025-2026学年度第一学期期中质量调查 高一年级数学学科 （时长：100分钟 总分：100分） 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共9小题，每小题3分，共27分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，.则（ ） A. 为真命题，命题的否定：， B. 为假命题，命题的否定：， C. 为真命题，命题的否定：， D. 为假命题，命题的否定：， 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于x的不等式的解集为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 6 9. 已知是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 函数的定义域为_____. 11. 已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为______. 12. 已知函数是定义在上的增函数．则实数的取值范围为________． 13. 函数的值域为_____. 14. 若实数，满足，则的最小值为___________. 15. 函数在上的最小值为，最大值是3，则的最大值为__________. 三、解答题：本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 设，，，. （1）求，的值及，； （2）求. 17. 已知集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，.现已画出函数在轴右侧的图象，如图所示. （1）画出函数在轴左侧的图象，根据图象写出函数在上的单调区间（不必写出过程）； （2）求函数在上的解析式， （3）结合图象解不等式. 19. 已知函数 （1）若不等式的解集为R，求实数a的取值范围； （2）若，求关于的不等式 的解集. 20. 已知函数. （1）证明：函数是奇函数； （2）用定义证明：函数在上是增函数； （3）若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市嘉诚中学2025-2026学年度第一学期期中质量调查 高一年级数学学科 （时长：100分钟 总分：100分） 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共9小题，每小题3分，共27分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集，并集的定义求解即得. 【详解】依题意， ，因为，所以. 故选：B. 2. 已知命题，.则（ ） A. 为真命题，命题的否定：， B. 为假命题，命题的否定：， C. 为真命题，命题的否定：， D. 为假命题，命题的否定：， 【答案】B 【解析】 【分析】先判断命题的真假，再根据存在量词命题的否定是全称量词命题得到命题的否定. 【详解】对方程，因为，所以方程无解. 故命题为假命题. 又因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以，命题的否定为：，. 故选：B 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式，然后根据充分不必要条件即可判断. 【详解】由，则， 可知“”是“”的充分不必要条件， 故选A 【点睛】本题主要考查充分不必要条件的含义，属于基础题. 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项分析即可. 【详解】对A，当时，，故A错误； 对B，，，故B正确； 对C，若，则，则，即，故C错误； 对D，当时，，则，故D错误. 故选：B 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和特殊值逐个排除即可. 【详解】，且函数定义域过于原点对称， 为奇函数，图象关于原点对称，故排除D， 又且时，，故排除C， 当时，，故排除A. 故选：B. 6. 已知关于x的不等式的解集为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的解集为可求得间的关系,再代入,化简根据分式不等式的方法求解即可. 【详解】因为不等式的解集为,故,且-2,3为的两根. 由根据韦达定理有,. 故即,故. 故选：D 【点睛】本题主要考查了二次不等式解集的区间端点与系数的关系,同时也考查了分式不等式的求解,属于中档题. 7. 已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数是奇函数且在单调递增，即可利用函数单调性解不等式. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且，所以. 因为函数在上单调递增，则该函数在上也单调递增， 当时，，由可得，解得； 当时，，由可得，可得，此时不存在； 当时，，由可得，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：A. 8. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】将分子的上乘以，得到，再利用重要不等式，化简即可. 【详解】因为，且，又， 所以， 当且仅当时取最小值，此时， 故所求为6. 故选：D. 9. 已知是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式构造函数，进而可以判断构造函数的单调性，结合二次函数的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以由 ， 构造函数，由， 因为，所以函数是上的增函数， 当时，函数是上的增函数，符合题意； 当时，函数的对称轴为：， 当时，显然函数是上的增函数，符合题意； 当时，要想函数是上的增函数，只需，而，所以， 综上所述：实数a的取值范围是， 故选：C 【点睛】关键点睛：由构造新函数是解题的关键. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 函数的定义域为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，解之即可求解. 【详解】由题意知，，解得或， 所以的定义域为. 故答案为： 11. 已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论. 【详解】解：幂函数在上单调递减， ，且，求得， 故答案为： 12. 已知函数是定义在上的增函数．则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先通过数形结合求出的单调区间，然后结合已知条件即可求解. 【详解】不妨令，其图像如下： 由图可知，在和上单调递增，且当时，则， 又因为是定义在上的增函数， 所以，解得， 从而实数的取值范围为. 故答案为：. 13. 函数的值域为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法（）可将原函数变形为，结合二次函数的图象与性质计算即可求解. 【详解】由，得，所以该函数的定义域为， 令，则， 所以， 是一条开口向下的抛物线，对称轴为， 所以该二次函数在上单调递减，且当时，， 所以， 即函数的值域为. 故答案为： 14. 若实数，满足，则的最小值为___________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用两次基本不等式，即可得出答案. 【详解】因为 所以 当且仅当即或时取“”. 故答案为：4. 15. 函数在上的最小值为，最大值是3，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将函数写成分段函数，画出函数图象，分别求出和时自变量的值，结合图象得到的最大值. 【详解】解：函数的图象如下， 当时，令，得舍，， 当时，令，得，舍， 结合图象可得 故答案为： 三、解答题：本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 设，，，. （1）求，的值及，； （2）求. 【答案】（1），，， （2） 【解析】 【分析】（1）根据，，可求的值，解方程可得集合. （2）根据集合的交集、并集的概念进行运算. 【小问1详解】 因为，所以， 由或，所以. 因为，所以， 由或，所以. 所以，，，，. 【小问2详解】 所以，所以 17. 已知集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或. （2）. 【解析】 【分析】（1）当时，分别求出，结合交集的概念即可得解； （2）由题意得，分是否是空集进行分类讨论，分别列出不等式即可求解. 【小问1详解】 由，得或， 由，得， 所以或. 【小问2详解】 由，得. ①当，即时，，满足，符合题意. ②当，即时，若满足，则有，解得. 综上所述，实数取值范围为. 18. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，.现已画出函数在轴右侧的图象，如图所示. （1）画出函数在轴左侧的图象，根据图象写出函数在上的单调区间（不必写出过程）； （2）求函数在上的解析式， （3）结合图象解不等式. 【答案】（1） 的单调增区间为，减区间为； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的图象关于y轴对称即可画出图形，结合图形即可得出函数的单调区间 （2）根据函数的奇偶性求解函数解析式即可； （3）原不等式可转化为或，结合图形解之即可. 【小问1详解】 如图， 由图可知，的单调增区间为，减区间为； 【小问2详解】 ， 当时，，， 又为偶函数，所以， 所以； 【小问3详解】 由，得或， 由图可解得或， 所以原不等式的解集为. 19. 已知函数 （1）若不等式的解集为R，求实数a的取值范围； （2）若，求关于的不等式 的解集. 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）运用数形结合法，可推得，求解即得； （2）将不等式整理成，结合，对进行分类讨论，即可求得不等式的解集. 【小问1详解】 因即的解集为R， 则 ，解得，即实数a的取值范围为. 【小问2详解】 不等式即， 整理得：，分解因式可得：，因， 则当时，，此时不等式的解集为； 当时，不等式为，则其解集为； 当时，，则不等式的解集为. 综上， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 20. 已知函数. （1）证明：函数是奇函数； （2）用定义证明：函数在上是增函数； （3）若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明：由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 又由， 所以函数为定义域上的奇函数. （2）证明：当时，， 任取，且， 可得 因为，且，可得，， 所以，即， 所以函数在上是增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和判定方法，即可可证； （2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）根据题意，得到函数为定义域上的奇函数，且为单调递增函数，不等式转化为对于任意实数恒成立，分和，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 因为函数为定义域上的奇函数，且在上是增函数， 所以函数在上也是增函数， 又因为，所以函数在上是增函数， 又由，可得， 因为不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 可得不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，，即实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $