4.1 线段、角、相交线与平行线-【一战成名新中考】2026江西中考数学·一轮复习·知识点精讲（讲册）

一战成名目 第四章 三角形 (每年2~7道，11~35分) 命题点1线段、角、相交线与平行线（必考） 要点①线段与直线 (1)两，点确定一条直线.生活中的应用如下图中的① (2)两，点之间，线段最短.生活中的应用如下图中的② 两个基本 事实 ● ● 木工师傅画直线 建筑工人砌直墙 墙上固定木条 弯曲河道改直 图1 图2 图3 图4 两点间 连接两，点之间的线段的长度 的距离 线段的 点M是线段AB的中点，AM=BM=③ AB 中点 AM B 点M、N是线段AB的三等分，点，AM=MN=NB=④ AB 线段的三 拿易错警示一条线段的三等分点有2个，遇到三等分，点时要AMNB 等分点 注意分类讨论 拓展(1)经过平面上n个点中的任意两点画直线，最多可画m,)条： 2 (2)一条线段上有(n≥2)个点（包括线段的两个端点），则线段的总条数为(m-1) 2； (3)n条直线，两两相交，交点最多有(m-1)个 2 对点练习 1.[新北师七上P113部分内容改编/新人教七上P165探究]如图，从学校 ④ ③ A到书店B有①，②，③，④四条路线，其中最短的路线是 选择该路线的依据是 ② ① 2.[新人教七上P167第4题改编]如图，B在线段AC上，且BC=2AB, 第1题图 D,E分别是AB,BC的中点.则下列结论：①AB=。AC;②B是AE的 3 中点：③FC=28D:④0E=4级其中正确的有 A.1个 B.2个 A D B E C.3个 D.4个 第2题图 48 知识，点精讲·江西数学 一战成名新中考 要点2角与角平分线(2022.16(1))》 度、分、秒 1周角=360°，1平角=180°，1°=⑤ ',1'=⑥ 的换算 余角 a+B=⑦ ,B互为余角，同角（等角）的余角⑧ 补角 a+B=⑨ →α，B互为补角，同角（等角）的补角⑩ 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线叫作这个 概念 像 角的平分线.如图，射线OC为∠AOB的平分线 A 平 1 M 性质 ∠AOB=2∠AOC=2∠B0C;∠AOC=∠B0C= ∠AOB 分 角平分线上的点到这个角的两边距离① 如图，PM= 线 定理 ② 逆定理 在一个角的内部，到这个角的两边距离③ 的点在这个角的平分线上 对点练习 3.[新人教七上P176第2题改编]如图，0是直线AB上一点，OD是 ∠AOC的平分线. (1)若OC⊥AB,则∠AOD= (2)若∠C0D=22°，则∠B0C= 第3题图 要点3相交线 (1)三线八角 ∠1与④ ,∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与⑤ 对顶角 对顶角的性质：对顶角相等 ∠1和∠3都与∠2，∠4互为邻补角；∠5和∠7都与∠6，∠8互为邻补 邻补角 角；邻补角的性质：互为邻补角的两个角之和等于180° 同旁内角 ∠2与∠5，∠3与⑥ ,结构特征：形如“U” 8 ∠1与⑦ ,∠2与∠6，∠4与⑧ ,∠3与9 6 同位角 结构特征：形如“F” 内错角 ∠2与20 ,∠3与∠5，结构特征：形如“Z” (2)垂线与垂线段 如图，当直线m和n相交所成的∠AOB=@ o时，m⊥n; 性质： 垂线 ①在同一平面内，与一条直线垂直的直线有②② 条； m ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短， 垂线段 如图，AP23 A0,AB2④ A0(P,B不与，点0重合，填“>” n PO B “<”或“=”) 点到直 直线外一点到这条直线的垂线段的长度.如图，点A到直线的距 线的距离离即巧 的长度 知识，点精讲·江西数学 49 (3)线段的垂直平分线 定义 经过一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离⑥ 定理 如图，直线1垂直平分线段AB于点O,点P,Q在直线1上，则PA 四 PB,QA28 OB 逆定理 到线段两个端点距离四 的，点在这条线段的垂直平分线上 对点练习 4.如图，直线AD,BE被直线BF和AC所截，则下列说法错误的是 A.∠1与∠2是同位角 B.∠3与∠4是内错角 C.∠4与∠5是同旁内角 D.∠1，∠5，∠3互为邻补角 60 A B C D 第4题图 第5题图 5.如图，点P是直线a外一点，A,B,C,D都在直线a上，PB⊥直线a于点B,则线段PA,PB, PC,PD中最短的是 要点4平行线（仅2025.13(2）) 平行公理 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 推论 平行于同一直线的两条直线平行，即若a/c,bc,则a仍 同位角30 判定 性质 ≥两直线平行； 性质与判定 内错角团 判定 性质 二两直线平行； 同旁内角② 性质两直线平行 平行线 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之 概念 之间的 间的距离 距离 性质 两条平行线之间的距离处处相等 对点练习 6.世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《准南万毕术》.书中记载了这样 的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”.现代潜望镜是在20世纪初发明的.如图 是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是 A.内错角相等，两直线平行 B.同旁内角互补，两直线平行 C.对顶角相等 第6题图 D.两点确定一条直线 50 知识点精讲·江西数学 一战成名新中考 7.[新人教七下P17第3题改编]将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置.若∠1=60°，则 ∠2的度数为 第7题图 要点⑤定义、命题与定理 定义 对名称和术语的含义加以描述，并作出明确的规定，也就是给出它们的定义 概念 判断一件事情的句子叫作命题.一般地，命题都是由条件和结论组成的 真命题 如果条件成立，那么结论一定成立的命题叫作真命题 命 题 假命题 如果条件成立，不能保证结论一定成立的命题叫作假命题 互逆 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结 命题 论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题 定理 有些命题，它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫作定理 要说明一个命题是假命题，可以举出一个例子，使其具备命题的条件，而不具备命 反例 题的结论，这样的例子称为反例 实验、观察、归纳得出的结论可能正确也可能不正确，因此，一个数学结论是否正 证明 确必须进行推理并作出判断，这个推理过程就叫作证明 适用于直接证明比较困难，情况多而复杂，但是否定比较简单的命题.用反证法证 明的步骤为： (1)反设：假定要证的结论不成立，而设结论的反面成立； 反证法 (2)归谬：将“反设”作为条件，经过正确推理，导出与定义、基本事实、定理或已知 条件产生矛盾的结论： (3)因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不 成立，那么结论一定成立 对点练习 8.下列说法，正确的是 A.相等的圆周角所对的弧相等是真命题 B.“若a>b,则a>b2”的逆命题是真命题 C.“矩形的4个角都是直角”与“4个角都是直角的四边形是矩形”不是互逆命题 D.用反证法证明“若ab=0,则a,b中至少有一个为0”时，第一步应假设a≠0，b≠0 温馨提示：请完成《分层作业本》P41-42 知识，点精讲·江西数学 51一战成名新中考 命题点8二次函数的图象与性质 a(x-2)2+k(a≠0)，将点C(0,8),B(8,0)代人， 要点 得 4a+k=8. ”②h③与+5 解得 b 4ac-b (36a+k=0 k=9. 2 ④(2a4a ）⑤(h,k) ⑥减小⑦增大⑧增大⑨减小①y轴①左 .抛物线的表达式为y=- 4(x-2)2+9, ②右B两个 1 对点练习 -<0 4 1.(1)经过格点E(2,3),描点画图略：(2)①下，x=1,(1, .当x=2时，y有最大值，最大值为9，即AD=9m. 4):②1，大，4：③<：>：= 答：该水流距水平面的最大高度AD为9m 203800-14(1)2:(2)2 5.3 解法二：根据题意，设抛物线的表达式为y=ax2+bx+8(a 6.2<y3<y17.(1)3,0:(2)4,0:(3)3,0 0), 命题点9 二次函数表达式的确定 202, 将点B(8,0)代人，结合- 及图象的变换 b 1 得 =2 a=- 要点 2a 解得 4 ①不变②不变③相反④不变⑤相反 64a+8b+8=0, b=1, 对点练习 1 “抛物线的表达式为y=一不+x+8= 4(x-2)2+9. 1.y=x2-1 2.y=2x2-4x+1:y=-2x2-4x-1;y=2x2+4x+1 其余同解法一 命题点10二次函数图象与性质的应用 答：该水流距水平面的最大高度AD为9m 要点 ①(x-2)②[50-(x-2)】③D④(30-10r) ①两个不相等②两个相等③没有④x<x,或x>x2 ⑤(20+x)⑥(300-10x)(20+x)⑦-10x2+100x+6000 ⑤x1<x<x2 ⑧0≤x≤30⑨5065①62502(300+20x) 对点练习 B(20-x)④(300+20x)(20-x）5-20x2+100x+6000 1.(1)x1=-1,x2=3:(2)x1=0,x2=2:(3)2: G0≤x≤20⑦当x=2.5时，y取得最大值，即定价为57.5 (4)-1<x<3:(5)x<0或x>2 元时，利润最大，最大利润为6125元 2.-3≤x≤1 ⑧：6250>6125，.当定价为65元，即涨价5元时利润最 命题点11二次函数的实际应用 大，最大利润为6250元 要点 【自主作答】解：解法一：根据题意，设抛物线的表达式为y= 第四章 三角形 命题点1线段、角、相交线与平行线 :∠0CE=∠0C1+∠ACE=7∠BCA+3LACD= 要点 ①图1，图2.厨3②图4③}④5⑤60⑥0 (∠BCA+LACD)= 1 2x180°=90， ⑦90°⑧相等⑨180°⑩相等①相等2PW .∠BOC=∠OCE+∠E=90°+∠E. B相等④∠3⑤∠86∠8⑦∠58∠89∠7 命题点3等腰（边）三角形的性质与判定 四∠8①90②2无数3>④>5A00相等 要点 ②⑦=公=四相等团相等①相等2互补 对点练习 ①相等②相等③相等④60°⑤2(180°-a) 1.②：两点之间.线段最短2.D3.（1)45°：(2)136 ⑥45° 4.D5.PB6.A7.30°8.D ⑦1(180°-a)⑧180°-2a⑨2a+b02b+a 命题点2三角形的边角关系及重要线段 ①△ODC2△ACE 要点 对点练习 ①大于②>③小于④<⑤180°⑥360°⑦∠3 1.(1)24:(2)30:(3)4:(4)32.C3.C[变式]4 ⑧>⑨>0>①内部②内部3外部④内部 命题点4直角三角形的性质与判定 2 ∠A 要点 25LA890°-7∠A 1 ①90°2③d+6=④互余⑤相等6相等 ⑦45⑧1：√2⑨45°060①一半230° 对点练习 1.D2.(1)70°；(2)55°3.(1)40°，10°；(2)4,1 B1:V5:2④S,+S2=S35S,+S2=S,07或5 24ACD. 对点练习 1.(1)①70°；②5：③2,2：(2)30°，1：√52.32 参考答案与重难题解析·江西数学 5