精品解析：甘肃兰州市第五十一中学2026-2027学年第一学期高三8月月考数学试卷

兰州市第五十一中学2027届高三8月月考试卷 数学 第I卷（58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 从高三某班抽取10名同学，他们的数学成绩如下：95，90，71，76，85，88，72，91，92，65（单位：分），则这10名同学数学成绩的第70百分位数是（ ） A. 90 B. 91 C. 90.5 D. 91.5 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 记为公比的等比数列的前项和，若首项,，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 5. 已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的奇函数，，且，则（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上单调递减 C. 函数的图象关于对称 D. 将函数的图象向左平移个单位得到奇函数 10. 已知正方体的棱长为2，点是侧面上的一个动点（含边界），点和点分别是棱和的中点，则（ ） A. 平面截该正方体所得的截面图形是正方形 B. 平面平面 C. 若，则点的轨迹长度为 D. 若点在上，则的最小值为 11. 已知抛物线的焦点，，为抛物线上的两个动点，为线段的中点，，则（ ） A. B. 若，则点到准线的距离为4 C. 的最小值为4 D. 若，则 第II卷（92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知双曲线：的一条渐近线为，则的焦距为_______． 13. 的展开式中含项的系数是___________． 14. 一列火车从城驶往城，铁路上有20个车站（包括起点站和终点站）．火车上附有一节邮政车厢，每停靠一站都要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又装上该站发往后面各站的邮袋各一个．设从第站出发，邮政车厢内的邮袋数为，则数列的最大值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下： 年龄 剪纸 摄影 画画 人数 8 45 10 55 6 50 （1）现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？ （2）该兴趣班150人的平均年龄是多少？ （3）现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在为事件，记抽到学员爱好摄影为事件.事件与是否独立？请说明理由. 16. 在中，，，分别是角，，的对边，且，，． （1）求的大小； （2）若，，求的面积． 17. 如图所示，正四棱台，其中，． （1）证明：平面；若棱台高为，求三棱锥的体积． （2）当时，求平面与平面所成的角． 18. 已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. （1）求双曲线离心率； （2）若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； （3）若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若有两个零点，求实数的取值范围； （3）设，若函数与共有4个不同的零点，是否存在实数，使得这4个零点在调整顺序后成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市第五十一中学2027届高三8月月考试卷 数学 第I卷（58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 从高三某班抽取10名同学，他们的数学成绩如下：95，90，71，76，85，88，72，91，92，65（单位：分），则这10名同学数学成绩的第70百分位数是（ ） A. 90 B. 91 C. 90.5 D. 91.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的计算即可求解. 【详解】先将这10个数从小到大排列：65,71,72,76,85,88,90,91,92,95， 因为，7是整数， 故这10名同学数学成绩的第70百分位数是， 故选：C. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】应用复数的除法化简，并确定其对应点所在的象限，即可得. 【详解】由，对应点为在第四象限. 故选：D 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，化简集合，再利用交集的定义直接求解. 【详解】依题意，，， 所以. 故选：A 4. 记为公比的等比数列的前项和，若首项,，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的前项和公式,可以解出,进而求出. 【详解】由等比数列的前项和公式, 所以解得或. 因为,所以，所以. 故选:B. 5. 已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据共线向量定理及相关性质、充分必要条件的定义求解判断即可. 