精品解析：山东省菏泽经济技术开发区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列命题中，假命题是（ ） A. 矩形的对角线相等 B. 菱形的对角线互相垂直 C. 正方形对角线相等且互相垂直 D. 平行四边形的对角线相等 2. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在五边形中，，延长，分别交直线与点，．若添加一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 5. 勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段的黄金分割点（），已知，则长为（ ） A. B. C. D. 6. 从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回口袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球．已知口袋中有黑球10个和若干个白球，这些球除颜色外其他都相同，由此可以估计口袋中有白球（　　） A. 20个 B. 30个 C. 10个 D. 5个 7. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为（ ） A B. C. D. 4 8. 如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为，那么位似中心的坐标和的值分别为（ ） A. ，2 B. ， C. ，2 D. ，3 9. 今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到132个红包，则该群一共有（ ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 10. 如图，在正方形中，，分别为，中点．连接并延长交于点，交的延长线于点，为的中点，连接，，．下列结论：①；②；③；④．正确的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，直接填写答案．） 11. 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为________． 12. 如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头可近似看成一个矩形，且满，盲区的长度是6米，车宽的长度为________米． 13. 从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为________． 14. 如图，在一块长92m宽60m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为的6个矩形小块，水渠应挖的宽为______． 15. 如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到．连接并延长与的延长线交于点，则的值为______． 三、解答题：（本大题共8个小题，共75分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 按要求解下列方程： （1）用配方法解方程：； （2）用公式法解方程：． 17. 如图，在中，，是边上的中线． （1）尺规作图：在直线右侧作射线，在射线上截取，连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）当满足什么条件时，四边形为正方形，并说明理由． 18. 已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，，都是整数，求值． 19. 如图，点是菱形对角线的交点，分别过点、点作、的平行线交于点，连接交于点，交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求菱形周长． 20. 某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下： 收集数据 77 78 76 72 84 75 91 85 78 79 82 78 76 79 91 91 76 74 75 85 75 91 80 77 75 75 87 85 76 77 整理、描述数据 成绩/分 72 74 75 76 77 78 79 80 82 84 85 87 91 人数/人 1 1 a 4 3 3 b 1 1 1 3 1 4 分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 80 c 78 解决问题 （1）表格中的______；______；______； （2）分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为______分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为______分； （3）学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率． 21. 如图，正方形边长为，点为对角线上一点，，点在边上以的速度由点向点运动，同时点在边上以的速度由点向点运动，设运动时间为秒（）． （1）求证：； （2）当是直角三角形时，求的值． 22. 某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息： 信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是3元； 信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元； 信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求甲、乙两种商品的零售单价： （2）该商店平均每天卖出甲乙两种商品各件，经调查发现，甲种商品零售单价每降元，甲种商品每天可多销售件，商店决定把甲种商品的零售单价下降m（）元．在不考虑其他因素的条件下，当m为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为元？ 23. 问题提出 （1）如图①，点，分别在正方形的边，上，，珠琳把绕点逆时针旋转到的位置，从而发现，，之间的数量关系是_____； 问题探究 （2）如图②，在四边形中，，，点E，F分别在边，上，当时，（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 问题解决 （3）如图③，某公园的四条通道围成了四边形，已知，，，，道路，上分别有景点E，F，满足，，为了游客们能更方便的游玩这两个景点，现要在E、F之间修一条笔直的道路，求这条道路的长 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列命题中，假命题是（ ） A. 矩形的对角线相等 B. 菱形的对角线互相垂直 C. 正方形的对角线相等且互相垂直 D. 平行四边形的对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，根据矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质和平行四边形的性质，逐一进行判断即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，是真命题，不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，是真命题，不符合题意； C、正方形的对角线相等且互相垂直，是真命题，不符合题意； D、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，原命题是假命题，符合题意； 故选：D． 2. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断． 【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意； B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意； C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意； D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意； 故选：D． 3. 如图，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例，利用平行线分线段成比例定理求解． 【详解】解：， ， 又∵，，， ， ． 故选：C． 4. 如图，在五边形中，，延长，分别交直线与点，．若添加一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，关键是对相似三角形判定定理的理解与应用．本题需逐一分析每个选项是否能依据判定定理推出，从而找出无法判定的条件． 【详解】解：选项A、， ， 若， 可得，， ， 因此选项A不符合要求； 选项B、若，且， 则（两直线平行，同位角相等）， 此时满足“两边对应成比例且夹角相等”，可判定， 因此选项B不符合要求； 选项C、若，结合产生的内错角、同位角等角度关系， 可推导出另一组角相等，进而通过：两角对应相等判定， 因此选项C不符合要求； 选项D、若，该比例式中对应的角并非与的夹角， （即不满足“两边对应成比例且夹角相等”的判定条件）， 也无法通过其他相似判定定理推导相似， 因此该条件无法判定， 所以选项D符合要求． 故选：D． 5. 勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段的黄金分割点（），已知，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，理解和熟练掌握黄金分割定理是解决本题的关键； 根据题意，得到比例关系，将代入，即可解决本题． 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点（），， ∴， ∴的长为． 故选：D． 6. 从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回口袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球．已知口袋中有黑球10个和若干个白球，这些球除颜色外其他都相同，由此可以估计口袋中有白球（　　） A. 20个 B. 30个 C. 10个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】设口袋中有白球x个，则摸出一个黑球的概率为，由题意摸球150次有50次摸到黑球，则摸到黑球的频率为，用频率估计概率，则可得方程，解方程即可求得白球的个数． 【详解】设口袋中有白球x个，则口袋中共有球（x+10）个 摸一次摸到黑球的概率为 由题意，摸球150次有50次摸到黑球，则摸到黑球的频率为 则 解得：x=20 即估计口袋中大约有白球20个 故选：A ． 【点睛】本题考查了频率与概率，当试验次数较多时，频率接近概率，因此实际中可以用频率估计概率，掌握这一特性是关键． 7. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质等．由菱形对角线互相垂直且平分，可得，，，取中点，连接，则，，再用勾股定理解即可． 【详解】解：在菱形中，对角线与相交于点，，， ，，， ， ， ， 如图，取中点，连接， ， 点为的中点，点为的中点， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故选：A． 8. 如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为，那么位似中心的坐标和的值分别为（ ） A. ，2 B. ， C. ，2 D. ，3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的知识；连接、，由位似图形的性质得为位似中心，结合题意计算即可得到答案． 【详解】解：连接、，并延长交点为， 则为位似中心，由图形知点的坐标为， ∴，即． 故选：B． 9. 今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到132个红包，则该群一共有（ ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该群一共有x人，则每人收到个红包，根据群内所有人共收到132个红包，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设该群一共有x人，则每人收到个红包， 依题意，得：， 解得：，（舍去）． 则该群一共有12人， 故选：D． 10. 如图，在正方形中，，分别为，的中点．连接并延长交于点，交的延长线于点，为的中点，连接，，．下列结论：①；②；③；④．正确的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】证明，推出，再由直角三角形斜边中线的性质求得，推出，可得到，故①正确；证明，由正切函数的定义可判断②错误；由平行线的性质求得，即可求得，故③错误；证明，推出，再等量代换即可证明④正确． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点H为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵四边形是正方形， ∴，即， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∴， 故②错误； ∵， ∴， 设正方形的边长为， ∴，， ∴， 故③错误； ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点E，F分别为，的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，直接填写答案．） 11. 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴ 故答案为：6． 12. 如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头可近似看成一个矩形，且满，盲区的长度是6米，车宽的长度为________米． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作，垂足为，交于点，根据题意，设米，由得，，证明，得出，根据列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，交于点， 则， 设米， 由得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴车宽的长度为米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 13. 从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，树状图法或列表法求解概率，根据判别式和一元二次方程的定义可得，则且，再列出表格得到所有等可能性的结果数，接着找到且的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 列表如下： 1 2 1 2 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中满足且的结果数有，，，共3种， ∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为， 故答案为：． 14. 如图，在一块长92m宽60m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为的6个矩形小块，水渠应挖的宽为______． 【答案】1 【解析】 【分析】挖过水渠后的6个矩形小块可以拼成长为()，宽为()的矩形，据此列出方程，即可求解． 【详解】解：设水渠应挖的宽为，由题意得 ， 整理得：， 解得：，(舍去)， 水渠应挖的宽为， 故答案：． 【点睛】本题考查了一元二次方程在图形面积中的应用，找出变化后的长和宽是解题的关键． 15. 如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到．连接并延长与的延长线交于点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，过点作交延长线于点，证明和全等，得到，再根据等腰直角三角形三边关系，求出比值即可，掌握全等三角形的性质与判定方法是解题的关键. 【详解】解：过点作交延长线于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵绕点逆时针旋转，得到， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，正方形边长为，则， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ， 故答案：． 三、解答题：（本大题共8个小题，共75分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 按要求解下列方程： （1）用配方法解方程：； （2）用公式法解方程：． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了用配方法和公式法解一元二次方程，正确计算是解题的关键． （1）先将常数项移到方程的右边，然后方程两边都加上，左边配成了完全平方式，右边是常数项，最后用直接开平方法求解即可； （2）先将一元二次方程化为一般式：求出值，再代入判别式判断根的情况，最后代入求根公式计算即可． 【小问1详解】 解：移项，得， 配方，得，即， 两边开平方，得， 所以，； 【小问2详解】 将原方程化为一般形式，得， ，，， ， ， ，． 17. 如图，在中，，是边上的中线． （1）尺规作图：在直线右侧作射线，在射线上截取，连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）当满足什么条件时，四边形为正方形，并说明理由． 【答案】（1）图见解析 （2）当为等腰直角三角形，即时，四边形为正方形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、直角三角形斜边上的中线、正方形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在的右侧作，再以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接即可． （2）当是等腰直角三角形时，四边形为正方形．结合直角三角形斜边上的中线的性质、正方形的判定、等腰直角三角形的性质证明即可． 【小问1详解】 解：如图，在的右侧作，再以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接， 则射线、线段即为所求． 【小问2详解】 解：当是等腰直角三角形时，四边形为正方形． 理由：，， 四边形为平行四边形． ，是边上的中线， ， 四边形为菱形． 是等腰直角三角形， ， ， ， 四边形为正方形． 18. 已知，是关于方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，，都是整数，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可； （2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． 【小问1详解】 解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，值为． 19. 如图，点是菱形对角线的交点，分别过点、点作、的平行线交于点，连接交于点，交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求菱形的周长． 【答案】（1）见解析； （2）24． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的性质，证明四边形为矩形是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再利用菱形的性质得出即可证明； （2）由菱形的性质可得，由矩形性质可得，，然后证明得出，进而即可得出菱形的周长． 【小问1详解】 证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，， 由（1）可知：四边形是矩形， ，，则． 由可得：，． ， ， ， ，则, 菱形的周长为． 20. 某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下： 收集数据 77 78 76 72 84 75 91 85 78 79 82 78 76 79 91 91 76 74 75 85 75 91 80 77 75 75 87 85 76 77 整理、描述数据 成绩/分 72 74 75 76 77 78 79 80 82 84 85 87 91 人数/人 1 1 a 4 3 3 b 1 1 1 3 1 4 分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 80 c 78 解决问题 （1）表格中的______；______；______； （2）分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为______分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为______分； （3）学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率． 【答案】（1）5；2；75 （2）78；80 （3）A，B两名队员恰好同时被选中的概率为． 【解析】 【分析】本题主要考查画树状图或列表法求随机事件的概率，统计表，众数和中位数的意义． （1）根据统计表直接写出a和b的值，根据众数的意义可求解c的值； （2）根据中位数和平均数的意义即可求解； （3）画树状图或列表法把所有等可能结果表示出来，再运用概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：根据收集的数据知；； 出现最多的是75分，有5人，众数为75分，则； 故答案为：5；2；75； 【小问2详解】 解：∵由统计图可知中位数78分， ∴如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，成绩目标应定为78分， 如果想确定一个较高的目标，成绩目标应定为80分， 因为在样本的众数，中位数和平均数中，平均数最大， 可以估计，如果成绩目标定为80分，努力一下都能达到成绩目标． 故答案为：78；80； 【小问3详解】 解：画树状图表示所有等可能结果如图所示， 共有种等可能结果，A，B两名队员恰好同时被选中的情况有种， ∴A，B两名队员恰好同时被选中的概率为， 答：A，B两名队员恰好同时被选中的概率为． 21. 如图，正方形边长为，点为对角线上一点，，点在边上以速度由点向点运动，同时点在边上以的速度由点向点运动，设运动时间为秒（）． （1）求证：； （2）当是直角三角形时，求的值． 【答案】（1）见解析； （2）秒或2秒． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解一元二次方程．解答过程中，灵活的利用勾股定理构造方程、根据题意找到相似三角形是解题关键． （1）根据正方形性质，得到，再题意得到，从而得到； （2）利用题目中的条件，分别用t表示、、，再分别讨论当、和时，利用勾股定理构造方程求出t即可． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ． ， ． 【小问2详解】 解：过点E作于点M，过点E作于点N． ∵正方形中，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴均为等腰直角三角形， ∴ ∵，， ∴ ，即， ，即， ，即． ①当时，有． 即， 整理得． 解得（不合题意，舍去）． ②当时，有． 即， 整理得， 解得． ③当时，有． 即， 整理得， ∵ ∴该方程无实数解． 综上所述，当是直角三角形时，t的值为秒或2秒． 22. 某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息： 信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是3元； 信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元； 信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求甲、乙两种商品的零售单价： （2）该商店平均每天卖出甲乙两种商品各件，经调查发现，甲种商品零售单价每降元，甲种商品每天可多销售件，商店决定把甲种商品的零售单价下降m（）元．在不考虑其他因素的条件下，当m为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为元？ 【答案】（1）甲、乙零售单价分别为2元和3元 （2）当m定为元才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共元 【解析】 【分析】（1）设甲种商品的进货单价为x元、乙种商品的进货单价为y元，根据“甲、乙两种商品的进货单价之和是3元，按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元”列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据“商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为元”列出方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：设甲种商品的进货单价为x元、乙种商品的进货单价为y元， 根据题意可得： 解得： 答：甲、乙零售单价分别为2元和3元 【小问2详解】 根据题意得出：， 即． 解得或（舍去）， 答：当m定为元才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共元． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用、二元一次方程组的应用，读懂题意，正确列出方程和方程组是解题的关键． 23. 问题提出 （1）如图①，点，分别在正方形的边，上，，珠琳把绕点逆时针旋转到的位置，从而发现，，之间的数量关系是_____； 问题探究 （2）如图②，在四边形中，，，点E，F分别在边，上，当时，（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 问题解决 （3）如图③，某公园的四条通道围成了四边形，已知，，，，道路，上分别有景点E，F，满足，，为了游客们能更方便的游玩这两个景点，现要在E、F之间修一条笔直的道路，求这条道路的长 【答案】（1）（2）成立，理由见详解（3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，得到，，，进而得到，即得到，得到，据此得到，即可求证； （）延长至，使，连接，证明，得到，，再根据，可得，进而证明，即得到； （）如图，把绕点逆时针旋转至，连接，过作，垂足为，可得是等边三角形，得到，又由旋转的性质得到，可得，点在的延长线上，则可得，由勾股定理求得，进而可得，即可得，得到，，最后得到，根据（）结论即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 如图①，在正方形中，； 由旋转得， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （2）仍成立，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即； （）如图，连接，把绕点逆时针旋转至，连接，过作，垂足为，则， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 根据旋转的性质得到，， ∵， ∴，即点在的延长线上， 在中，， ∴，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴根据（）的结论有， 即这条道路的长为， 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角直角三角形性质，勾股定理，正确作出辅助线并证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $