3.8 二次函数的图象与性质-【一战成名新中考】2026江西中考数学·一轮复习·知识点精讲（讲册）

一战成名新中考 命题点8二次函数的图象与性质（必考） 要点①》二次函数的图象与性质（图象一抛物线） 概念 形如y=a2+br+c(a,b,c为常数且a≠0)的函数叫作x的二次函数 一般式 顶点式 交点式 三种表达式 y=ax2+bx+c(a≠0)》 y=a(x-h)2+k(a≠0) y=a(xx1)(x-x2)(a≠0) a>0 大 开口向上 致 图 象 a<0 开口向下 对称轴 直线x=① 直线x=② 直线x=③ 顶点坐标 ④ ⑤ 最 a>0 在对称轴处，y取最小值（顶点纵坐标）》 值 a<0 在对称轴处，y取最大值（顶点纵坐标） 在对称轴左侧时，y随x增大而⑥ 增 a>0 在对称轴右侧时，y随x增大而⑦ 减 在对称轴左侧时，y随x增大而⑧ 性 a<0 在对称轴右侧时，y随x增大而⑨ 注：特别地，若已知二次函数的表达式为y=ax2+bx,则二次函数图象必过原点；反之，若已知二次 函数y=ax2+br+c的图象过原点，则必有c=0. 对点练习 1.在如图所示的网格中建立平面直角坐标系xOy,已知每个小正方形的边长均为1，点A,B,C, D均在网格的格点上，二次函数y=ax2+bx+c的图象恰好经过点A,B,C,D. (1)该二次函数的图象还经过网格中的哪个格点？在图中描出这个 点，并用描点画图法画出这个二次函数的图象； (2)观察这个二次函数图象，回答下列问题， ①图象的开口向 ,对称轴是直线 ,顶点坐标 为 ②当x= 时，y有最 值（填“大”或“小”）为 (填数字)； 第1题图 ③比较大小：若点(-2，m),(-1.5,n)在该函数图象上，则m n; 若点(2，d),(4,t)在该函数图象上，则d t; 若点(-2，m),(4,t)在该函数图象上，则m t. 知识，点精讲·江西数学 41 要点2)》二次函数y=aax2+bx+c(a≠0)的图象与a、b、c的关系(2021.5) 决定抛物线的开口方向，Ia|决定开 a>0,抛物线开口向上； a 口大小 a<0,抛物线开口向下 b=0,对称轴为⑩ 决定抛物线对称轴的位置（对称轴为 b 一>0，对称轴在y轴① 侧； a、b 直线=2 6 <0,对称轴在y轴② 侧 a c=0,抛物线过原点； 决定抛物线与y轴交，点的位置 c>0,抛物线与y轴交于正半轴： c<0,抛物线与y轴交于负半轴 b2- b2-4ac=0时，与x轴有唯一的交，点（顶点)； 决定抛物线与x轴的交点个数 b2-4ac>0时，与x轴有B 交点； Aac b2-4ac<0时，与x轴没有交，点 先把含a、b、c的项移到等式（或不等式）的一边： 特殊 看到2a+6,比较会和1的大小：希到2-6，比较么与-1的大小： 关系 看到a+b+c,令x=1,看y的值；看到a-b+c,令x=-1,看y的值； 看到4a+2b+c,令x=2,看y的值；看到4a-2b+c,令x=-2,看y的值 对点练习 2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线x=-1,与x轴的一个交点A的坐标为 (1,0),其部分图象如图所示，下列结论中正确的是 (填序号). ①b2-4ac>0:②abc>0:③a-b+e<0; V x=-1 ④a+b=-c:⑤2a+b=0:⑥4a-2b+c>0: ⑦一元二次方程a2+bx+c=0的两个根是x,=-3,x2=1; ⑧当y>0时，-3<x<1; ⑨当x>0时，y随x的增大而增大； 第2题图 0若D(-号），以子)是函数图象上的两点，则<： 9 要点3)》解二次函数基本性质问题必备技能 技能1找出“隐藏”的对称轴 (1)二次项系数和一次项系数比是常数（如b=m)→对称轴为直线=-6=-m: 2a-2 1+2 (2)看到抛物线上纵坐标相等的两点(：1，n),(x2,n)→对称轴为直线x= 2 42 知识，点精讲·江西数学 一战成名新中考 对点练习 3.抛物线y=ax2+2ax+c(a≠0)的对称轴为直线x= 4.写出下列抛物线的对称轴， (1)已知抛物线与直线y=n交于点(1，n),(3,n),则对称轴是直线x= (2)已知关于抛物线y与x的部分对应值如表所示，则对称轴是直线x= -2 0 1 3 6 -4 -6 -4 技能2巧用对称轴 (1)求纵坐标相等两点的横坐标→A(m,t)和B(n,t)关于直线x=h对称，则m+n=2h; (2)利用对称轴比较函数值大小→看开口找对称轴定增减： 解法一：增减性比较法.由α定开口方向→确定对称轴→把所有点转化到对称轴的同一侧→由 增减性得大小（如图1，图2）. 增大 减小 增大 减小 yu>Yc>Y Ys>Yp>Yr YA<YC<YR YA>YC>YR 图1 图2 图3 图4 解法二：距离法.先定开口方向，再算“距离”，开口向上距离对称轴越远的值越大（如图3），开 口向下，距离对称轴越远的值越小（如图4） (3)定轴定区间最值问题 利用对称轴x=h求m≤x≤n内函数最值→确定h和m,n的大小关系，分类讨论 对点练习 5.若抛物线与x轴交于A(1,0)和B,对称轴是直线x=2,则点B的横坐标为 6.若二次函数y=a(x-3)2+c(a>0)的图象过A(-1,y1),B(2,y2),C(5,y3),则y1,y2,y3的大 小关系用“<”连接为 7.已知二次函数y=-(x-1)2+4,填空 (1)当-1≤x≤0时，函数的最大值是 最小值是 (2)当-1≤x<3时，函数的最大值是 最小值是 (3)当2≤x≤3时，函数的最大值是 最小值是 温馨提示：请完成《分层作业本》P31-32 知识，点精讲·江西数学 43一战成名新中考 命题点8二次函数的图象与性质 a(x-2)2+k(a≠0)，将点C(0,8),B(8,0)代人， 要点 得 4a+k=8. ”②h③与+5 解得 b 4ac-b (36a+k=0 k=9. 2 ④(2a4a ）⑤(h,k) ⑥减小⑦增大⑧增大⑨减小①y轴①左 .抛物线的表达式为y=- 4(x-2)2+9, ②右B两个 1 对点练习 -<0 4 1.(1)经过格点E(2,3),描点画图略：(2)①下，x=1,(1, .当x=2时，y有最大值，最大值为9，即AD=9m. 4):②1，大，4：③<：>：= 答：该水流距水平面的最大高度AD为9m 203800-14(1)2:(2)2 5.3 解法二：根据题意，设抛物线的表达式为y=ax2+bx+8(a 6.2<y3<y17.(1)3,0:(2)4,0:(3)3,0 0), 命题点9 二次函数表达式的确定 202, 将点B(8,0)代人，结合- 及图象的变换 b 1 得 =2 a=- 要点 2a 解得 4 ①不变②不变③相反④不变⑤相反 64a+8b+8=0, b=1, 对点练习 1 “抛物线的表达式为y=一不+x+8= 4(x-2)2+9. 1.y=x2-1 2.y=2x2-4x+1:y=-2x2-4x-1;y=2x2+4x+1 其余同解法一 命题点10二次函数图象与性质的应用 答：该水流距水平面的最大高度AD为9m 要点 ①(x-2)②[50-(x-2)】③D④(30-10r) ①两个不相等②两个相等③没有④x<x,或x>x2 ⑤(20+x)⑥(300-10x)(20+x)⑦-10x2+100x+6000 ⑤x1<x<x2 ⑧0≤x≤30⑨5065①62502(300+20x) 对点练习 B(20-x)④(300+20x)(20-x）5-20x2+100x+6000 1.(1)x1=-1,x2=3:(2)x1=0,x2=2:(3)2: G0≤x≤20⑦当x=2.5时，y取得最大值，即定价为57.5 (4)-1<x<3:(5)x<0或x>2 元时，利润最大，最大利润为6125元 2.-3≤x≤1 ⑧：6250>6125，.当定价为65元，即涨价5元时利润最 命题点11二次函数的实际应用 大，最大利润为6250元 要点 【自主作答】解：解法一：根据题意，设抛物线的表达式为y= 第四章 三角形 命题点1线段、角、相交线与平行线 :∠0CE=∠0C1+∠ACE=7∠BCA+3LACD= 要点 ①图1，图2.厨3②图4③}④5⑤60⑥0 (∠BCA+LACD)= 1 2x180°=90， ⑦90°⑧相等⑨180°⑩相等①相等2PW .∠BOC=∠OCE+∠E=90°+∠E. B相等④∠3⑤∠86∠8⑦∠58∠89∠7 命题点3等腰（边）三角形的性质与判定 四∠8①90②2无数3>④>5A00相等 要点 ②⑦=公=四相等团相等①相等2互补 对点练习 ①相等②相等③相等④60°⑤2(180°-a) 1.②：两点之间.线段最短2.D3.（1)45°：(2)136 ⑥45° 4.D5.PB6.A7.30°8.D ⑦1(180°-a)⑧180°-2a⑨2a+b02b+a 命题点2三角形的边角关系及重要线段 ①△ODC2△ACE 要点 对点练习 ①大于②>③小于④<⑤180°⑥360°⑦∠3 1.(1)24:(2)30:(3)4:(4)32.C3.C[变式]4 ⑧>⑨>0>①内部②内部3外部④内部 命题点4直角三角形的性质与判定 2 ∠A 要点 25LA890°-7∠A 1 ①90°2③d+6=④互余⑤相等6相等 ⑦45⑧1：√2⑨45°060①一半230° 对点练习 1.D2.(1)70°；(2)55°3.(1)40°，10°；(2)4,1 B1:V5:2④S,+S2=S35S,+S2=S,07或5 24ACD. 对点练习 1.(1)①70°；②5：③2,2：(2)30°，1：√52.32 参考答案与重难题解析·江西数学 5