【详解】若存在实数，使，则共线； 若，则同向； 所以“存在实数，使”是“”的必要不充分条件. 6. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线与圆的位置关系，结合切线的性质及二倍角公式计算即可. 【详解】设，圆的圆心为，半径，两切点为， 如下图所示，则， 易知， ， 即. 故选：B 7. 如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件首先确定外接球的半径，然后根据已知条件求出半径，最后根据球的表面积公式可求得结果. 【详解】如图，因为面，四边形为正方形， 所以可将四棱锥补成长方体， 则四棱锥的外接球也是长方体的外接球． 由面，所以就是与平面所成的角， 则，所以， 设四棱锥的外接球的半径为， 因为长方体的对角线的长即为其外接球的直径， 所以，所以， 所以四棱锥的外接球的表面积为. 故选：C． 8. 已知是定义在上的奇函数，，且，则（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得函数是以为周期的周期函数，然后分别求得的值，结合函数的周期性，代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 用替换，则， 即， 所以函数是以为周期的周期函数， 由，令，则， 且是定义在上的奇函数，则，所以， 令，则，且，则， 令，则，因为，所以， 所以， 则 . 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上单调递减 C. 函数的图象关于对称 D. 将函数的图象向左平移个单位得到奇函数 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，， 则函数的最小正周期，故A正确； 对于B，当时，． 由于正弦函数在上单调递增， 故函数在上单调递增，故B错误； 对于C，当时，可得， 故函数的图象关于对称，故C正确； 对于D，将函数的图象向左平移个单位， 可得，其不是奇函数，故D错误． 10. 已知正方体的棱长为2，点是侧面上的一个动点（含边界），点和点分别是棱和的中点，则（ ） A. 平面截该正方体所得的截面图形是正方形 B. 平面平面 C. 若，则点的轨迹长度为 D. 若点在上，则的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，易得，可判断A的真假；根据线面垂直判定面面垂直，可判断B的真假；确定点轨迹，求轨迹长度，判断C的真假；设，则可表示为在直角坐标系中点到点与点的距离之和，由此即可求出的最小值，可判断D的真假. 【详解】如图建立空间直角坐标系， 对于A选项：,,，， 所以， 所以与不垂直，A错误； 对于B选项：,， 所以 所以， 又，平面,平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，B正确； 对于C选项：易知，所以， 所以点的轨迹为点为圆心，1为半径的圆， 所以点的轨迹长度为，C正确； 对于D选项：设，则 可表示为在直角坐标系中点到点与点的距离之和，如图所示， 所以， 所以的最小值为，D错误. 故选：BC. 11. 已知抛物线的焦点，，为抛物线上的两个动点，为线段的中点，，则（ ） A. B. 若，则点到准线的距离为4 C. 的最小值为4 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据焦点求出；对于B ，C，由抛物线的定义可判断；对于D延长交准线于点，由抛物线的定义得出为的中位线，设，再利用相似关系即可求出. 【详解】对于A，因为抛物线的焦点，所以，得，故A正确； 对于B ，分别过点作准线的垂线，垂足为， 则由抛物线的定义可知， 因为为线段的中点，所以点到准线的距离为，故B错误； 对于C，因为， 则当三点共线时，有最小值，故C正确； 延长交准线于点，由以及抛物线定义可知，， 则为的中位线， 设，则，， 由相似关系可知，，则，得，故，故D正确. 故选：ACD 第II卷（92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知双曲线：的一条渐近线为，则的焦距为_______． 【答案】 【解析】 【详解】因为双曲线：的一条渐近线为，，故， 由得，， 因此，故双曲线的焦距为. 13. 的展开式中含项的系数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先写出二项展开式的通项，根据通项公式，即可写出展开式中含的项，进而可得结果. 【详解】因为的展开式的通项公式为， 所以的展开式中含的项为， 因此的展开式中含项的系数为. 故答案为： 14. 一列火车从城驶往城，铁路上有20个车站（包括起点站和终点站）．火车上附有一节邮政车厢，每停靠一站都要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又装上该站发往后面各站的邮袋各一个．设从第站出发，邮政车厢内的邮袋数为，则数列的最大值为_______． 【答案】1183 【解析】 【分析】根据题目条件列出数列的递推公式，根据递推公式求解数列的通项公式，利用数列与函数之间的关系即可求解数列的最大值. 【详解】一共个车站，因此到第站，前面一共有站，故需要卸下个邮袋，后面还有站，所以需要装上个邮袋， 故，， 因此根据递推公式有， 故， 设函数，，， 所以，令，可得或， 因此当时，，当时，， 故的最大值为1183. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下： 年龄 剪纸 摄影 画画 人数 8 45 10 55 6 50 （1）现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？ （2）该兴趣班150人的平均年龄是多少？ （3）现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在为事件，记抽到学员爱好摄影为事件.事件与是否独立？请说明理由. 【答案】（1）9； （2）； （3）不相互独立，理由如下： 由题可得，，， 注意到，则事件A与事件B不相互独立. 【解析】 【分析】（1）由题意，计算年龄段占总体比例，据此可得答案. （2）利用年龄区间中点作为该区间年龄平均值，再由各年龄段人数占总体比例可得答案； （3）验证，是否等于可得答案. 【小问1详解】 年龄段占总体比例为： ，则抽取人数为：； 【小问2详解】 由题可得人的平均年龄为：； 【小问3详解】 事件A与事件B不相互独立，理由略. 16. 在中，，，分别是角，，的对边，且，，． （1）求的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由向量垂直可得，从而可求得答案. （2）由正弦定理结合条件可得，再由余弦定理可得出，从而可得面积. 【详解】（1）由，则， 即 ， ，又， （2）， ， ，即 ． 又， 即，所以， 17. 如图所示，正四棱台，其中，． （1）证明：平面；若棱台高为，求三棱锥的体积． （2）当时，求平面与平面所成的角． 【答案】（1）连接、交于，连接、交于，如图，上下底面为正方形， 由正棱台性质，可得，且，，， 所以四边形为平行四边形， 则，因为平面，平面， 所以平面． 三棱锥的体积为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正棱台的性质可得，再由线面平行的性质，即可证明；结合条件，利用棱锥的体积公式，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再由面面角的向量法，即可求解. 【小问1详解】 证明略. 由正棱台性质，与上下底面均垂直，则， 所以． 【小问2详解】 分别以为轴建立如图所示空间直角坐标系， 因为，，， 所以， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则， 取，所以， 设平面的一个法向量为， 则， 取，所以，因为，所以， 则平面与平面所成的角为． 18. 已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. （1）求双曲线离心率； （2）若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； （3）若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出，直接利用公式即可求解； （2）根据中点坐标公式求出点，将点坐标代入双曲线方程求出，再利用斜率公式即可求出答案； （3）设直线方程为，联立求出，由题意得且，再根据求出，结合且可求出答案. 【小问1详解】 对于双曲线，，， ， 所以双曲线离心率. 【小问2详解】 因为点是的中点，所以点， 代入双曲线方程，得， 解得， 又点在双曲线的右支上，所以，即， 所以， 所以直线的斜率为. 【小问3详解】 当直线斜率为时，易知与共线，不符合题意； 当直线斜率不为时，设直线方程为， 设，，则， 联立，整理得， （*）且， ，， 因为，， 所以，， 所以， 即， 即， 整理得，即， 代入（*）中得，又，所以， 又因为，即，所以且， 综上，的取值范围为. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若有两个零点，求实数的取值范围； （3）设，若函数与共有4个不同的零点，是否存在实数，使得这4个零点在调整顺序后成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由： 由于，所以与的零点个数相同. 依题意共有4个不同的零点，所以与各有两个零点. 不妨设的两个零点为，，的两个零点为，， 则有， 因为，得，① 所以，② 又，则，，若四个零点成等差数列，则有两种情况： （1）当时，即，，，成等差数列，则有，③ 由②③得， 代入①得，，④ 又，⑤ 将④代入⑤式可得， 由等差数列性质及，可得，从而有， 可得，解得，，这与④矛盾，故实数不存在； （2）当时，即，，，成等差数列，则，③ 由②③得，同理得，，④ 又，⑥ 将④代入⑥式可得， 代入③可得，解得，， 这与④矛盾，故实数不存在. 综上所述，不存在实数使得四个零点成等差数列. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求得答案； （2）求导，判断的单调性，求出极值，列式运算得解； （3）由，得与的零点个数相同，所以与各有两个零点，设的两个零点为，，的两个零点为，，可得，分和讨论即可. 【小问1详解】 由， 当时，，， 故的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由， 当时，令，在上递减，最多一个零点，与题意不符； 当时，令，则，则当，；当，， 所以在单调递增，在上单调递减， 故，且，. 故有两个零点，即，. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $