精品解析：河北省唐山市乐亭县2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

2025—2026学年度第一学期期中质量检测 九年级数学试卷 温馨提示：本试题满分120分．考试时间90分钟 一、选择题（本大题12小题共36分，每个小题给出的四个选项中只有一个符合题意） 1. 已知为锐角，则的值不可能为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正弦函数的定义，我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．即． 根据α是锐角，判断出的取值范围，进而完成解答． 根据α是锐角，判断出sinα的取值范围，即可判断出sinα的值不可能为选项中的哪个数． 【详解】解：∵ α为锐角， ∴， ∴． ∴选项A、B、C符合题意，选项D的值为，即的值不可能为2． 故选D． 2. 一元二次方程的解为（    ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得，， 故选：C． 3. 对于一组数据﹣1、4、﹣1、2下列结论不正确的是（　　） A. 平均数是1 B. 众数是-1 C. 中位数是0.5 D. 方差是3.5 【答案】D 【解析】 【详解】这组数据的平均数是：（-1-1+4+2）÷4=1； -1出现了2次，出现的次数最多，则众数是-1； 把这组数据从小到大排列为：-1，-1，2，4，最中间的数是第2、3个数的平均数，则中位数是； 这组数据的方差是： [（-1-1）2+（-1-1）2+（4-1）2+（2-1）2]=4.5； 故选D． 4. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程的步骤，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 根据配方法的一般步骤，把常数项移到等号的右边，将二次项的系数化为1，等式两边同时加上一次项系数一半的平方即可求解． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得 ， 化简，得， 故选：C． 5. 要从甲、乙、丙、丁四名射击选手中选择一个成绩优秀且发挥稳定的人参加射击比赛，抽取了四人平时10次的射击测试成绩，发现四人10次射击的平均成绩都是环，方差分别是，则应该选择参加比赛的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，方差是各数据值离差的平方和的平均数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定． 根据方差的意义作答即可． 【详解】∵， ∴， ∴成绩最稳定的是丙，应该选择丙参加比赛． 故选：C 6. 如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A，根据相似三角形的性质即可判断B、C、D． 【详解】解：∵， ∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意； ∴，，故B不符合题意，C符合题意； ∴，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键． 7. 若方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以为（　　） A. 1 B. 0 C. ﹣1 D. ﹣2 【答案】D 【解析】 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：△＝4﹣4×（﹣k）＝4+4k＜0， ∴k＜﹣1， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 8. 如图，在电线杆离地面高度为的A处向地面拉一条揽绳，使揽绳与地面的夹角为，则揽绳的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解决本题的关键． 本题中已知中的角、，利用即可解答． 【详解】解：在中，， ∵， ∴，解得：． 故选：C． 9. 如图，在正方形网格中，、的顶点都在正方形网格的格点上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据相似三角形的性质，可得，，所以，再根据三角形外角的性质，即可求得答案． 【详解】解：是正方形的对角线 ， ，， ， ， ． 故选：D． 10. 如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽，长的矩形．当水面触到杯口边缘时，边恰有一半露出水面，那么此时水面高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用勾股定理得出的长，再证，然后根据相似三角形的性质求出即可． 【详解】解：如图所示：作于点E， 由题意可得，, ∴， ∵， ∴， 由题意可得：， ∴， ∴，即，解得：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，正确把握相关性质是解题关键． 11. 如图1，摄像摇臂是一种专业的摄影辅助设备，它不仅能像三脚架般固定机位，灵活调整摄像机的位置和角度．还具有升降摄像机的功能，借此可以拍摄出宏伟、大气的场面．如图2，等边为边长为的摇臂支架，，，当点E降至地面（E，B，C三点在同一条直线上），伸长至的2倍时，摄像机F距离地面的高度为（ ） A. B. m C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由题意可得：,即，如图2：延长交于点G，过点F作于点H，由等边三角形的性质得，，再由勾股定理求出，则,然后证明得，则即可． 【详解】解：由题意可得：,即, 如图2：延长交于点G，过点F作于点H， ∵是等边三角形，边长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即伸长至的2倍时，摄像机F距离地面的高度为， 故选：C． 12. 对于题目：“如图，，上存在两点M，N，，P为上一点，当为等腰直角三角形时，求的值．”对于其答案，甲答：．乙答：．丙答：或．则正确的是（ ） A. 只有甲答案对 B. 甲、乙答案合在一起才完整 C. 甲、丙答案合在一起才完整 D. 三人答案合在一起才完整 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 依题意，当为等腰直角三角形时，有以下三种情况：①当时，则，此时；②当时，则， ，此时；③当时，过点作于点，则，，此时；综上所述即可得出答案． 【详解】解：依题意，当为等腰直角三角形时，有以下三种情况： ①当时，如图1， ∵为等腰直角三角形， ． 在，． ②当时，如图2， ∵为等腰直角三角形， ． ， ． 在中，． ③当时，过点作于点，如图3， ∵为等腰直角三角形， ． ， ． 在中，． 综上所述，或或． 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，共12分） 13. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个合适的的值______． 【答案】答案不唯一 【解析】 【分析】先根据判别式的意义得到，解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 所以当取时，方程有两个不相等的实数根． 故答案为：答案不唯一． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 14. 如图，点D是的边上的一点，，，当______时，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据，当时，则，再进一步求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，当时， 则， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 若样本，，，…，的平均数为10，方差为4，则对于样本，，，…，，平均数为______，方差为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了数据平移变换对样本平均数与方差的影响，解题的关键在于掌握当每个数据都减去同一个常数时，新平均数等于原平均数减去该常数，方差保持不变，根据知识点，计算出平均数即可，方差不变． 【详解】原样本平均数为10，方差为4； 新样本中每个数据均减去3，则新平均数为， 方差是衡量数据波动程度的量，每个数据减去相同常数，数据间的波动性不变，因此方差仍为4； 故平均数为7，方差为4， 故答案为：7，4． 16. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为___． 【答案】2 【解析】 【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用相似三角形的性质可求出，再根据，设参数表示AC、BC即可求出答案． 【详解】解：过点D作，交CB的延长线于点M， ∵，∠ABC＝∠DBM， ∴△ABC∽△DBM， ∴， ∵AB＝2BD， ∴， 在中， 由于，设DM＝2k，则CM＝3k， 又∵， ∴BC＝2k，AC＝4k， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定，掌握直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提，作垂线构造直角三角形是常用的方法． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知关于x的一元二次方程：． （1）若的一个解是，求k． （2）当时，解方程． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、配方法解一元二次方程等知识点，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题的关键． （1）把代入得到关于k的方程求解即可； （2）当时，方程化为，然后运用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：把代入得： ，解得． 【小问2详解】 解：当时，方程化为， ， ∴， ∴， ∴；． 18. 如图，在平行四边形中，点在边上，点在的延长线上，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可知，所以，又因为，进而可证明； （2）由（1）可知：，得出，由平行四边形的性质可知，所以，代入计算求出，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键． 19. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】（1）k； （2）k=3 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有实数根． ∴∆0，即32-4（k-2）0， 解得k 【小问2详解】 ∵方程的两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得k=3． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键． 20. 老师随机抽查了本学期学生读课外书册数情况，绘制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图2），其中条形图被墨迹遮盖了一部分． （1）条形图中被遮盖的数是______，册数的中位数是______； （2）如果全校一共有2400人，估计全校读书人数超过5册的一共有多少人； （3）随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，则最多补查了______人． 【答案】（1）9，5 （2）1000 （3）3 【解析】 【分析】（1）用读书为6册的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数分别减去读书为4册、6册和7册的人数得到读书5册的人数，然后根据中位数求解即可； （2）根据统计图中的数据，可以计算出选中读书超过5册的学生的人数约为多少人； （3）根据中位数的定义可判断总人数不能超过27，从而得到最多补查的人数． 【小问1详解】 解：抽查的学生总数为（人） 读书为5册的学生数为（人） 所以条形图中被遮盖的数为9 被抽查的学生读书册数的中位数是第12、13个数据的平均数，而第12、13个数据均为5， 被抽查的学生读书册数的中位数为5； 故答案为：9，5 【小问2详解】 解：（人）， 读书超过5册的学生的人数为1000人； 【小问3详解】 解：因为4册和5册的人数和为14，中位数没改变，所以总人数不能超过27，即最多补查了3人．故答案为：3． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 21. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，与关于原点位似，的对应点分别为，其中的坐标是． （1）和的相似比是 ； （2）请画出； （3）边上有一点，在边上与点对应点的坐标是 ； （4）的面积是 ． 【答案】（1） （2） 如图所示，即为所求； （3） （4）3 【解析】 【分析】（1）直接利用点对应点坐标，即可得出相似比； （2）利用相似比即可得出对应点位置，进而确定答案； （3）直接利用位似图形的性质得出点坐标即可； （4）利用三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：和的相似比是； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 边上有一点，在边上与点对应点的坐标是； 故答案为：； 【小问4详解】 的面积是：． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． 22. 如图1是一款订书机，其平面示意图如图2所示，其主体部分矩形由支撑杆垂直固定于底座上，其中，，压杆，，使用过程中矩形可以绕点E旋转． （1）订书机不使用时，如图2，，求压杆端点到底座的距离； （2）使用过程中，当点落在底座上时，如图3，测得，求压杆端点到底座的高度． （参考数据：，，结果精确到） 【答案】（1）压杆端点到底座的距离为 （2）即压杆端点到底座的高度为 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的应用，矩形的性质，解题的关键是正确作出辅助线． （1）过点作于点，延长交于点，根据题意可得，由，四边形是矩形，，可得，进而得到，然后根据，求出，最后根据，即可求解； （2）过点作于点，过点作于点，过点作于点，根据矩形的性质可得，，可推出，然后求出，结合进而得到，，可得，推出，，根据周角求出，进而根据三角函数求出，最后根据线段的和差即可求解． 【小问1详解】 解：如图2，过点作于点，延长交于点， ， ， 四边形是矩形，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， 即压杆端点到底座的距离为； 【小问2详解】 如图3，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 即压杆端点到底座的高度为． 23. 如图，某校准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为． （1）的长为_________；的取值范围是_________； （2）当为何值时，可使矩形花园的面积为； （3）嘉嘉说：“矩形花园的面积可以为.”请你判断嘉嘉的说法正确吗？并说明理由. 【答案】（1）；； （2）当为时，矩形花园的面积为； （3） 嘉嘉的说法不正确， 理由：根据题意得. ∵， ∴该方程无实数根， ∴矩形花园的面积不可以为， 即嘉嘉的说法不正确． 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性可得到，即可得到BC的表达式，再根据BC大于零并小于等于即可得到x的取值范围； （2）根据花园的面积建立一元二次方程，先解方程，再根据（1）中x的取值范围进行取舍即可； （3）根据花园的面积建立一元二次方程，判断方程的解得情况即可得到答案． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 由题意得矩形花园的面积为， 当时， 整理得， 解得（舍），， ∴当时，可使矩形花园的面积为； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意建立一元二次方程． 24. 矩形ABCD中，，，E是射线CD上一点，点C关于BE的对称点F恰好落在射线DA上． （1）如图，当点E在边CD上时； ①若，DF的长为______； ②若时，求DF的长； （2）作∠ABF的平分线交射线DA于点M，当时，求DF的长． 【答案】（1）①2；② （2）2或18 【解析】 【分析】(1)利用勾股定理进行解答，即可得出答案； (2)利用角的平分线的定义，进行等量代换进行解答即可． 【小问1详解】 解：①2． ②∵矩形ABCD中，， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵点C、F关于BE的对称点， ∴． ∴． 【小问2详解】 ①如图1，当点F在边AD上时， 过点M作于点N， ∵BM平分∠ABF，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵，，， ∴． ∴． 设，则． ∴． 在中，， ∴． 解得，（舍去）． ∴． ∴矩形ABCD中，． ∴． ②如图2，当点F在边DA延长线上时， 同①可得，，． ∴． ∴，． ∴综上所述：或18． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理的综合应用，解题时注意分类思想与方程思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期中质量检测 九年级数学试卷 温馨提示：本试题满分120分．考试时间90分钟 一、选择题（本大题12小题共36分，每个小题给出的四个选项中只有一个符合题意） 1. 已知为锐角，则的值不可能为（ ） A. B. C. D. 2 2. 一元二次方程的解为（    ） A. B. C. ， D. ， 3. 对于一组数据﹣1、4、﹣1、2下列结论不正确的是（　　） A. 平均数是1 B. 众数是-1 C. 中位数是0.5 D. 方差是3.5 4. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 要从甲、乙、丙、丁四名射击选手中选择一个成绩优秀且发挥稳定的人参加射击比赛，抽取了四人平时10次的射击测试成绩，发现四人10次射击的平均成绩都是环，方差分别是，则应该选择参加比赛的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 若方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以为（　　） A. 1 B. 0 C. ﹣1 D. ﹣2 8. 如图，在电线杆离地面高度为的A处向地面拉一条揽绳，使揽绳与地面的夹角为，则揽绳的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形网格中，、的顶点都在正方形网格的格点上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽，长的矩形．当水面触到杯口边缘时，边恰有一半露出水面，那么此时水面高度是（ ） A. B. C. D. 11. 如图1，摄像摇臂是一种专业的摄影辅助设备，它不仅能像三脚架般固定机位，灵活调整摄像机的位置和角度．还具有升降摄像机的功能，借此可以拍摄出宏伟、大气的场面．如图2，等边为边长为的摇臂支架，，，当点E降至地面（E，B，C三点在同一条直线上），伸长至的2倍时，摄像机F距离地面的高度为（ ） A. B. m C. D. 12. 对于题目：“如图，，上存在两点M，N，，P为上一点，当为等腰直角三角形时，求的值．”对于其答案，甲答：．乙答：．丙答：或．则正确的是（ ） A. 只有甲答案对 B. 甲、乙答案合在一起才完整 C. 甲、丙答案合在一起才完整 D. 三人答案合在一起才完整 二、填空题（本大题共4个小题，共12分） 13. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个合适的的值______． 14. 如图，点D是的边上的一点，，，当______时，． 15. 若样本，，，…，的平均数为10，方差为4，则对于样本，，，…，，平均数为______，方差为______． 16. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为___． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知关于x的一元二次方程：． （1）若的一个解是，求k． （2）当时，解方程． 18. 如图，在平行四边形中，点在边上，点在的延长线上，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 19. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 20. 老师随机抽查了本学期学生读课外书册数情况，绘制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图2），其中条形图被墨迹遮盖了一部分． （1）条形图中被遮盖的数是______，册数的中位数是______； （2）如果全校一共有2400人，估计全校读书人数超过5册的一共有多少人； （3）随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，则最多补查了______人． 21. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，与关于原点位似，的对应点分别为，其中的坐标是． （1）和的相似比是 ； （2）请画出； （3）边上有一点，在边上与点对应点的坐标是 ； （4）的面积是 ． 22. 如图1是一款订书机，其平面示意图如图2所示，其主体部分矩形由支撑杆垂直固定于底座上，其中，，压杆，，使用过程中矩形可以绕点E旋转． （1）订书机不使用时，如图2，，求压杆端点到底座的距离； （2）使用过程中，当点落在底座上时，如图3，测得，求压杆端点到底座的高度． （参考数据：，，结果精确到） 23. 如图，某校准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为． （1）的长为_________；的取值范围是_________； （2）当为何值时，可使矩形花园的面积为； （3）嘉嘉说：“矩形花园的面积可以为.”请你判断嘉嘉的说法正确吗？并说明理由. 24. 矩形ABCD中，，，E是射线CD上一点，点C关于BE的对称点F恰好落在射线DA上． （1）如图，当点E在边CD上时； ①若，DF的长为______； ②若时，求DF的长； （2）作∠ABF的平分线交射线DA于点M，当时，求DF的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $