精品解析：云南省个旧市第一中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

绝密★启用前 云南省个旧市第一中学2025-2026学年度高三（上）期中考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算，即可求解. 【详解】因为，则， 故选：C. 2. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可得及，展开并联立可解得，然后利用两角差的余弦公式求解. 【详解】∵，， ∴， ∴，即，即①， ∵，∴②， 联立①②解得， ∴. 故选：A. 3. 若直线不平行于平面，则下列结论正确的是（ ） A. 平面内的所有直线都与直线异面 B. 平面内不存在与直线平行的直线 C. 平面内的所有直线都与直线相交 D. 直线与平面一定有公共点 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面关系，以及线面平行的判定定理，判断正确选项即可. 【详解】直线不平行于平面，则可能为直线平面，或直线与平面相交， 所以A，B，C错误，D正确； 故选：D. 4. 已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点求解斜率，即可根据二倍角公式求解. 【详解】由得，设的倾斜角为， 所以， 故， 故直线的斜率为， 故选：A 5. 已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点到线的距离公式可得，由勾股定理可得，从而得，在中，由余弦定理可得 ，则有，即可得，最后根据离心率公式计算即可. 【详解】由题意得，，双曲线的渐近线方程为， 如图，不妨设点在直线上， 即点在直线上， 则， 在直角中，， 所以， 故， 在中，， 所以， 所以， 故双曲线的离心率. 故选：C. 6. 过点作曲线的两条切线，记两切点分别为，，若两条切线斜率之积为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义表示出切线方程，联立切线方程，求出、，再由两条切线的斜率之积为得到，即可用的式子表示、，代入化简可得，利用基本不等式求解即可 【详解】因为，所以，则，， 依题意可知两条切线的方程分别为， 联立两条切线的方程 解得，则， 因为两条切线的斜率之积为，所以，所以，则 由，， 可得 所以， 当且仅当，即时取得最小值，由因为，所以， 则， 故选：D 7. 已知圆与圆的半径分别为3和1，圆与圆内切沿着圆周滚动如图所示，是圆的任意直径，则（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的线性运算及数量积运算即可求解. 【详解】. 故选：. 8. 在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点O逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数为“R函数”.已知函数，中恰有一个为“R函数”，则满足条件的m的整数值的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由“相对”思想，将问题转化为直线与的图象至多一个交点，函数与的交点问题，转化为方程的根来求解；与的交点问题则转化为函数的零点问题，利用导数求解可得. 【详解】由函数定义可知，在平面直角坐标系中， 任意与轴垂直的直线与函数的图象至多一个交点. 由题意函数的图象绕坐标原点O逆时针旋转，仍为函数图象， 相对可知，任意与轴垂直的直线绕原点顺时针旋转后，与图象至多一个交点， 即，直线与的图象至多一个交点， 故，方程至多一个实数根. 对于函数： ，要使方程至多一个实数根， 即，方程在至多一个实数根， 又不是方程的根， 当时，至多一个实数根，满足题意； 当时，对任意，方程的判别式不恒成立，不满足题意； 故若函数为“R函数”，则； 对于函数： ，方程至多一个实数根至多一个实数根， 故只需函数是单调函数， 由，设， 则，其中， ①当时， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 则， 即，且，； 故在必不单调； ②当时， 同理可得，在上单调递增，在上单调递减； ，且；， 故恒成立不可能， 所以要使函数是单调函数， 则只需恒成立，则只需， 解得. 即若中为“R函数”，则. 综上所述，满足条件的m的整数值为，共个. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于“相对”运动思想的应用，题目中“将函数的图象绕坐标原点O逆时针旋转，仍为函数图象”，由“相对”思想，转化为“任意与轴垂直的直线绕原点O顺时针旋转后，与图象至多一个交点”，进而根据函数及后续运算特点转化为方程的实数根或函数的零点问题求解. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知随机变量服从正态分布，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. D. 随机变量落在与落在的概率相等 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正态分布的性质一一判断即可. 【详解】对于A：因为，所以，故A错误； 对于B：当时， 所以，故B正确； 对于C：因为，所以, 所以，故C正确； 对于D：因为， 由正态分布密度曲线的对称性可知，随机变量落在与的概率相等，故D正确． 故选：BCD． 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值是 B. 若，则在上单调递减 C. 若在上恰有3个零点，则的取值范围为 D. 函数的值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】化简，根据的值域可判断A；求出的范围，根据的单调性可判断B；在上恰有3个零点得，求出的范围可判断C；求出，利用三角函数的值域可判断D． 【详解】 ， 选项A：因为，所以，的最小值为，故A正确； 选项B：当时，，由得， 所以在上单调递增，故B错误； 选项C：由得，若在上恰有3个零点， 则，得，故C正确； 选项D：因为，所以， 所以，解得，故D错误． 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于化简，再将正弦型函数的性质转化为正弦函数的性质进行求解. 11. 不动点理论是泛函分析与拓扑学中的重要理论，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ） A. 只有1个不动点 B. 若（）没有不动点，则没有零点 C. 若（）没有不动点，则方程无实根 D. 有3个不动点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据“不动点”函数的定义，分别对每个选项进行分析，判断其是否满足“不动点”函数的条件，以及是否满足题目中的其他条件． 【详解】对于A，令，，，当且仅当时取“=”， 则在上单调递减，而，即在上只有一个零点，函数只有一个不动点，A正确； 对于B，没有不动点等价于的图象与直线没有交点， 没有零点等价于的图象与轴没有交点， 显然，当对称轴在轴左边，的图象与没有交点时，不能推出与轴没有交点，B错误； 对于C，依题意，没有不动点等价于方程无实数根无实数根， 即， 当时，二次函数的图象开口向上，则恒成立， 即，恒有， 而，因此有恒成立，即方程无实根， 当时，二次函数的图象开口向下，则恒成立， 即，恒有， 而，因此有恒成立，即方程无实根， 所以函数（）没有不动点，则方程无实根，C正确； 对于D，由，得， 易知当时，，单调递减，且，所以当时，的图象与直线有且只有一个交点； 当时，，单调递减，且； 当时，，单调递增.令，得， 解得，此时，所以直线与曲线相切于点. 所以直线与曲线共有两个交点，所以只有两个不动点，故D错误； 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某体育局计划从某高校的4名男志愿者和4名女志愿者中选派6人参加志愿者培训，事件A表示选派的6人中至少有3名男志愿者，事件表示选派的6人中恰好有3名女志愿者，则______. 【答案】 【解析】 【分析】方法一、根据题意求出，再利用条件概率公式求解；方法二、分别求出至少有3名男志愿者的情况及恰有3名女志愿者的情况，再利用古典概型求解. 【详解】从4名男志愿者和4名女志愿者中选派6人，至少有3名男志愿者的概率 .又， 根据条件概率的计算公式可知，. 方法二、从4名男志愿者和4名女志愿者中选派6人， 至少有3名男志愿者有（种）情况， 其中有3名女志愿者有（种）情况. 根据古典概型的概率计算公式可知，. 故答案为：. 13. 已知椭圆（）的左、右焦点分别是和，下顶点为点，直线交椭圆于点，的内切圆与相切于点，若，则椭圆的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，由三角形内切圆的性质结合椭圆的定义可得，再结合条件可得，然后在与中，结合余弦定理列出方程，再由离心率的公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 设的内切圆与相切于点， 由切线长定理可得， 又，则，即， 由椭圆的定义可得， 即， 所以，又，即，得， 所以，则， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 化简得，即，即， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 利用三角形内切圆的性质和椭圆的定义，得到，从而得到的值. 14. 牛顿数列是牛顿迭代法在求函数零点时生成的数列．对于函数和数列,若,则称数列为函数的牛顿数列．已知数列满足,其中是函数的牛顿数列．则数列的通项公式为___________．记数列的前项和为,若对恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到与的关系，再将代入后，观察与的关系即可； （2）分为奇数和偶数讨论，再利用数列单调性求解即可. 【详解】对于第一空：数列为函数的牛顿数列， 有，得， ， 则，两边取对数得： ，即. 又. 对于第二空：， 则可整理为：， 即解. 分为奇数和偶数讨论： 当为奇数时，，不等式变为：. 由于是递增函数，且当时，，故. 当为偶数时，，不等式变为： ，即. 由于是递减函数，且当时，，故. 因此，. 故答案为：①；②. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有． （1）求数列的通项公式 （2）记，数列前项和为，求证：． 【答案】（1） （2） 由，得， 所以． 因为，所以，， 所以． 【解析】 【分析】（1）由向量的数量积得，根据与的关系得到递推关系，再由累乘法求出通项公式； （2）利用裂项相消法求出数列前项和为，再证明. 【小问1详解】 因为，即：① 当时，， 又，所以． 当时，，② 由①-②整理得： 整理得， 由累乘法得：， 代入比值： 当时，，符合上式， 所以数列的通项公式为 【小问2详解】 略 16. 某学校为了解入学新生的身高情况，随机抽取了50名新生，测得他们的身高（单位：），并分成以下5组：，，，，，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）补全频率分布直方图，并求出样本中学生身高的中位数.（保留小数点后两位） （2）该学校体育教研室为了解身高是否在一定的范围内与参加弹跳运动时长有关，调研得到以下5组数据： 参加弹跳运动时长（单位：年） 1 2 3 4 5 身高（单位：） 158 162 166 170 184 表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，试求出关于的回归方程. 附：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】（1），165.36 （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率和为可求出，利用中位数为分位数可求出频率分布直方图的中位数， （2）利用最小二乘法先求出参数，再利回归方程经过样本中心点，可求出参数，从而可求回归直线方程. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知， ，解得， 所以补全后的频率分布直方图如图所示， 又因为，， 所以中位数在区间内，设其值为， 所以，解得， 所以样本中学生身高的中位数约为165.36. 【小问2详解】 由题意可知，，， ， ， 根据公式，可求得，则， 所以所求回归直线方程为. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，M、N、P分别是、、的中点. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 在直三棱柱中，，则，，两两垂直， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 由，则， 由，则， 由，且都在平面内，则平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，求出坐标，利用向量证明，，根据线面垂直的判定定理证明； （2）求出平面的一个法向量，利用向量法求线面角； （3）由（1）平面的一个法向量为，利用向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的一个法向量，，， 所以，取，则， 所以， 故与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（1）知平面的一个法向量为，由（2）知， 所以点到平面的距离. 18. 已知椭圆过点，长轴长为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点、． （1）求椭圆的方程； （2）若线段中点的横坐标是，求直线的斜率； （3）在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，且点 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出椭圆的方程； （2）设点、，则，利用点差法可得出，结合点在直线上，可得出，代入可得出的值； （3）假设在轴上存在点满足题设条件，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算结合为定值，可得出，求出的值，即可得出结果. 【小问1详解】 由题意可得，可得，因此椭圆方程为，即. 【小问2详解】 设点、，则， 因为，这两个等式作差可得， 即， 由题意可知，直线的方程为， 线段的中点在直线上，所以，，可得， 所以，故，故直线的斜率为. 【小问3详解】 在轴上存在点，使是与无关的常数. 证明：假设在轴上存在点，使是与无关的常数， 因为直线过点且斜率为，所以，直线的方程为， 由 得. 设、，则，， 因为，， 所以 设常数为，则， 整理得对任意的恒成立， ，解得， 即在轴上存在点，使是与无关的常数. 19. 已知数列前项和分别为，且有． （1）若，求； （2）若，求； （3）已知当时，，当且仅当时等号成立若数列为正项数列，且当时有，若，证明：． 【答案】（1）45 （2） 1 （3） 由，可得， 即得， 则 则有： ，① ， 由①式可得：. 因是正项数列，故，由已知不等式可得： 当且仅当时等号成立. 故得， 即，得证. 【解析】 【分析】（1）代入通项公式求解即可； （2）将转化为，因此可得到，再将代入计算即可； （3）将整理为，利用累加法，可得，再将转化为，再运用题目给出的不等式进而证得. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由，考虑前项和. 注意到当时，，，则： . 而， 因此， 故. 当时， . 当时，，也满足上式，故. 已知 ，，因此 . 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 云南省个旧市第一中学2025-2026学年度高三（上）期中考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（    ） A. B. C. D. 2. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线不平行于平面，则下列结论正确的是（ ） A. 平面内的所有直线都与直线异面 B. 平面内不存在与直线平行的直线 C. 平面内的所有直线都与直线相交 D. 直线与平面一定有公共点 4. 已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 过点作曲线的两条切线，记两切点分别为，，若两条切线斜率之积为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆与圆的半径分别为3和1，圆与圆内切沿着圆周滚动如图所示，是圆的任意直径，则（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 8 8. 在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点O逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数为“R函数”.已知函数，中恰有一个为“R函数”，则满足条件的m的整数值的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知随机变量服从正态分布，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. D. 随机变量落在与落在的概率相等 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值是 B. 若，则在上单调递减 C. 若在上恰有3个零点，则的取值范围为 D. 函数的值域为 11. 不动点理论是泛函分析与拓扑学中的重要理论，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ） A. 只有1个不动点 B. 若（）没有不动点，则没有零点 C. 若（）没有不动点，则方程无实根 D. 有3个不动点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某体育局计划从某高校的4名男志愿者和4名女志愿者中选派6人参加志愿者培训，事件A表示选派的6人中至少有3名男志愿者，事件表示选派的6人中恰好有3名女志愿者，则______. 13. 已知椭圆（）的左、右焦点分别是和，下顶点为点，直线交椭圆于点，的内切圆与相切于点，若，则椭圆的离心率为________． 14. 牛顿数列是牛顿迭代法在求函数零点时生成的数列．对于函数和数列,若,则称数列为函数的牛顿数列．已知数列满足,其中是函数的牛顿数列．则数列的通项公式为___________．记数列的前项和为,若对恒成立，则实数的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有． （1）求数列的通项公式 （2）记，数列前项和为，求证：． 16. 某学校为了解入学新生的身高情况，随机抽取了50名新生，测得他们的身高（单位：），并分成以下5组：，，，，，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）补全频率分布直方图，并求出样本中学生身高的中位数.（保留小数点后两位） （2）该学校体育教研室为了解身高是否在一定的范围内与参加弹跳运动时长有关，调研得到以下5组数据： 参加弹跳运动时长（单位：年） 1 2 3 4 5 身高（单位：） 158 162 166 170 184 表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，试求出关于的回归方程. 附：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，M、N、P分别是、、的中点. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 已知椭圆过点，长轴长为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点、． （1）求椭圆的方程； （2）若线段中点的横坐标是，求直线的斜率； （3）在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 已知数列前项和分别为，且有． （1）若，求； （2）若，求； （3）已知当时，，当且仅当时等号成立若数列为正项数列，且当时有，若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $